Systèmes quasi-intégrables

Dans cette section, nous allons commencer par décrire très brièvement la théorie de l’effet tunnel assisté par les résonances [16] ainsi que ses récentes améliorations [67] afin de comprendre comment adapter la théorie dans le cas de la classe de hamiltoniens décrite précédemment et de voir quelles étapes de la théorie pourront être simplifiées.

Supposons un système unidimensionnel dépendant périodiquement du temps tel que le hamiltonien vérifie H(p, q, t) = H(p, q, t+τ) et que pour un choix raisonnable des para-mètres du hamiltonien, la section de Poincaré de l’espace des phases classique décrive deux îlots principaux réguliers symétriques, à l’intérieur desquels on distingue principale-ment une chaîne de résonances non linéaires d’ordre r :s, entourés par une mer chaotique. L’espace des phases révèle alors r îlots de taille plus petites entourant chaque îlot princi-pal. Dans le cas d’un régime quasi-intégrable, c’est-à-dire où la perturbation qui rend le système non intégrable est suffisamment faible, on peut décrire le hamiltonien H(p, q, t) à l’aide d’une approximation intégrable (en utilisant, par exemple, une méthode basée sur les transformations de Lie [66]) que l’on peut réécrire dans les coordonnées action-angles sous la forme

H(I, θ, t) =H₀(I) +V(I, θ, t), (6.16) où V(I, θ, t) correspond à une faible perturbation de l’approximation intégrable H₀(I) du hamiltonien initial. La condition de résonance est donnée par

σ_r:s ω ⁼

s

r (6.17)

avec les pulsations ω = 2π/τ et σr:s = dH0(Ir:s)/dI. Ici, Ir:s correspond à la valeur de l’action des points fixes de la chaîne de résonances.

La première étape consiste à éliminer la dépendance explicite en temps à l’aide du changement de variables canonique

θ7→Θ =θ−σ_r:st (6.18) qui tourne avec la résonance, transformant alorsH0 etV comme

H0(I) 7→ H0(I)−σr:sI, (6.19)

V(I, θ, t) 7→ V^¯(I,Θ, t) =V(I,Θ +σ_r:st, t). (6.20) En remarquant que la perturbation _V¯_{(I,Θ, t)} est rτ−périodique et que l’angle Θ varie lentement avec le temps au voisinage d’une résonance (I ∼Ir:s), on peut la remplacer par sa moyenne_V¯_(I,Θ)sur une période rτ.

L’étape suivante consiste à développer la perturbation en série de Fourier en t et θ

pour finalement obtenir l’expression générale

¯ V(I,Θ) = ∞ X k=1 2V_kcos(krΘ +φ_k) (6.21)

6.2. EFFET TUNNEL ASSISTÉ PAR LES RÉSONANCES

où on choisit, pour le moment, de négliger la dépendance en action des coefficients de

FourierV_k^def= V_k(I_r:s). En utilisant (6.16),(6.19) et(6.21), on peut donc écrire la forme du hamiltonien au voisinage d’une résonance

H(I,Θ) =H₀(I)−σ_r:sI + ∞

X

k=1

2V_kcos(krΘ +φ_k). (6.22)

On peut montrer que les coefficientsV_kdécroissent suivant une loi exponentielle lorsque quekest suffisamment grand [17]. Cette propriété asymptotique nous autorise à retenir uni-quement le premier terme (proportionnel àV₁) dans le développement en série deFourier

(6.21). En remplaçantH₀(I) par son approximation harmonique autour de l’actionI_r:s H0(I) ≃ H0(Ir:s) + (I−Ir:s) ^dH0 dI I=Ir:s +^(I−I_r:s)2 2 d2H₀ dI2 I=Ir:s , ≃ H0(Ir:s) + (I−Ir:s)σr:s+ ¹ 2M_r:s^(I−Ir:s)², (6.23) cela revient finalement à traiter le hamiltonien (6.22) au voisinage de la résonance (r :s) comme un pendule simple

H(I,Θ)≃H0(Ir:s)−σr:sIr:s+^(I −Ir:s)²

2M_r:s ^{+ 2V1cos(rΘ +φ1).} (6.24) L’effet de la résonance étant supposé faible, on peut maintenant traiter quantiquement le hamiltonien précédent, défini par l’opérateur_H(ˆ _I,Θ), avec la théorie quantique des per-turbations stationnaires en choisissant la partie dépendant uniquement de l’action comme la partie non perturbée et le terme dépendant de _Θˆ, la perturbation. En notant {|ni} la base propre de l’opérateur_Iˆ₌−i~∂/∂Θ^ˆ, et donc du hamiltonien non perturbé, tel que

ˆ I|ni = I_n|ni=~ n+¹ 2 |ni, (6.25) ˆ H0(I)|ni = E_n⁽⁰⁾|ni, (6.26) on remarque que la perturbation crée des couplages uniquement entre les états non per-turbés qui vérifient, d’après(6.24), la règle |n−n^′|=r. Ces couplages s’écrivent

hn+r|H^ˆ|ni=V₁e^iφ1. (6.27) Cette règle de sélection permet d’obtenir, de manière approchée, les états propres|ψ_ni du hamiltonienH(^ˆ I,Θ) à partir de la théorie quantique des perturbations

|ψ_ni ≃ |ni+^X k>0 A^r_n,kr^:s |n+kri (6.28) avec A^r_n,kr^:s = k Y l=1 V₁eiφ1 En⁽⁰⁾−E_n⁽⁰⁾_+lr+lsω~ . (6.29)

En utilisant l’approximation harmonique (6.23), il est possible de comprendre plus faci-lement le comportement des termes de la somme (6.28). En effet, les dénominateurs des coefficients de la somme peuvent se réécrire en fonction des actions I_n etI_r:s

E_n⁽⁰⁾−E_n⁽⁰⁾_+lr+ksω~≃(I_n−I_n+lr)(I_n+I_n+lr−2I_r:s). (6.30) On remarque alors qu’une divergence apparaît dans la somme (6.28) lorsque deux quasi-modes non perturbés |ni et |n+lri sont localisés sur des tores disposés symétriquement de part et d’autre de la résonance et qui vérifient donc (I_n+I_n+lr)/2≃I_r:s. La présence d’une résonance non linéaire permet donc de coupler le quasimode non perturbé d’énergie

En⁽⁰⁾ localisé dans l’îlot régulier sur le tore In, avec des états plus excités situés au delà de la chaîne de résonance sur les tores I_n+lr.

Précédemment, nous avons considéré les coefficients V_k de la série de Fourier (6.21)

constant. Cette approximation est justifiée dans la limite semiclassique car la taille des cellules quantiques élémentaires ∆p∆q∼~ est suffisamment petite pour pouvoir résoudre dans l’espace des phases un grand nombre d’autres résonances que celle considérée aupara-vant. Dans ce cas, le mécanisme de couplage s’applique à plusieurs de ces résonances et on peut s’attendre à ce que les transitions à travers chacune d’elles s’effectuent avec une action constante au premier ordre autour de l’action Ir:s associée à celles-ci. En revanche, pour une valeur finie de ~qui ne laisse intervenir qu’une seule chaîne de résonances dominante dans la dynamique quantique, le couplage entre deux états localisés sur des tores situés (suffisamment loins) de chaque coté de la chaîne de résonance ne peut pas, en général, être évalué avec une action constante au voisinage de la résonance. Afin de remédier au pro-blème, il a récemment été proposé [67] d’approcher la dépendance en I des coefficients V_k

en utilisant les formes normales deBirkhoff-Gustavson. Classiquement, si on suppose que le hamiltonienH(p, q, t)est analytique en (p, q) près des îlots réguliers, on peut définir une transformation canonique locale (p, q)7→(P, Q) telle que

P =−^√2Isinθ, Q=√

2Icosθ. (6.31) En appliquant encore une transformation du type(6.18), on peut réécrire la perturbation

(6.21)comme ¯ V(I,Θ) = ∞ X k=1 V_k(I)e^i(krΘ+φk)+ e^−i(krΘ+φk), (6.32) 6.31 = ∞ X k=1 V_k(I) (2I)kr/2 h (Q−iP)^kre^iφk+ (Q+ iP)^kre^−iφki . (6.33) La perturbation étant analytique en (P, Q), on suppose que la dépendance en action des coefficients doit être au moins d’ordre V_k(I) = v_k(I)^kr/2 où v_k est, en première approxi-mation, une constante. Quantiquement, on propose de réécrire les combinaisons linéaires d’opérateurs ( ˆQ±i ˆP) avec les opérateurs de création et d’annihilation

ˆ a= √¹

2~( ˆQ+ i ˆP), ˆa^†= √¹

6.2. EFFET TUNNEL ASSISTÉ PAR LES RÉSONANCES

Le hamiltonien quantique _H(ˆ _I,Θ) défini en(6.22)devient donc

ˆ H(I,Θ) = ˆH₀( ˆI)−σ_r:sI^ˆ+ ∞ X k=1 v_k~^kr/2h(ˆa^†)^kre^iφk+ (ˆa)^kre^−iφki . (6.35)

On peut finalement évaluer les couplages(6.27)qui apparaîssent dans l’expression (6.28)

hn+kr|H^ˆ|ni=v_k~^kr/2e^iφk

s

(n+kr)!

n! ^{, k >0.} (6.36) Nous nous restreindrons par la suite, comme nous l’avons fait en (6.27), aux couplages n’impliquant que le coefficient deFourierV₁(I). Pour terminer, on peut écrire la largeur du doublet∆E_nen utilisant l’état |ψ_ni(6.28)obtenu grâce à la théorie quantique des per-turbations dont les éléments de matrice sont donnés par la formule(6.36). On s’intéressera principalement au fondamental pour lequel on obtient l’expression

∆E₀= ∆E₀⁽⁰⁾+^X k=1 |A^r₀^:_,kr^s |²∆E_kr⁽⁰⁾, (6.37) avec A^r₀^:_,kr^s = k Y l=1 hlr|H(^ˆ I,Θ)|(l−1)ri E₀⁽⁰⁾−E_lr⁽⁰⁾+lsω~ . (6.38) Les∆E_kr⁽⁰⁾sont les largeurs des doublets pour le hamiltonien non perturbéH₀(I)et peuvent être évaluées de manière générale, en suivant par exemple [24]. On obtient

∆E_n⁽⁰⁾≃ ^~|ω_π^n|e^−Sn/~

, (6.39)

à un facteur d’ordre 1 près. L’actionS_nest la partie imaginaire de l’action complexe associée à la trajectoire complexe qui relie les deux tores réels symétriques mis en jeu dans le doublet etω_n correspond à la fréquence d’oscillation sur le tore I_n tel que ω_n = dH₀(I_n)/dI. On remarque que le terme qui va généralement dominer la somme(6.37)est celui qui contient l’état non perturbé |kri, d’énergie E_kr⁽⁰⁾, qui couple l’état fondamental non perturbé |0i, d’énergieE₀⁽⁰⁾, et dont les tores associés I0 etIkr sont localisés symétriquement de part et d’autre de la chaîne de résonance. Ce couplage induit donc une augmentation considérable de la largeur du doublet perturbé∆E₀ et est responsable des pics de résonances observés lorsque l’on fait varier un paramètre, disons~.

Il est important de noter que l’approximation adiabatique qui autorise à remplacer la perturbation (6.20) par sa moyenne n’est valable qu’au voisinage de Ir:s. D’un autre côté, l’utilisation des formes normales en (6.20) est justifiée au voisinage de l’origine

(P, Q) = (0,0). Par conséquent, l’action I_r:s est nécessairement petite et la chaîne de résonance (r :s) doit être suffisamment proche du centre des îlots réguliers de l’espace des phases.