Systèmes descripteurs incertains

1 0

0 0 et E

x⇡

= 0

2⇥0

,

on peut définir :

E

₁

=



1

0 ^{, E}

^2xx

⁼

⇥

1 0 ⇤

, E

_2x⇡

= 0

_1⇥0

et en déduire queE

_2x⇡^?

= 1et doncE

2

= ⇥

1 0⇤

. Ainsi,E

2

x = x

1

dont la convergence à zéro est

étudiée quand on parle de stabilité.

2.2 Systèmes descripteurs incertains

Lors de la modélisation d’un système physique réel, les erreurs de modélisation sont inévitables.

Elles peuvent être dûes à des approximations numériques, à des erreurs d’identification des

para-mètres ou à des simplifications dans la modélisation. La nature physique du phénomène détermine la

classe mathématique de l’incertitude :

— L’incertitude est réelle si elle reflète une mauvaise connaissance d’une ou plusieurs valeurs,

complexe si elle modélise une perturbation sur une plage de fréquences prédéfinie.

— Elle est paramétrique lorsqu’elle modélise une mauvaise connaissance des valeurs numériques

du modèle, non paramétrique lorsqu’elle modélise des dynamiques non modélisées.

Dans cette section, et dans ce manuscrit en général, on désignera par "incertitudes" les

incer-titudes paramétriques (et donc réelles), et par "robustesse aux incerincer-titudes" la capacité d’un

système à avoir de bonnes performances malgré ces incertitudes paramétriques.

2.2.1 Définition des systèmes descripteurs incertains et résultat fondamental

En gardant une modélisation linéaire, il est donc plus réaliste de remplacer l’écriture du système

(2.1.1) par la suivante :

¯

E

_xx

(q) ˙x(t) + ¯E

_x⇡

(q)¯⇡(t) = ¯A(q)x(t) + ¯B

_u

(q)u(t), y(t) = ¯C

_y

x(t) (2.2.1)

oùq 2 Qest l’incertitude,Q un polytope,x 2 R

nx

est le vecteur d’état du système,⇡¯ 2 R

n⇡

est

un signal auxiliaire,u 2 R

nu

est la commande,y 2 R

ny

est le vecteur de sortie. De la même

fa-çon que pour le système (2.1.1), les matrices_E¯

_xx

_(q) 2 R

n⇥nx

,_E¯

_x⇡

_(q) 2 R

n⇥n⇡

,_A¯_(q) 2R

n⇥nx

,

¯

B

u

(q)2R

n⇥nu

et_C¯

_y

2R

ny⇥nx

définissent le système. La matriceC

y

est supposée indépendante de

l’incertitude, cette hypothèse sera justifiée dans le chapitre suivant. On fait l’hypothèse que les autres

matrices sont des fonctions rationnelles du vecteurq, dont les composantes sont les paramètres

in-certains du modèle. Chaque composante du vecteurqest comprise dans un intervalle dont les bornes

pourront être connues ou non.

Remarque 2.9. Une représentation des systèmes incertains plus courante est la représentation LFT

([ACA

+

99], [HV04], [Dje07]), déjà abordée dans le premier chapitre, qui consiste à isoler

titude du système nominal. La représentation LFT est très utilisée pour la détermination de

l’incer-titude maximale pour laquelle un système est stable (technique appelée µ-analyse, voir [YND91],

[Apk12] pour plus de détails). Mais cette approche a l’inconvénient d’être pessimiste ([Kna09]), et

les modèles et outils qui lui sont associés sont complexes.

Une alternative aux LFT privilégiée par cette thèse vient de la propriété suivante ([EPA15]) :

Théorème 2.10. Soit le système descripteur suivant :

¯

E

_xx

(q) ˙x(t) + ¯E

_x⇡

(q)¯⇡(t) = ¯A(q)x(t) + ¯B

_u

(q)u(t), y(t) = ¯C

_y

x(t) (2.2.2)

où les matrices_E¯

_xx

_(q),_E¯

_x⇡

_(q),_A¯_(q)et_B¯

_u

_(q)sont des fonctions rationnelles deq. Alors le système

(2.2.2) peut se réécrire de la façon suivante :

ˆ

E

_xx

(q) ˙x(t) + ˆE

_x⇡

(q)⇡(t) = ˆA(q)x(t) + ˆB

_u

(q)u(t), y(t) =C

_y

x(t) (2.2.3)

où les matrices_Eˆ

_xx

_(q),_Eˆ

_x⇡

_(q),_Aˆ_(q)et_Bˆ

_u

_(q)sont des fonctions affines deq.

Preuve :([EPA15]) D’abord, (2.2.2) peut également s’écrire :

M(q) (t) = 0 (2.2.4)

oùM(q) =⇥ _¯

E

xx

(q) E^¯

x⇡

(q) ¯A(q) ¯B

u

(q)⇤

et (t) =

2

6

6

4

˙

x(t)

¯

⇡(t)

x(t)

u(t)

3

7

7

5^.

PuisqueM(q)est dépendante de l’incertitudeqde façon rationnelle, elle peut s’écrire sous la forme

LFT suivante :

M(q) =M

₁₁

+M

₁₂

⇤(q)(I M

₂₂

⇤(q))

¹

M

₂₁

(2.2.5)

où⇤est une fonction linéaire deq([HV04]).

Ensuite, en introduisant le signal auxiliaire⇡¯

₂

(t) = (I M

₂₂

⇤(q))

¹

M

₂₁

(t), (2.2.4) se réécrit :



M

₁₁

M

21

(t) +



M

₁₂

⇤(q)

M

22

⇤(q) I ^⇡¯

²

^{(t) = 0.} (2.2.6)

Enfin, en prenant⇡(t) =



¯

⇡(t)

¯

⇡

₂

(t) , on obtient la modélisation (2.2.8), où les matricesE

_xx

(q),E

_x⇡

(q),

A(q)etB

_u

(q)sont telles que :



M

11

M

₂₁

⁼

h

ˆ

E

xx

_Eˆ

_x⇡1

_Aˆ _Bˆ

_u

i

, E^ˆ

x⇡

(q) =



ˆ

E

x⇡1



M

12

⇤(q)

I M

₂₂

⇤(q) (2.2.7)

Comme le théorème 2.10 affirme qu’il est toujours possible de passer de la modélisation rationnelle

(2.2.2) à la modélisation affine (2.2.8), on suppose, dans la suite du manuscrit, que les matrices du

système sont des fonctions affines de l’incertitudeq. Compte tenu de ce qui vient d’être dit, la

modé-lisation utilisée est donc la suivante :

ˆ

E

xx

(q) ˙x(t) + ˆE

x⇡

(q)⇡(t) = ˆA(q)x(t) + ˆB

u

(q)u(t), y(t) =C

y

x(t). (2.2.8)

Remarque 2.11. — La réécriture de (2.2.2) en (2.2.8) n’est pas unique, puisque la

représenta-tion LFT (2.2.5) ne l’est pas.

— En général, il est possible de trouver des représentations (2.2.8) de taille réduite en

compa-raison de la LFT correspondante.

Dans toute la suite, les paramètres incertains ne seront pas exprimés explicitement ; on leur préférera

une interprétation géométrique à l’aide de leurs coordonnées barycentriques ([Pea00]). Ainsi, les

matrices dépendant deqsont réécrites sous la forme polytopique suivante :

ˆ

E

_xx

(q) =E

_xx

( ) =

V

X

v=1 v

E

_xx^[v]

, E^ˆ

_x⇡

(q) =E

_x⇡

( ) =

V

X

v=1 v

E

_x⇡^[v]

,

ˆ

A(q) =A( ) =

V

X

v=1 v

A

^[v]

, B^ˆ

u

(q) =B

u

( ) =

V

X

v=1 v

B

_u^[v]

. (2.2.9)

Autrement dit, la matriceE

_xx

( )(E

_x⇡

( ),A( )etB

_u

( )respectivement) évolue dans le simplexe

dont les V sommets sont les matrices E

_xx^[v]

(E

_x⇡^[v]

, A

[v]

et B

^[v]_u

respectivement), v = 1. . . V. Les

matricesE

xx^[v]

,E

x⇡^[v]

,A

^[v]

etB

u^[v]

sont connues et correspondent aux cas où les paramètres incertains

prennent leurs valeurs extrêmales. Etant donné que chaque paramètre incertain possède deux valeurs

extrêmales (une minimale et une maximale), le nombre de sommetsV de chaque polytope est égal à

2

^↵

, où↵est le nombre de paramètres incertains.

Comme annoncé précédemment, les scalaires

v

correspondent à une interprétation géométrique du

domaine d’incertitude des paramètres incertains. Formellement, cela s’écrit :

2

V

= 2R

V

: 0,1

T

= 1 . (2.2.10)

V

est appelé simplexe des incertitudes et est illustré sur la Figure 2.1.

Par abus de langage, le vecteur sera maintenant appelé "incertitude". On se souviendra que le modèle

incertain est construit sur la base du polytopeQ. Pour deux ensemblesQ

1

⇢ Q

2

, on a donc deux

modèles différents qui correspondent à des ensembles d’incertitudes ici inclus l’un_Q

1

dans l’autre

Q

2

. Si le système considéré est stable quel que soitq2Q

2

, alors il l’est quel que soitq 2Q

1

, mais

pas inversement.

2.2.2 Stabilité des systèmes descripteurs incertains

Comme dans la section 1.2 de ce chapitre, on cherche à établir des conditions de stabilité pour le

système (2.2.8).

Définition 2.12. Le système descripteur (2.2.8) estrobustement stables’il est stable (selon la

défini-tion 2.5) pour toute valeur de l’incertitude dans le simplexe des incertitudes

V

.

FIGURE2.1 – Simplexe des incertitudes

V

en dimension 3

Hypothèse 1. On suppose que :

[E

_xx

( ) E

_x⇡

( )] =E

₁

( ) [E

_2xx

E

_2x⇡

] (2.2.11)

où la matriceE

₁

( ) =P

_V

v=1 v

E

₁^[v]

est de rang plein quel que soit ₂

V

.

L’hypothèse 1 revient à supposer que les éventuels modes impulsionnels et les sous-ensembles

d’équi-libre sont indépendants de l’incertitude . Dans le cas où le système ne possède pas de mode

im-pulsionnel (notamment dans le cas où le système n’est pas descripteur), l’hypothèse esta fortiori

respectée.

En pratique, il sera très souvent possible de choisirE

₁

( ) = [E

_xx

( ) E

_x⇡

( )]et[E

_2xx

E

_2x⇡

] =I.

On peut maintenant énoncer une condition suffisante de stabilité robuste pour le système (2.2.8) :

Théorème 2.13. Sous l’hypothèse 1, soitE

₂

=E

_2x⇡^?

E

_2xx

. Le système (2.2.8) est robustement stable,

c’est-à-dire stable pour tout de

V

, s’il existe des matricesP

^[v]

,Y

^[v]

etS telles que les LMI

sui-vantes soient satisfaites pour toutv= 1. . . V :

(E

₂

E

₂

)

^T

P

^[v]

(E

₂

E

₂

) 0, (2.2.12)

"

0 P

e^[v]T

P

e^[v]

0

#

+n

Sh

E

₁^[v]

A

^[v]

io

_S

0, (2.2.13)

oùP

_e^[v]

= (E

₂^T

P

^[v]

+Y

^[v]T

E

₂^?

)E

_2x⇡^?

.

Comme pour le cas des systèmes descripteurs sans incertitude, la démonstration du théorème 2.13 est

disponible dans [EPA15].

On voit immédiatement l’intérêt du théorème 2.10, puisque le théorème 2.13 stipule que la

vérifi-cation des LMI (2.2.12) et (2.2.13) pour lesV valeurs extrêmales de suffit à prouver la stabilité

du système quelle que soit la valeur de l’incertitude à l’intérieur du simplexe

V

. Il est néanmoins

FIGURE2.2 – Quart de suspension de voiture

important d’insister sur le fait que les conditions (2.2.12) et (2.2.13) ne sont que suffisantes.

Lorsqu’il est question de robustesse aux incertitudes sur les paramètres d’un système, on cherche

souvent à prouver une propriété, une caractéristique du système valable quelle que soit la valeur de

l’incertitude . Si les matrices du système considéré sont des fonctions rationnelles de , alors il est

nécessaire de vérifier la propriété pour la totalité des valeurs prises par ces matrices. Si maintenant

les matrices du système considéré sont des fonctions affines de et que les conditions à tester sont

convexes, on pourra montrer qu’en vérifiant uniquement la propriété sur les valeurs extrêmales de ,

on obtient un résultat valable sur l’ensemble du simplexe

V

. Dans le premier cas, le nombre de cas

à tester est infini, alors que dans le second il est fini et égal au nombre de sommetsV de

V

.

Dans le document Contrôle adaptatif robuste. Application au contrôle d'attitude de satellites (Page 43-47)