Systèmes de Détection de Directions d’Arrivées (DDA)

Il existe plusieurs méthodes de traitement d’antennes et d’analyse spectrale, qui traitent les problèmes de localisation de sources émettrices d’énergie dans un milieu de propagation à partir des observations mesurées sur un réseau de capteurs. Pour une application radar, les sources émettrices se transformeront en signaux réflechis par les cibles à détecter. Dans les points suivants, nous allons présenter brièvement les différentes méthodes existantes, pour pouvoir situer la méthode que nous avons utilisée dans ce travail de thèse.

4.1 Méthode de formation de faisceaux

L’analyse spatiale, généralement nommée formation de faisceaux, fut développée par de nombreux auteurs[61]. Cette méthode consiste à remettre les signaux en phase pour une direction à détecter, puis à les sommer. Cette façon de faire est fondée sur l’espoir que la sommation des signaux remis en phase multipliera l’amplitude du signal utile d’un facteur bien plus important que celui appliqué à l’amplitude du bruit . Une extension de cette meth- ode est [62]. Si on utilise la somme et la différence d’une antenne monopulse tel que Tha- les pour sa 3egénération [92]. Les vecteurs de pondération sont alors choisis de manière à maximiser la puissance du signal dans une direction particulière. La puissance reçue est évaluée comme étant une fonction de l’angle d’arrivée sous certaines conditions, et les maxima de puissance obtenus dans le diagramme de puissance correspondent aux dif- férentes directions d’arrivée des signaux.

Figure 4.1: Diagramme de rayonnement

Sur la figure (4.1), nous remarquerons que s’il n’existait qu’un seul lobe et si la source se trouvait sur un point différent de la direction de la puissance maximale (par exemple P/2), nous retrouverons une contrainte en plus, pour déterminer la position (droite ou gauche) par rapport à la puissance maximale. Donc, pour la détection des DDAs, nous utiliserons un réseau d’antennes semblable à celui de la figure (4.2) qui présentera séquentiellement différents lobes très directifs pour avoir la meilleure résolution possible[5].

lobes secondaires P P/2 P/2 θ lobe principal L Antenne lobes difus

θθθθ Ouverture à mi-puissance

P Puissance

L Largeur de l’antenne

122 Systèmes de Détection de Directions d’Arrivées (DDA)

Figure 4.2: Système de détection de DDAs par balayage électronique (méthode de formation

de faiseaux ).

Si les performances obtenues par la méthode élémentaire de formation de faiseaux sont insuffisantes, il serait possible d’effectuer une pondération des signaux reçus par les dif- férents capteurs avant de les sommer en phase. Cette opération permet, au prix d’un faible élargissement du lobe formé, de réduire considérablement le niveau des lobes secon- daires[63].

4.1.1. Principe de la méthode de formation de faiseaux

Soit x_i(t) le signal reçu sur le i-ième capteur et w_i la pondération correspondante. Nous obtiendrons à la sortie du réseau d’antennes:

Eq (4.1)

o ù W = [ w₁, w₂, . . . w_N]T r e p r é s e n t e l e v ec t eu r de s p o n d ér a t i o n s c o m pl e x e s e t X(t)=[x₁(t),x₂(t),...,x_n(t)]T représente le vecteur signal.

La puissance ’’P’’ en sortie du réseau s’exprime alors sous la forme:

Eq (4.2) w3 w4 wn w2 w1 Processus adaptatif x(t) y(t) INFORMATION Σ y t( ) w ixi( )t i = 1 N

∑

Où R_xx représente la matrice de covariance du signal mesuré. WH est le transposé con- jugué de W.

Les maxima de P_FV donne les directions d’arrivée.

Nous avons vu que cette méthode consiste à réaliser un balayage électronique et à mesurer la puissance de sortie en fonction de la direction visée.

Si la résolution obtenue n’est pas suffisante pour la situation considérée, il est posible de mettre en oeuvre une formation de faiseaux adaptative ou méthode de Capon.

Ce méthode repose sur une hypothèse d’indépendance des sources; par conséquent, ses résultats sont mauvais dans un contexte de multitrajets.

4.1.2. Méthode de Capon[64]

Dans le cas précédent, si deux sources sont situées dans le même lobe principal, nous ne serons pas capable de détecter les deux sources, pourtant nous utiliserons la méthode de Capon, qui consiste à optimiser le vecteur de pondération afin de maximiser la contribution du signal de la DDA recherchée par rapport aux autres signaux.

Le principe de cette méthode reste identique à celui de la formation de faiseaux mais nous imposons une contrainte supplémentaire, celle de minimiser la puissance dans toutes les directions autres que celle visée, dans laquelle, nous forçons un gain de 1.

Donc, après le calcul des pondérations réalisé avec les multiplicateurs de Lagrange[65], nous pouvons obtenir l’expression de la puissance de la forme suivante:

Eq (4.3)

R_xx-1 étant l’inverse de la matrice de covariance du signal mesuré et a(θ) le vecteur direct- eur qui contient la source à détecter.

En pratique, l’opération à effectuer consiste à estimer la matrice d’intercorrelation R_xx des signaux, puis à calculer pour chaque valeur de θ le valeur de la puissance, pour déterminer le maximum, qui correspondra à la direction d’arrivée que nous voulons déterminer.

Un point à remarquer sera qu’en présence d’un très faible bruit blanc, R_xx-1 est dominée par le terme (1/ )Π_s, avec une estimation de la variance du bruit et Π_s la matrice qui correspond au sous-espace signal ,et la valeur de puissance P-1_cap(θ) reproduira le pseudo spectre de MUSIC, que nous verrons ultérieurement.

P_cap 1 aH( )Rθ xx 1 – a( )θ --- = σ2 σ2

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4.2 Les Méthodes de haute résolution: Les méthodes du sous-espace bruit

Le qualificatif de haute résolution a été donné aux méthode de traitement d’antennes qui ont une meilleure résolution que la méthode de formation de faiseaux classique, com- mentée précédemment.

Les méthodes à haute résolution sont fondées sur les propriétés de la matrice de corréla- tion des observations qui on été mises en évidence par les travaux de Pisarenko 1973 [66] et Ligett 1972 [67]. Pisarenko est le premier à avoir mis en évidence les propriétés impor- tantes des vecteurs propres de la matrice de corrélation, qui a une structure de toeplitz ( pour des sources non corrélées ). Pour comprendre la signification de le structure de toeplitz, nous considérons un processus aléatoire stationnaire à temps discret x(n). La matrice de covariance Rxx est une matrice de toeplitz si R_xx=R_xxH et les parallèles à la diagonale principale sont constituées de termes égaux en raison de la stationarité du pro- cessus[68]. La méthode qu’il propose dans son article, fait intervenir un espace bruit réduit à un seul vecteur, ce qui revient à supposer que le nombre de sources est connu et égal au nombre de capteurs moins un, ce qui, en réalité, n’est pas toujours le cas. Ligett a été le premier à proposer l’utilisation des valeurs propres pour déterminer le nombre de sources à détecter, ansi que la notion de sous-espace bruit et sous-espace signal, et le problème de l’identification à un modèle paramétrique de la matrice inter-spectrale mesurée ( définie comme étant la transformée de fourrier de la matrice formée par les échantillons [68]) . De plus, il a traité des aspects statistiques du problème d’estimation de la matrice inter-spec- trale et du test de détection. Même de nos jours, [68] affirme que les propositions faites par Ligett sur l’estimation des matrices inter-spectrales, n’ont pas été pleinement exploitées. En 1976 Henri Mermoz [69] a contribué au développement des antennes adaptatives appli- quées à l’acoustique sous-marine (sonars actifs et passifs). Il a demontré la structure algébrique de la matrice inter-spectrale et a repondu à la question de l’identification algébrique des paramètres qui forment la matrice telles que les valeures propes non-nulles, et l’orthogonalité entre les vecteurs formant la matrice. Ces études ont conduit en 1979 Bienvenu et Kopp[70] à déterminer les DDAs en travaillant sur le sous-espace bruit orthog- onal au champ de source, dans le cas d’une propagation par ondes planes et d’un réseau linéaire d’antennes. Indépendamment Schmidt [71] en 1979 a appliqué cette méthode et l’a baptisée MUSIC ( MUltiple SIgnal Characterisation ).

L’inconvénient de cette méthode apparaît en présence de sources corrélées, provoquant une dégradation très rapide de la détection des DDAs. Plusieurs solutions telles qu’un lis-

sage spatial ou une estimation progressive-rétroactive de la matrice de corrélation (Spatial Smoothing[72]) doivent être utilisées. Ces techniques diminueront l’angle d’ouverture dans lequel on pourra détecter les sources.

Il existe aussi des méthodes comme ’’la Méthode du maximum de vraisemblance’’ [73], plus efficace en présence de sources corrélées, mais beaucoup plus compliquée à mettre en oeuvre.

En conclusion, grâce à sa simplicité et ses performances MUSIC s’impose, et est l’algo- rithme le plus utilisé pour la détection des DDAs actuellement .

4.2.1. MUSIC ( MUltiple SIgnal Classification )

Parmi toutes les méthodes de traitement du signal à haute résolution utilisées pour l’esti- mation des angles d’arrivée, la méthode MUSIC [71] est celle qui est mise en oeuvre le plus souvent.

Cette méthode qualifiée de ’’haute résolution’’ est fondée sur la décomposition propre de la matrice de covariance des signaux issus des capteurs R_xx. Cette décomposition permet de définir un sous-espace signal et un sous-espace bruit :

-Le vecteurs propres engendrent le ’’sous-espace signal’’ identique à celui engendré par les vecteurs directionnels des sources.

-Tous les autres vecteurs engendrent le sous-espace bruit, orthogonal aux précédents.

Figure 4.3: Représentation des valeurs propes de R_xx.

Nous pouvons voir sour la figure (4.3) la représentation des deux sous-espaces et le seuil (σ_b2) utilisé pour calculer le nombre de signaux à détecter.

σb2