I.2 Dynamique des structures
I.2.1 Système N ddl
Les systèmes conservatifs permettent de déterminer les pulsations propres et les déformées propres du système à N ddl. Les équations du mouvements d'un système conservatif s'écrivent matriciellement :
[M]{¨x(t)}+ [K]{x(t)}={f(t)} (I.13) [M] et [K] sont respectivement la matrice de masse et la matrice de raideur. {f(t)} est le vecteur des forces où chaque terme correspond à la force appliquée en chaque degré de liberté. Les équations sont couplées par les deux matrices,[M]et[K]. Un changement de base va permettre de les découpler. C'est le principe de la synthèse modale ou superposition modale.
Ce changement de base introduit la notion de matrice de vecteurs propres, [φ], dont les colonnes sont les vecteurs propres {φj}. Cette matrice constitue le lien entre les déplacements, {x(t)}, et les déplacements dans la nouvelle base, {q(t)} :
{x(t)}= [φ]{q(t)} (I.14)
Ainsi, en insérant l'équation (I.14) dans l'équation (I.13) puis en multipliant à gauche par [φ]T, on obtient :
[φ]T[M][φ]{¨q(t)}+ [φ]T[K][φ]{q(t)}= [φ]T{f(t)} (I.15) [φ]T[M][φ] et[φ]T[K][φ]vérient une propriété importante appelée orthogonalité des modes propres. Ainsi, ce sont des matrices diagonales, dites généralisées, que l'on note respectivement dMgcetdKgc. On obtient la relation :
dMgc{q(t)}¨ +dKgc{q(t)}= [φ]T{f(t)} (I.16) En multipliant pardMgc−1 à gauche de chaque membre, on obtient une relation matricielle dont les équations sont découplées, équation (I.17). Il apparaîtN pulsations propres,ω0i =
qki
mi, associées à chaque vecteur propre {φi}. Chaque équation découplée peut être résolue, donnant les déplacements modaux, q, et grâce à l'équation (I.14) revenir aux déplacementsx(t).
{¨q(t)}+diag(ω02i){q(t)}=dMgc−1[φ]T{f(t)}={fe(t)} (I.17)
a.En oscillations libres.
En oscillations libres, le vecteur des forces {f(t)} est nul. Ainsi, nous obtenons un système découplé d'équations diérentielles du second ordre de la forme :
¨
qj(t) +ω20jqj(t) = 0 (I.18)
dont la résolution exprime les déplacements dans la base modale :
qj(t) =Cjcos(ω0jt+ϕj) (I.19)
D'après la relation (I.14), nous déterminons les déplacements,{x(t)}, dans la base réelle :
Pour une force harmonique,{fe(t)}={F0}cosωt, nous cherchons une solution particulière de l'équation (I.17) de la forme qj(t) =Qjcos(ωt). Ainsi, la solutionqj(t) s'écrit simplement :
qj(t) = F0j
ω20j−ω2cos(ωt) (I.21) d'où les déplacements {x(t)} du système discrétisé :
{x(t)} =
L'amortissement est considéré comme une perturbation du modèle idéal précédent. Cepen-dant, son implication va nécessiter des hypothèses simplicatrices car les mécanismes dissipatifs sont très complexes. Les frottements entre les assemblages, les dissipations par couplage avec un uide sont autant de paramètres qui rendent le phénomène complexe [Bert 73], [Plou 98]. Le modèle le plus simple est le modèle visqueux où les forces de dissipation sont liées à la vitesse, équation (I.23).
{fdissipation}= [C]{x(t)}˙ (I.23)
Ceci amène à la relation d'équilibre :
[M]{x(t)}¨ + [C]{x(t)}˙ + [K]{x(t)}={f(t)} (I.24) La résolution de cette équation peut être réalisée par deux grandes méthodes : soit l'utilisation du modèle d'état, où la résolution se réduit à une équation diérentielle du premier ordre, soit le passage dans la base propre, où les équations se voient découplées.
Résolution par le modèle d'état (approche par modes complexes)
Le modèle d'état, déni par l'équation (I.25), permet de simplier la résolution de l'équation du second ordre en une résolution d'un problème diérentiel à deux matrices du premier ordre.
· [C] [M]
Les matrices [D] et [G] sont des matrices carrées réelles symétriques. {y(t)} est le vecteur d'état dont les N premiers éléments représentent les déplacements {x(t)} tandis que les N sui-vants représentent les vitesses {x(t)}˙ . Nous n'évoquerons que les résultats essentiels de la réso-lution de ce système. Une résoréso-lution détaillée est réalisée par Del Pedro et Pahud [DelP 89].
Il existe une matrice[B] telle que les deux matrices, [D]et [G], sont diagonalisables. Cette matrice est la matrice des vecteurs propres, {Bj}. Nous exprimons ainsi le vecteur d'état dans la base propre, équation (I.26).
{y(t)}= [B]{q(t)} (I.26)
En multipliant l'expression (I.25) à gauche par [B]T, les équations du systèmes sont décou-plées :
[B]T[D][B]{q}˙ + [B]T[G][B]{q} = [B]T
½ {f(t)}
0
¾
{q}˙ +dDgc−1dGgc{q} = {fe(t)} (I.27)
a.En oscillations libres.
La solution en oscillations libres conduit aux 2N valeurs propres complexes conjuguées sui-vantes :
sj =−ωjζj±iωj q
1−ζj2 (I.28)
ζj est le coecient d'amortissement, déni parζj = cj
2√
kjmj, etωj est la pulsation propre du système conservatif. Chaque valeur propre est associée au mode complexe {Bj}, au nombre de 2N.
La réponse dans l'espace d'état s'écrit :
qj(t) =Qje−sjt (I.29)
Nous en déduisons la réponse dans la base réelle de départ {y(t)}, dont les N premiers éléments correspondent aux déplacements,{x(t)}:
{y(t)} = X2N
j=1
{Bj}qj(t)
= X2N
j=1
{Bj}Qje−sjt (I.30)
b.En régime établi forcé.
L'excitation harmonique a pour pulsation ω, {fe(t)} = {f0}eiωt. On cherche une solution particulière aux équations découplées sous la forme qj(t) = Ajcos(ωjt) +Bjsin(ωjt), d'où le système linéaire à résoudre : ½
Bjω+sjAj =fej
−Ajω+sjBj = 0 (I.31)
Les réponses dans l'espace d'état puis les réponses dans la base réelle sont déduites :
qj(t) = fej 1
sj +ω2/sjcos(ωt) +fej ω/sj
sj+ω2/sjcos(ωt) {y(t)} =
X2N
j=1
{Bj}qj(t) (I.32)
Cette forme est appelée forme fractionnelle partielle ; elle montre que l'on peut écrire la réponse du système sur la base des vecteurs propres complexes et cela quelque soit l'allure de la matrice d'amortissement. C'est à partir de cette réponse que se fera l'identication modale.
Résolution dans la base propre (approche par modes réels)
Le passage dans la base propre est une méthode très appréciée en analyse modale car elle permet d'"isoler" les paramètres modaux de chaque mode, et plus particulièrement l'amortisse-ment modal. Ainsi, au même titre que la matrice de masse généralisée ou la matrice de raideur généralisée, il est déni la matrice d'amortissement généralisée :
[φ]T[C][φ] =dCgc (I.33)
d'où la relation dynamique dans la base propre :
{q(t)}¨ +dMge−1dCgc{q(t)}˙ +dMgc−1dKgc{q(t)}=dMgc−1[φ]T{f(t)}={fe(t)} (I.34) Cependant, la matrice généralisée,dCgc, est en principe une matrice pleine, rendant les équa-tions non-découplées. Ce sont les coecients extra-diagonaux de la matrice dCgc qui couplent les équations. C'est pourquoi des hypothèses supplémentaires sont nécessaires. La première hy-pothèse possible est celle de Rayleigh qui suppose un amortissement visqueux proportionnel aux matrices de masse et de raideur, rendant la matrice d'amortissement diagonalisable, [Caug 60].
On dit de cet amortissement, qu'il est proportionnel car il peut s'exprimer comme la combinaison linéaire des matrices [M]et[K], soit
[C] =α[M] +β[K] (I.35)
La deuxième hypothèse possible vérie l'hypothèse de Basile. Celle-ci constitue une matrice diagonale modale, équation (I.36). Ce principe est souvent acceptable pour des structures simples, dont les amortissements et les densités modales sont faibles.
[φ]T[C][φ] =diag(2ζjω0jmj) (I.36) Notons que, dans le cas d'un amortissement non-proportionnel, on dit que les modes sont couplés par l'amortissement lorsque la séparation entre deux modes adjacents est inférieure au triple de la bande à -3dB du mode le plus amorti, [Folt 98].
En vue du système étudié à travers cette thèse, nous traitons le cas d'un amortissement pro-portionnel muni de l'hypothèse de Basile.
a.En oscillations libres.
Nous avons la relation suivante :
[M]{¨x(t)}+ [C]{x(t)}˙ + [K]{x(t)}={0} (I.37) Dans la base modale, nous obtenons :
{¨q(t)}+dMgc−1dCgc{q(t)}˙ +dMgc−1dKgc{q(t)} = {0}
{q(t)}¨ +diag(cj/mj){q(t)}˙ +diag(ω20j){q(t)} = {0}
{q(t)}¨ +diag(2ζjω0j){q(t)}˙ +diag(ω20j){q(t)} = {0} (I.38) Ce système découplé permet de calculer chaque déplacement modalqj(t) :
qj(t) =Ccos(ωrj+ϕj)e−ζjω0jt (I.39) Pour un amortissement faible, ζ2 <<1, la pulsation amortie ωrj est égale à la pulsation propre ω0j. Ainsi, on déduit les déplacements dans la base de départ :
{x(t)} = Le déplacement en un point de la structure s'écrit :
xk(t) =
Pour une force harmonique,{fe}={f0}cosωt, nous cherchons une solution particulière de la forme qj(t) =
q
A2j +Bj2cos(ωjt+ϕj).
Nous obtenons ainsi un système linéaire d'équations à deux inconnues : ( (ω20j−ω2)A+ 2ζjω0jωjB = 0
−2ζjω0jωA+ (ω02j−ωj2)B =F0j/m (I.42) La résolution de ce système permet de déduire l'amplitudeq
A2j +B2j et la phaseϕj : On en déduit donc les déplacements{x(t)}:
{x(t)}= XN
j=1
{φj}qj(t) (I.45)
I.2.1.3 Fonction de transfert ou FRF
Nous déterminons à travers cette section, la notion de fonction de transfert pour un système N ddl dans l'hypothèse de l'amortissement visqueux proportionnel. Il est commun de nommer ces fonctions comme fonction réponse en fréquences (FRF). Notons que nous aurions pu introduire cette fonction précédemment pour calculer les déplacements dynamiques mais nous avons choisi de mettre cette fonction en exergue car elle est la base de l'analyse modale.
Nous mettons en évidence la fonction de transfert en transposant l'équation (I.24) dans l'espace fréquentiel. Pour ceci, nous utilisons les formes complexes dénies par :
f(t) =F cos(ωt) devient sous forme complexe f(t) =F eiωt
x(t) =Xcos(ωt+ϕ) devient sous forme complexe x(t) =Xeiωt (I.46) Ainsi, nous obtenons la relation (I.47) dans l'espace fréquentiel :
−ω2[M]{X}+iω[C]{X}+ [K]{X} = {F}
¡−ω2[M] +iω[C] + [K]¢
{X} = {F} (I.47)
On en déduit la fonction de transfert,[H]: [H] =¡
−ω2[M] +iω[C] + [K]¢−1
(I.48) En injectant les relations [M] = [φ]dMgc[φ]T,[K] = [φ]dKgc[φ]T et [C] = [φ]dCgc[φ]T dans la relation précédente, on obtient :
[H] = (−ω2[φ]dMgc[φ]T +iω[φ]dCgc[φ]T + [φ]dKgc[φ]T)−1 [H] =
³ [φ]¡
−ω2dMgc+iωdCgc+dKgc¢ [φ]T
´−1
[H] = [φ].¡
−ω2dMgc+iωdCgc+dKgc¢−1
.[φ]T (I.49)
dMgc, dCgc, dKgc sont des matrices diagonales donc l'inverse de la somme de ces matrices est l'inverse terme à terme, ainsi :
[H] = [φ]diag
³ 1
−ω2mr+iωcr+kr
´ [φ]T
[H] = XN
r=1
{φr}{φr}T
−ω2mr+iωcr+kr (I.50)
Cette fonction de transfert pourrait se nommer matrice de transfert car elle caractérise le transfert des vibrations entre plusieurs entrées et plusieurs sorties. Ceci correspond au système MIMO (Multiple Input Multiple Output).
La fonction de transfert entre deux pointsietj s'écrit : hij(ω) =
XN
r=1
φr(i)φr(j)
−ω2mr+iωcr+kr (I.51)
La fonction de transfert explicitée est en fait la fonction de compliance car elle correspond à un rapport entre déplacement et force. Les fonctions de transfert portent des dénominations diérentes suivant la nature du rapport. Ces dénominations sont normalisées. Voici quelques exemples :
X(ω)F(ω)=deplacement
f orce : Compliance
X(ω)F(ω)=deplacementf orce : Raideur dynamique VF(ω)(ω)=vitessef orce : Mobilité
FV(ω)(ω)=vitessef orce : Impédance A(ω)F(ω)=acceleration
f orce : Accélérance A(ω)A(ω)=acceleration
acceleration : Transmissibilité
La fonction de transfert joue un rôle primordial pour réaliser l'analyse modale car son étude permet de déterminer les paramètres modaux (amortissements, fréquences et déformées).