3.4 Synthèse sur la spécificité des maillages
structurés
Avant de conclure ce chapitre, on fait le point sur la spécificité des maillages
structurés, afin de mieux préparer le lecteur au chapitre 4.
Le premier point abordé est celui de la condensation de masse. Nous avons
montré que ce procédé permettait d’éviter l’inversion d’une matrice de masse
non diagonale, cela sans dégrader la précision de l’aproximation en éléments
finis. En pratique, cette propriété reste vraie tant que le maillage reste
homo-gène (la taille des éléments varie peu) et ne contient pas de triangles aplatis.
Il faudra donc être très attentif quand on utilisera la condensation de masse
sur des maillages non structurés.
Le deuxième point abordé concerne les conditions aux limites du domaine
de résolution de l’équation de diffusion. En effet, imposer des conditions aux
limites est obligatoire pour que l’équation soit bien posée, et a pour effet de
déformer la réponse impulsionnelle proche des frontières du domaine. Ce
phé-nomène est indépendant du type de maillage, car il est de nature analytique.
Ainsi, on retrouvera le même effet sur des maillages non structurés.
84 Chapitre 3: Etude sur des maillages structurés
3.5 L’essentiel du chapitre
Le premier moyen de vérifier le contenu d’une matrice de corrélation est
de visualiser ses colonnes. C’est ce qu’on effectue en étudiant la réponse
impulsionnelle de l’opérateur de diffusion. Cette première expérience permet
de montrer en pratique la proximité entre le modèle de diffusion et le modèle
de Matérn en pratique. C’est aussi un moyen d’illustrer les effets de bords et
la condensation de masse, appoximation couramment utilisée en conjonction
avec la méthode des éléments finis.
Ce qu’il faut retenir :
− Les matrices d’éléments finis sont creuses. Pourtant, leurs inverses ne
le sont pas forcément.
− Il est donc exclu de calculer les coefficients de ces inverses.
− Pour inverser la matrice de masse, il est possible de la diagonaliser en
faisant appel à la condensation de la masse.
− La qualité de la modélisation est soumise à l’effet des conditions aux
limites du domaine.
− Dans la pratique, on utilise les conditions de Neumann, conservatives
Chapitre 4
Application aux données du
sondeur Seviri
Ce chapitre est l’un des plus importants du manuscrit. Le chapitre 3 a
montré comment la théorie développée dans la partieIs’adaptait aux données
reposant sur des maillages réguliers. Il s’agit maintenant de valider cette
mo-délisation sur des maillages non structurés. Pour ce faire, on met en place des
expériences construites à partir d’observations satellites réelles. On montre
ainsi les limites de l’approche basée sur la discrétisation de l’équation de
dif-fusion en éléments finis, et on met en avant les éventuels écueils qui feront
l’enjeu de la partieIII.
La section 4.1 décrit les données utilisées dans les expériences. Ces
don-nées subissent un certain nombre de prétraitements en amont de leur
assimi-lation, qui sont la cause de leur structure spatiale hétérogène. Dans la section
4.2, on estime les paramètres de corrélation en ajustant le modèle de Matérn
au diagnostic de Desroziers et al. [2005]. On évoque aussi la possibilité de
superposer plusieurs modèles pour mieux décrire les données.
La section 4.3 expose les grands principes de la génération de maillage.
On y précise la notion de « bon maillage », cruciale dans l’interprétation de
nos résultats. Ces aspects de géométrie plane sont repris dans la section4.4,
lors de la validation de notre méthode sur le maillage construit à partir des
données satellitaires. L’objectif est de retrouver des résultats similaires à ceux
du chapitre 3, tout en s’efforçant d’expliquer l’origine des erreurs de
modé-lisation observées dans certaines régions du domaine d’étude. Le traitement
de ces erreurs fait l’objet de la section 4.5, laquelle s’attache en
particu-lier aux méthodes visant à corriger l’amplitude des fonctions de corrélations
85
86 Chapitre 4: Application aux données du sondeurSeviri
modélisées.
4.1 Présentation des données de Seviri
Le capteurSeviri(Spinning Enhanced Visible and InfraRed Imager) est
un radiomètre à balayage embarqué sur les satellites géostationnaires Msg
(Meteosat Second Generation). Il dispose de12canaux d’acquisition
permet-tant d’observer le rayonnement émis par la Terre dans 12 bandes spectrales
quasi-distinctes (figure 4.1), conformément aux objectifs de la mission Msg
[Aminou et al., 2003]. En particulier, 8 de ces canaux sont situés dans le
domaine infrarouge (d’où le nom du sondeur), ce qui permet d’obtenir une
grande quantité de données concernant la température de surface de la mer,
de la terre et des nuages. La résolution spatiale du sondeur est égale à 3
ki-lomètres au nadir
1(le point situé sous la satellite, directement à la verticale
du sondeur), et se dégrade avec la latitude. Une image complète de Seviri
comporte approximativement 10
7pixels par canal.
Figure 4.1 – Canaux d’observation du sondeur Seviri superposés au spectre
de transmission de l’atmosphère.
Le sondeur Seviri couvre un domaine large de 11000 km (figure 4.2).
Ses observations sont assimilées dans les modèles de prévision numérique du
temps, tels que Arpège et Arôme. Nos expériences s’appuient sur le
do-maineArôme, qui couvre la France métropolitaine et son entourage proche
(4.3). Le nombre typique d’observations disponibles par canal dans ce
do-maine est de l’ordre de10
4-10
5.
1. Pour tous les canaux sauf HRV, pour lequel la résolution est de1 km au nadir. Le nombre de pixels par image est également différent pour ce canal.
4.1. Présentation des données deSeviri 87
Figure 4.2 – Domaine spatial vu parSeviri.
On fait l’hypothèse que les données
2provenant d’instruments différents
ne sont pas corrélées entre elles. De même, on suppose que les données issues
de canaux différents d’un même sondeur peuvent être corrélées, mais que
ces corrélations peuvent être prises en compte indépendamment des
corréla-tions spatiales [Michel, 2018]
3. Ainsi, on fait l’hypothèse que la matrice de
corrélation d’erreurs d’observation est diagonale par bloc. Chaque bloc
cor-respond à un canal d’un instrument. Dans la suite du document, quand on
fait référence à « la matrice R », on fait en fait référence à un bloc de cette
matrice, sous-entendant que chaque bloc peut être traité indépendamment
et de manière analogue (au choix des paramètres près).
Dans leur étude, Waller et al. [2016a], Michel [2018] ont montré que les
observations deSeviricomportaient d’importantes corrélations horizontales
d’erreurs d’observation dans le canal 2. On choisit donc d’utiliser ces mêmes
données pour réaliser nos expériences. Les paramètres de corrélation
corres-pondant sont estimés dans la section4.2.
2. Terme abusif. Comprendre « les erreurs contenues dans les données ».
3. En pratique, la situation est légèrement plus compliquée. Pour pouvoir faire la sé-paration entre les corrélations verticales (intercanaux) et les corrélations horizontales, il faut supposer que lethinning est indépendant du niveau vertical. Lorsque ce n’est pas le cas, il est envisageable de modéliser des corrélations 3D, toujours avec des techniques de diffusion.