Chapitre 4 Robustification avec prise en compte des contraintes
4.4 Application aux convertisseurs de puissance
4.4.3 Synthèse d’un paramètre de Youla-Kučera
La loi de commande par retour d’état et observateur obtenue dans le paragraphe précèdent est maintenant robustifiée de façon à augmenter l’espace invariant maximal pour les contraintes et perturbations considérées. Deux paramètres sont comparés dans les figures suivantes. Le premier obtenu sans contraintes de performance et le deuxième avec des contraintes de performance obtenues en imposant une région pour les pôles en boucle fermée de rayon 0,82.
La Figure 4.15 montre les ellipsoïdes obtenus. Comme on pouvait s’y attendre, l’ellipsoïde correspondant au paramètre obtenu sans contraintes de performance est le plus grand. Ce paramètre permet de robustifier la commande au prix d’une dynamique plus lente. La Figure 4.16 montre les fonctions de sensibilités obtenues. On peut voir comment le système est plus robuste vis-à-vis des incertitudes additives non-structurées, mais avec une bande passante plus faible. Le paramètre de Youla-Kučera obtenu avec les contraintes de performance permet par contre d’augmenter la région invariante (Figure 4.15) avec une petite dégradation de la bande passante (Figure 4.16).
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 x 10−3 10 20 30 Vin (V) temps (s) 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 x 10−3 0 5 iL (A) temps (s) 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 x 10−3 12 15 20 temps(s) Vc (V) 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 x 10−3 0.2 0.5 0.7 temps (s) d
102 Chapitre 4 – Robustification avec prise en compte des contraintes
Figure 4.15. Projections sur V~ et I~ des ellipsoïdes maximaux.
Commande par retour d’état et observateur et paramètre Q
Figure 4.16. Fonction de sensibilité vis-à-vis d’une incertitude additive. Commande par retour d’état et observateur et paramètre Q
La Figure 4.17 permet finalement de comparer les résultats expérimentaux obtenus avec la loi de commande par retour d’état et observateur, et celle obtenue avec le paramètre
Q synthétisé avec des contraintes de performance. Ces figures montrent la réponse du
système à une perturbation de mesure de 3Volts et la comparent à une réponse obtenue avec un correcteur PI. Le temps de réponse avec le paramètre de Youla-Kučera est approximativement le même que sans ce paramètre de robustification, mais avec un signal de commande plus amorti.
I
Contribution à la robustification des lois de commande 103
Figure 4.17. Réponse à une perturbation de sortie. Commande par retour d’état et observateur et paramètre Q
4.5 Conclusions
Ce chapitre montre la prise en compte des contraintes et perturbations bornées dans la robustification et la synthèse de lois de commande. Les contraintes au niveau des entrées, de l’état ou de la sortie du système sont facilement gérées avec des inégalités matricielles. Par ailleurs, les effets des perturbations bornées peuvent aussi être considérés en utilisant la notion d’ISS (stabilité entrée-état) et la « S-procedure » pour la résolution du problème d’optimisation défini avec des inégalités matricielles.
Dans une première étape, on a montré que l’utilisation des ensembles invariants pour robustifier permet d’obtenir des résultats comparables aux méthodes fréquentielles avec l’avantage de pouvoir utiliser des contraintes dès l’étape de synthèse de la loi de commande. Par ailleurs, le compromis entre la robustesse et la performance peut être géré avec la fonction de Lyapunov ou avec des contraintes sur la région des pôles en boucle fermée. Cette technique de robustification peut en plus s’appliquer à des systèmes modélisés par des descriptions polytopiques, ce qui revient à prendre en compte des incertitudes paramétriques, des systèmes LPV polytopiques ou des systèmes en commutation.
Dans une deuxième étape, les mêmes techniques ont été adaptées à la synthèse de la loi de commande en présence de perturbations bornées. Deux résultats sont montrés : la synthèse d’un retour d’état pour maximiser l’espace positif invariant maximal, et la synthèse d’une commande stabilisante par retour d’état et observateur avec la présence de perturbations bornées. De la même façon que pour la robustification, ces techniques peuvent s’appliquer aux cas des systèmes LPV polytopiques ou des systèmes en commutation. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10−3 0 2 4 temps (s) Perturbation (V) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10−3 0 1 2 3 temps (s) iL (A) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10−3 8 10 12 temps (s) Vc (V) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10−3 0 0.1 0,5 0.91 temps (s) d Observateur PI 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10−3 0 2 4 Perturbation (V) temps (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10−3 0 1 2 3 temps (s) iL (A) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10−3 8 10 12 temps (s) Vc (V) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10−3 0,4 0.5 0,6 0,7 temps (s) d Youla+performance PI
104 Chapitre 4 – Robustification avec prise en compte des contraintes
En vue des travaux précédents, il est possible d’envisager plusieurs axes de recherche pour le futur. Parmi eux, les deux les plus importantes seraient le tracking ou suivi de trajectoire et la robustification en-ligne.
La problématique du suivi de trajectoire consisterait à calculer des ensembles invariants à l’intérieur desquels l’erreur entre la consigne et la trajectoire de l’état puisse se situer sans aller à l’encontre des contraintes, tout en prenant en compte des perturbations bornées. La difficulté consiste à considérer la forme de la consigne (qui varie dans le temps) lors de la construction des LMIs.
Une autre voie à suivre serait l’implémentation des techniques développées dans ce mémoire pour la synthèse en-ligne d’une loi de commande à la fois robuste et performante, et l’extension de ces techniques dans le cadre de la commande MPC. La présence d’une perturbation bornée introduit une variable de décision supplémentaire qui multiplie une autre variable de décision. Comme cette nouvelle variable est scalaire, dans le cas de la synthèse hors-ligne le problème peut être résolu facilement par une boucle itérative. Pour le cas hors-ligne, cela ne pose pas de problèmes particuliers ; par contre, pour le cas en-ligne la charge et le temps de calcul peuvent devenir importants. Néanmoins, la technique développée dans ce mémoire permet de calculer les ellipsoïdes invariants minimal et maximal vis-à-vis d’un signal de commande additionnel introduit dans la boucle fermée apporté par le paramètre de Youla-Kučera. [FSH08, IRP07, KRS99] considèrent aussi un signal additionnel dans la boucle fermée, calculé en utilisant des techniques ensemblistes afin de satisfaire des contraintes en-ligne pour la commande de type MPC. Le lien entre ce signal et la paramétrisation de Youla- Kučera sont à explorer.
Chapitre 5
Robustification de lois de commande explicites
5.1 Introduction ... 107 5.2 Robustification et modèle de perturbation ... 110 5.3 Application à un convertisseur de puissance ... 113 5.4 Conclusions ... 116
5.1 Introduction
L’émergence des lois de commande explicites est fortement liée à la commande à horizon fini et à la commande prédictive. Cette commande est grandement utilisée dans l’industrie chimique grâce à sa capacité à prendre facilement en compte les contraintes du système. A chaque période d’échantillonnage, un problème d’optimisation est résolu où un critère à horizon fini est minimisé avec la prise en compte des contraintes physiques du système. Dans le cas des processus chimiques, la période d’échantillonnage est suffisamment grande pour réaliser une optimisation en ligne, et ce depuis les années 80. A partir des années 2000 [BBM02, GSD04, AB08], il a été remarqué que ce problème, notamment dans le cas d’un système linéaire avec des contraintes linéaires, fait partie d’une classe de problèmes de programmation multiparamétrique, où la solution est fonction d’un vecteur des paramètres du système. Cela veut dire que l’optimisation en ligne n’est plus nécessaire ; la connaissance de la valeur du vecteur des paramètres permet de connaître la solution au problème d’optimisation préalablement calculé hors ligne. De façon pratique, les solutions du problème d’optimisation sont calculées hors ligne et stockées dans une table, consultée en ligne par la suite.
Dans le cas des systèmes linéaires avec des contraintes linéaires, la solution du problème d’optimisation dépend de façon affine du vecteur des paramètres ; cela revient à un retour d’état et un terme constant. En plus ce retour d’état est constant dans une région convexe de l’espace des paramètres. Le problème est donc résolu hors ligne ; les régions convexes de l’espace des paramètres sont identifiées avec la commande que lui est associée et stockées dans une table. En ligne, à chaque période d’échantillonnage, avec la connaissance du vecteur des paramètres (mesuré ou estimé), la région active est identifiée et la commande associée est appliquée. Il faut remarquer que la commande obtenue est continue, et qu’il n’y a pas de discontinuités dans le changement de région.
1 1 1
( )
t t MPC t t k k t kLx l si x R
u f x
L x l si x R
. (5.1)La Figure 5.1 montre le mécanisme d’implantation de ce type de commande, et la Figure 5.2 montre un exemple de partition de l’espace pour un système avec deux paramètres.