ϕ1(u, x1) ϕ2(u, x1, x2) .. . ϕq(u, x1, . . . , xq)
Maintenant que les différents concepts d’observabilité nécessaires dans ce manuscrit ont été définis et que plusieurs exemples dans le cas mono-sortie et le cas multi-sorties ont été donnés, il convient de présenter l’outil permettant d’estimer une trajectoire d’état à l’aide de la sortie et de l’entrée du système, à savoir un observateur. Nous présenterons en guise d’illustration plusieurs observateurs courants dans la littérature dans le cas linéaire, à savoir l’observateur de Luenberger et le filtre de Kalman. Nous présenterons ensuite des observateurs de type grand gain, type d’observateur considéré tout au long de ce manuscrit, synthétisés ici sur deux classes de systèmes non linéaires, uniformément observables.
2.3 Synthèse d’observateurs
Comme cela a été dit ci-dessus, un observateur, ou reconstructeur d’état, est un outil mathé-matique permettant de reconstruire la trajectoire d’état d’un système par la seule connaissance de la sortie et de l’entrée du système à l’instant présent et aux instants passés. Dans cette optique, considérons le système dynamique général suivant :
OBS (
˙z(t) = f (z(t), u(t), y(t), t)¯ ˆ
x(t) = ¯h(z(t), u(t), y(t), t) (2.10)
où z ∈ X , et u et y sont respectivement l’entrée et la sortie du système (2.1).
Définition 2.3.1 (Observateur) Le système dynamique (2.10) est un observateur asymp-totique local pour le système (2.1) s’il existe un point x0 ∈ X et un voisinage Vx0 de x0 tels que
lim
t→+∞kˆx(t) − x(t)k = 0
pour toute condition initiale x(0)∈ Vx0. De plus, cet observateur est un observateur global si
lim
2.3. Synthèse d’observateurs
pour toute condition initiale x(0)∈ X . Enfin, on dit que la système (2.10) est un observateur exponentiel pour le système (2.1) s’il vérifie :
∃λ, µ > 0 tels que kˆx(t) − x(t)k ≤ µe−λtkˆx(0) − x(0)k
Cette dernière propriété est généralement très recherchée dans le cadre de la synthèse d’un observateur. Généralement, un observateur se met sous la forme suivante :
OBS (
˙ˆx(t) = f(u(t), ˆx(t)) − G(g)(h(ˆx(t)) − y(t))
˙g(t) = ϕ(ˆx(t), u(t), y(t), g(t)) (2.11)
L’observateur (2.11) est ainsi composé de deux termes additifs : le premier terme f(u(t), ˆx(t)) correspond simplement à une copie du modèle du système (2.1) ; le second terme, i.e. le terme G(g)(h(ˆx(t)) − y(t)), est ce que l’on appelle le terme de correction de l’observateur (2.11), et G(g) est appelé gain d’observation.
Donnons maintenant plusieurs exemples concrets de synthèse d’observateur.
2.3.1 Systèmes linéaires à temps invariant - Observateur de Luenberger
Considérons le système linéaire invariant suivant (
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) (2.12)
où x ∈ IRn, u ∈ IRm et y ∈ IRp. L’observateur de Luenberger (Luenberger 1971) est le système dynamique donné par l’expression suivante
˙ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) − K(Cˆx(t) − y(t))
où la matrice K est choisie de sorte que la matrice ˜A= A∆ − KC soit Hurwitz, i.e. les valeurs propres de ˜A sont toutes à partie réelle négative. Un tel observateur est un observateur expo-nentiel pour le système (2.12).
2.3.2 Systèmes linéaires à temps variant - Filtre de Kalman
Soit le système linéaire à temps variant suivant : (
˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
y(t) = C(t)x(t) (2.13)
où x ∈ IRn, u ∈ IRmet y ∈ IRp. Dans le cas où le système linéaire considéré est à temps variant, comme c’est le cas pour le système (2.13), il est possible de synthétiser un observateur de
persistantes. Le filtre de Kalman peut prendre deux formes différentes, suivant si on utilise une équation dynamique de Lyapunov ou une équation dynamique de Riccati. Ces deux formes sont respectivement données par les expressions (2.14) et (2.15) suivantes :
˙ˆx(t) = A(t)ˆx(t) + B(t)u(t) − S−1(t)CT(t) (C(t)ˆx(t)− y(t)) ˙ S(t) = −θS(t) − AT(t)S(t)− S(t)A(t) + CT(t)C(t) S(0) = S0 (2.14) et
˙ˆx(t) = A(t)ˆx(t) + B(t)u(t) − S−1(t)CT(t) (C(t)ˆx(t)− y(t)) ˙
S(t) = −S(t)Q(t)S(t) − AT(t)S(t)− S(t)A(t) + CT(t)C(t) S(0) = S0
(2.15)
où θ > 0, et les matrices S0 et Q0 sont définies positives.
La convergence de ces deux observateurs est garantie sous l’hypothèse de l’uniforme complète observabilité du système. Pour ce type de synthèse, il faut assurer à la fois la stabilité de l’équation d’erreur et celle de la matrice de gain S(t). Cette dernière doit constamment être symétrique définie positive (SDP) et bornée, c’est-à-dire pour tout t.
Dans ce qui suit, nous allons reconsidérer la classe de systèmes non linéaires données par (2.9) dans l’optique de synthétiser sur cette classe un observateur. Nous considérerons ensuite une classe de systèmes plus générale introduite dans (Farza et al. 2011). Dans les deux cas, un observateur de type grand gain est synthétisé.
2.3.3 Synthèse d’un observateur grand gain pour une classe de systèmes non linéaires à plusieurs sorties regroupées en un bloc
Considérons de nouveau le système dynamique donné en (2.9), i.e. ( ˙x(t) = Ax(t) + ϕ(u(t), x(t)) y(t) = Cx(t) (2.16) où x = x1 x2 ... xq
2.3. Synthèse d’observateurs et C sont données par
A = 0p Ip 0p . . . 0p ... ... ... ... ... ... . .. ... 0p 0p . . . 0p Ip 0p . . . 0p 0p ∈ IRn×n et C =h Ip 0p . . . 0p i ∈ IRp×n
et la fonction non linéaire ϕ est décrite par
ϕ(u, x) = ϕ1(u, x1) ϕ2(u, x1, x2) ... ϕq(u, x1, . . . , xq)
En général, pour une synthèse d’observateur de type grand gain, les hypothèses suivantes sont considérées.
Hypothèse 2.3.1 L’état x(t) et la commande u(t) sont bornés, i.e. x(t)∈ X et u(t) ∈ U où X ⊂ IRn et U ⊂ IRm sont des ensembles compacts. Plus précisément, il existe des constantes ρi, i = 1, . . . , q, telles que max
x∈X kxi(t)k < ρi pour tout t≥ 0.
Hypothèse 2.3.2 Les fonctions ϕi(u, x), i = 1, . . . , q, sont Lipschitz sur X selon x unifor-mément en u, i.e. ∃Lϕi > 0, ∀u ∈ U, ∀(x, ¯x) ∈ X × X : kϕi(u, x1, . . . , xi)− ϕi(u, ¯x1, . . . , ¯xi)k ≤ Lϕi i X k=1 kxk− ¯xkk, i = 1, . . . , n. (2.17) Nous posons Lϕ = max
1≤i≤qLϕi.
Un observateur grand gain pour le système (2.16) est alors donné par le système dynamique suivant
˙ˆx(t) = Aˆx(t) + ϕ(u(t), ˆx(t)) − θ∆−1
θ K (C ˆx(t)− y(t)) (2.18) où :
• θ ≥ 1 est un paramètre de synthèse propre aux observateurs de type grand gain, • la matrice K est choisie de sorte que la matrice ˜A= A∆ − KC est Hurwitz,
∆θ = diag Ip, θ1Ip, . . . , θq−11 Ip
(2.19) Le théorème suivant stipule que l’observateur (2.18) est un observateur exponentiel pour le système (2.16).
Théorème 2.3.1 Dans le cas où le système (2.16) est soumis aux hypothèses 2.3.1et 2.3.2, le système dynamique (2.18) est un observateur exponentiel pour le système (2.16) pour des valeurs suffisamment grandes du paramètre θ, i.e. l’erreur d’observation ˜x(t) = ˆx(t)− x(t) converge exponentiellement vers zéro quand t tend vers l’infini pour θ assez grand.
Le preuve du théorème2.3.1 est donnée dans (Maatoug2009).
2.3.4 Synthèse d’un observateur grand gain pour une classe de systèmes non linéaires non-triangulaire par bloc
L’une des classes les plus générales existant actuellement de systèmes non linéaires MIMO uniformément observables est décrite dans (Farza et al.2011). La classe de systèmes propo-sée est compopropo-sée de q ≥ 1 sorties, chacune représentée par un bloc. Cette classe de système se distingue des précédentes par le fait qu’elle n’est pas triangulaire par blocs. Plus particu-lièrement, les dépendances possibles des non-linéarités du système proposé sont décrites par les points suivants :
— Les non-linéarités d’un bloc donné k > 1 peuvent dépendre de l’état d’un bloc précédent l < k : C’est la triangularité selon les blocs du système.
— Dans un bloc donné k ≥ 1, la non-linéarité de la i-ème composante, i ≥ 1, peut dépendre de l’état de la composante j ≤ i du bloc k : C’est la triangularité au sein d’un bloc du système.
— La dernière composante de chaque bloc peut dépendre de l’état complet du système : Ce dernier cas représente le caractère non triangulaire du système d’étude.
Les auteurs dans (Farza et al.2011) ont montré que ce système est uniformément observable et qu’il est possible de synthétiser un observateur grand gain sur cette classe de systèmes. L’annexeA propose une description plus détaillée de la classe de systèmes et de la synthèse de l’observateur grand gain donné dans (Farza et al.2011).