Suivant les intuitions naissant des exemples précédents, on attribuera dans la suite à chaque identifiant un type qui différenciera les localités des canaux. Pour une localité, ce type sera simplement loc. Par contre pour un canal, le type comportera à la fois trois informations :
– les capacités disponibles pour ce canal, que ce soit l’émission, la réception ou leur combinaison ; ces capacités indiquent ainsi ce qu’il est possible de faire avec le canal ;
– les types des valeurs échangées sur ce canal ;
– la localité dans laquelle ce canal existe, puisqu’un canal est lié à une unique localité.
En combinant ces trois éléments, on associera donc le type suivant à un canal situé dans la localité l sur lequel on a le droit de recevoir des valeurs de type T :
rhTi@l avec les significations
r : capacité de réception T : type des valeurs reçues
l : localisation du canal
Prenons l’exemple simple d’un canal de synchronisation. Sur un tel canal, les messages véhiculés sont vides. La seule information communiquée est donc la présence du message, ce qui suffit à synchroniser deux processus s’exécutant en parallèle. On associera donc un type rhi@l à un tel canal. Si c est un canal de
type rhi@l, un processus s’exécutant dans l pourra recevoir un message sur c de
la façon suivante : lJc ? ()K. Par contre, les systèmes suivants ne respectent pas l’information de typage :
– lJc ! hiK car le processus tente d’émettre un message alors qu’il ne dispose que de la capacité de réception ;
– kJc ? ()K car c n’existe que dans la localité l ;
– lJc ? (x : T)K car les messages circulant sur c sont vides.
De façon similaire, le type correspondant à la capacité d’émettre des valeurs de type T dans la même localité l sera :
whTi@l avec les significations
w : capacité d’émission
T : type auquel les valeurs sont émises l : localisation du canal
Assez naturellement, la combinaison des deux capacités d’émission et récep- tion pourra prendre la forme d’un type rwhTi@l. Mais il est important pour le
typage d’offrir des combinaisons plus souples de ces capacités. Pour présenter cette subtilité, commençons par considérer deux canaux c et d de types respec- tifs rwhi@l et rwhrhii@l. Les canaux qui circulent sur le canal d de la localité l
sont donc aussi situés dans l et la seule capacité communiquée est la réception de messages vides. Dans la mesure où les deux capacités d’émission et réception sont disponibles pour le canal c, l’intuition veut que l’on puisse se restreindre à n’utiliser que la capacité de réception et à l’envoyer sur le canal d. Ainsi, le système lJd ! hciK respecte les contraintes des types de c et d. Ce rapport qui existe entre les types rwhi@l et rhi@l est un cas particulier d’une notion plus
générale : quand toutes les valeurs qui ont le type T1peuvent être utilisées là où une valeur de type T2est attendue, on dira que T1est un sous-type de T2. Cette notion sera définie plus formellement dans la suite, mais elle devient rapidement moins intuitive quand les types s’emboîtent.
On se concentre donc sur l’intuition du système de types en cours d’élabo- ration : les communications ne permettent pas uniquement la transmission des noms (ou variables) mais aussi et surtout des capacités associées à ces identi- fiants. Par conséquent, on voudra pouvoir parler du type auquel un processus connaît un canal si ce processus a acquis des capacités différentes en réception et en émission pour ce canal. On autorise donc que les types en réception et émission soient distincts dans les types de canaux. Considérons un cas où cet ajustement s’avère intéressant : rwhrwhii@l est le type d’un canal de la localité l
sur lequel envoyer et recevoir des canaux situés, eux aussi, dans l et véhiculant des messages vides. On peut aisément se convaincre que ce type est un sous-type de whrwhii@l, car il suffit simplement d’« oublier » la capacité de réception. Il
est moins évident de voir que c’est aussi un sous-type de rhrhii@l. Mais si c est
un canal de type rwhrwhii@l, on peut oublier la capacité d’émission à la fois
sur c lui-même et sur tous les canaux qui sont reçus sur c.
Un processus pourra donc recevoir c successivement aux types whrwhii@l
et rhrhii@l. On notera rwhrhi, rwhii@l pour cette combinaison particulière de
capacités. Ces combinaisons devront cependant être utilisées avec soin pour que le typage permette effectivement d’éviter les erreurs d’exécution : il faudra contraindre les valeurs qui sont émises sur un canal (donc ayant le type en émission) à pouvoir être reçues et utilisées sans risques (donc ayant aussi le type en réception). Pour cela, le système garantira que les types en émission sont des sous-types de ceux en réception, sur tous les types de canaux. Dans l’exemple précédent, cette contrainte est effectivement vérifiée puisque le type rwhi est bien un sous-type de rhi.
Fig. 2.1 Pré-types
C ::= Types des canaux locaux
rhT1i Lecture de valeur de type T1
whT2i Écriture de valeur de type T2
rwhT1, T2i Intersection des deux types précédents
E ::= Types des identifiants
loc Localité
C@s Canal localisé à s
T ::= Types des valeurs transmissibles
C Canal local
E Identifiant
(T1, . . . , Tn) n-uplet
P ~x : ~loc. T Somme dépendante
rec Y. T Type récursif
Y Variable récursive
L ::= Types déclaratifs de localité
P x : loc. (C1@x, . . . , Cn@x)
R ::= Types déclaratifs de récursion
P x : loc. T
La syntaxe des types est définie formellement à la figure 2.1. Bien que les types de canaux puissent combiner des types distincts en réception et émission, on abrégera en rwhTi les types des canaux sur lesquels ces deux types sont tous deux égaux à T. On distinguera plusieurs familles de types en utilisant explicitement des lettres différentes. E désignera ainsi les types possibles pour un nom ou une variable, c’est-à-dire un type de localité ou un type de canal localisé. C correspondra quant à lui aux types possibles pour les canaux locaux, c’est-à-dire en omettant simplement la localité dans laquelle il est situé. Comme l’indiquait la syntaxe du calcul (figure 1.2), le type assigné à un canal à sa création est un type de la forme C. La syntaxe impose par cette notation que le type de la construction newchan c : C in P ne soit pas explicitement localisé et, par conséquent, que seuls des processus s’exécutant dans la localité l puisse y créer des canaux. Ce choix est caractéristique de la vision de la répartition du calcul que porte le Dπ typé.
Les types des valeurs transmissibles seront dénotés T. Les trois constructions essentielles que ces types introduisent sont : le n-uplet, la somme dépendante et le type récursif. Le n-uplet est un produit cartésien habituel. La somme dépendante [ML84] est aussi une forme de produit cartésien : ce type pourra être associé à une paire (l, c) dans laquelle le type de c mentionne le nom l. Cette somme dépendante a une forme très simple ici : puisque les seuls identifiants pouvant apparaître dans les types sont des localités, la première composante de la somme dépendante est un n-uplet de localités. Elle apporte la possibilité de décrire la co-localisation de canaux. Ainsi, attribuer le typeP x : loc. C1@x, . . . , Cn@x
à une valeur (l, (c1, . . . , cn)) permet d’indiquer que les canaux (ci) sont tous localisés dans la même localité l. Qui plus est, les types n-uplet et somme
dépendante imposent la structure arborescente des valeurs, ce qui permet de traiter une difficulté soulevée dans la section 2.1.
Les types récursifs sont décrits par un opérateur de plus petit point fixe standard noté rec Y. T. Par ailleurs ces deux dernières constructions de type, le type récursif rec Y. T et la somme dépendanteP ~x : ~loc. T, sont des lieurs pour leur variable respective Y et ~x. On leur appliquera donc des α-conversions et la même convention de Barendregt (convention 1.3) qu’aux lieurs du Dπ- calcul proprement dit. De ces lieurs dans les types découlent encore une fois naturellement des notions de noms et variables libres. Les figures A.1 et A.2 de l’annexe A formalisent aussi ces notions pour les types.
La figure 2.1 définit encore deux familles de types déclaratifs, à savoir ceux de localité et ceux de récursion. Ces types sont uniquement des cas particuliers des valeurs transmissibles et servent donc essentiellement de notation pour des types précis. On parle de types déclaratifs pour mettre en avant le fait que ces types n’apparaissent dans le langage qu’à la déclaration d’une nouvelle localité, avec la primitive newloc k, (~c) : L with Pkin P , ou d’un processus récursif, avec la primitive (rec Z : R (X) . P ) hV i. La syntaxe particulière des types déclaratifs de localité, à savoirP x : loc. (C1@x, . . . , Cn@x), utilise une somme dépendante
pour forcer les canaux ~c à être localisés dans k. Pour leur part, les types déclaratifs de récursion R serviront à typer aussi bien le paramètre X que l’argument V . Ce typage particulier sera détaillé avec le typage des processus récursifs, à la section 2.7.
La figure 2.1 définit uniquement les pré-types. On parle de pré-types afin d’insister sur l’ajout de contraintes sur cette syntaxe pour obtenir les types proprement dits. La première contrainte portant sur les pré-types concernera leur clôture. On supposera ainsi les variables de récursion Y des types toujours liées. On imposera aussi que les types de la forme C ou R soient totalement clos, c’est-à-dire sans nom ni variable libre. Cette hypothèse s’avérera particulièrement importante pour certaines propriétés du typage1. Une telle contrainte ne décimera pas l’ensemble des processus descriptibles dans le calcul dans la mesure où il est possible de transmettre un canal c de type C@s malgré tout : il suffira, en effet,
de former la valeur (s, c), par exemple, avec le type dépendantP x : loc. C@x.
La deuxième contrainte que l’on utilisera concerne les points fixes pouvant apparaître dans les pré-types. Par exemple, le type rec Y. Y indique uniquement qu’il est égal à lui-même, sans plus de précisions sur les valeurs ayant ce type. En effet, on utilise le récurseur rec Y de façon standard : le type récursif rec Y. T correspond au type T dans lequel tous les Y sont remplacés par le type récursif complet rec Y. T à nouveau. Ainsi le type rec Y. rhYi correspond à un canal sur lequel on peut lire des canaux du même type, chaque substitution de Y précisant le type. Mais dans le cas du type rec Y. Y cette substitution n’apporte aucune information supplémentaire puisque le type Y ne contient aucun constructeur de type tel que rh·i. Le problème se pose de la même manière pour un type rec Y. rec Y0. Y. On interdira donc de tels types en imposant
1Le fait que les types de canaux locaux C soient totalement clos garantit que les seuls
noms pouvant apparaître dans le type d’un identifiant sont des localités. Grâce aux sommes dépendantes, cela implique qu’il est possible d’associer à toute valeur un type clos, quitte à rajouter des noms de localités et des dépendances de type. Il est en particulier possible d’associer une valeur et un type à tout environnement (voir définition 4.48). Cet aspect est fondamental dans la preuve de coïncidence des équivalences. Quant aux types R, les appels récursifs sont, d’une certaine façon, des communications (voir chapitre 3), ce qui justifie d’imposer les mêmes conditions.
que les boucles créées par les points fixes mentionnent toujours une construction de type autre que le récurseur.
Définition 2.1 (Types et pré-types contractifs). Un type ou pré-type est dit
contractif si, pour toutes les occurrences de types ou pré-types récursifs de la
forme rec Y. T qu’il contient, T contient un autre constructeur de type que la variable Y et les récurseurs de la forme rec Y0.
Cependant, la contrainte la plus complexe que l’on imposera sur les pré-types porte sur les types de canaux. En effet, la syntaxe des pré-types de canaux locaux comporte un cas rwhT1, T2i quels que soient les pré-types T1 et T2. Or il est indispensable d’imposer que T2 soit un sous-type de T1 pour que les communications se déroulant sur un canal de ce type ne brisent pas les propriétés du typage : dans le cas d’une communication sur un canal de type rwhrwhi, whii, le récepteur dispose après la communication de plus de droits que l’émetteur. Pour formaliser cette notion de sous-typage et prouver des propriétés à son propos en manipulant les points fixes de façon élégante, commençons par définir la vision coinductive des pré-types où ces points fixes sont « dépliés ».