Os modelos analíticos são considerados computacionalmente mais e cientes e exíveis, podendo ser facilmente estendidos para diferentes tipos de baterias. Nestes modelos, as principais propriedades da bateria são modeladas utilizando-se um conjunto reduzido de equações, agregando acurácia e facilidade na sua implementação [5, 16, 32]. A seguir são descritos alguns modelos de bateria analíticos encontrados na literatura: o Modelo Linear, a Lei de Peukert, o Modelo de Difusão de Rakhmatov-Vrudhula (Modelo RV) e o Kinetic Battery Model (KiBaM).
Modelo Linear
O modelo analítico Linear, descrito pela equação (2.1), é simples e de fácil imple- mentação, razão pela qual é muito utilizado e referenciado na literatura. Este modelo considera a bateria como um recipiente linear de corrente, negligenciando os efeitos não lineares que ocorrem durante um processo real de descarga [5,32].
C = C′− Itd (2.1)
onde C é a capacidade restante da bateria, C′ é a capacidade no início da operação, I é a
corrente constante de descarga durante a operação e td é o tempo de duração da corrente.
Conforme [16], este modelo apresenta resultados não satisfatórios quando utilizado na predição do tempo de vida de baterias, pois as operações físicas de descarga da bateria possuem características não lineares, in uenciando diretamente na capacidade da bateria e, consequentemente, no seu tempo de vida.
Lei de Peukert
Em 1897, Wilhelm Peukert testou baterias de Chumbo-Ácido para correntes constantes e determinou que uma única, equação (2.2), pode ser usada para representar a capacidade da bateria [8],
CP = Ikt (2.2)
onde CP é a capacidade da bateria, t é o tempo, I é a corrente descarga e k é uma
constante adimensional. O expoente k é conhecido como constante de Peukert [8]. Baseando-se na relação empírica proposta por Peukert, [9] expõem um modelo simples utilizado para a predição do tempo de vida de baterias, que captura a relação não linear entre a vida útil da bateria e a taxa de descarga, porém não considera o efeito de recupe- ração. O tempo de vida L pode ser aproximado pela equação (2.3), onde I é a corrente de descarga, a e b são parâmetros que dependem da bateria e obtidos experimentalmente.
L = a
Ib (2.3)
Na prática, a possui um valor próximo da capacidade da bateria, e b é um número superior a 1.
Modelo de Difusão de Rakhmatov-Vrudhula (Modelo RV)
Em [33] encontra-se uma breve descrição do modelo RV [9], que destina-se a predizer o tempo de vida de baterias dado um determinado per l de descarga. Para isso, [9] consideram a evolução e a concentração dos materiais ativos na bateria durante o processo de descarga, modelando-a como um processo de difusão unidimensional em uma região nita. Neste modelo, uma bateria é considerada descarregada quando a concentração de material ativo na superfície do eletrodo cai abaixo de um nível limiar (nível de Cuto ). Segundo [33], este modelo é muito bem sucedido em termos de previsão, e ciência e generalidade. No entanto, um pré-requisito para usar este modelo é que a carga de uma bateria deve ser conhecida a partir do início de um processo de descarga, e os efeitos da temperatura e do número de ciclos são negligenciados. Assim, cada vez que uma bateria funcionar em uma situação diferente, precisa-se rede nir os parâmetros do modelo, tornando-o menos prático.
O processo de difusão unidimensional do modelo RV [9] é descrito pela lei de Fick, dada pelo sistema de Equações Diferenciais Parciais (EDPs), equação (2.4). A concentração de espécies eletroativas no tempo t e na distância x ∈ [0, w] é representada por C(x, t).
{ −J(x, t) = D∂C(x,t) ∂x , ∂C(x,t) ∂t = D ∂2C(x,t) ∂x2 , (2.4) onde J(x, t) é o uxo de espécies eletroativas em função do tempo t, e em função de uma distância x do eletrodo, e D é a constante de difusão.
Para uma bateria completamente carregada, a concentração de espécies é constante por todo o comprimento do eletrólito. Logo, a condição inicial é dada por
C(x, 0) = C∗. (2.5)
De acordo com a Lei de Faraday, o uxo de espécies eletroativas na superfície do ele- trodo (x = 0) é proporcional à corrente de descarga aplicada i(t), e o uxo na extremidade
x = w é igual a zero. Assim, é possível obter as seguintes condições de fronteira
i(t) vF A = D ∂C(x,t) ∂x x=0 (2.6) 0 = D∂C(x,t)∂x x=w (2.7)
onde A é a área da superfície do eletrodo, F é a constante de Faraday e v é o número de elétrons envolvidos na reação eletroquímica na superfície do eletrodo.
Aplicando as de nições de transformadas de Laplace e transformada de Laplace In- versa, e utilizando a condição inicial e as condições de contorno, tem-se uma solução analítica para o sistema de EDPs, dada por
C(0, t) = C∗− 1 vF A√πD ∫ t 0 i(τ ) √ t− τ ∞ ∑ n=−∞ e−D(t−τ)w2n2 dτ. (2.8)
Dividindo esta equação pela condição inicial C∗ e considerando
ρ(t) = 1− C(0, t)
C∗ , (2.9)
a fração de decaimento da concentração de espécies eletroativas na fronteira x = 0, a equação (2.8) torna-se ρ(t) = 1 vF A√πDC∗ ∫ t 0 i(τ ) √ t− τ[1 + 2 ∞ ∑ n=1 e−D(tw2n2−τ)]dτ. (2.10) Considerando
β = √w
D, (2.11)
o parâmetro que está relacionado ao comportamento não-linear da bateria e
α = vF A√πDC∗ρ(L), (2.12)
o parâmetro que está relacionado com a capacidade da bateria. Sendo t = L o tempo de vida da bateria, a partir da equação (2.10) obtém-se a expressão geral que relaciona o tempo de vida L da bateria, para um per l de descarga i(t) constante ou variável, dada por α = ∫ L 0 i(τ ) √ L− τdτ + 2 ∞ ∑ n=1 ∫ L 0 i(τ ) √ L− τe −β2n2 (L−τ)dτ. (2.13)
A partir do modelo RV é possível calcular o tempo de vida de uma bateria usando correntes de descargas constantes ou variáveis. Os parâmetros β e α são estimados.
Em [21] é apresentada uma análise comparativa entre três modelos analíticos utiliza- dos na predição do tempo de vida de uma bateria: o modelo Linear, a Lei de Peukert e o modelo RV. Estes modelos são implementados na ferramenta computacional Matlab. As simulações são realizadas considerando os parâmetros de uma bateria de Li-Íon, sendo os resultados comparados com os dados experimentais obtidos a partir de uma plataforma de testes. Neste caso, o modelo Linear possui resultados não satisfatórios, apresentando um erro médio de 22, 06%. A Lei de Peukert e o modelo RV apresentam erros médios próximos, com 1, 96% e 1, 05%, respectivamente. O modelo RV possui um melhor ajuste a partir de per s de descargas constituídos por correntes altas, enquanto que a Lei de Peu- kert apresenta melhores resultados a partir de per s de descargas formados por correntes baixas.
Outra análise comparativa entre os modelos analíticos Linear, Lei de Peukert e RV é realizada em [34]. Para a estimação dos parâmetros dos modelos Lei de Peukert e RV foram adotadas duas diferentes metodologias: a primeira metodologia usada é a descrita em [9] e a segunda metodologia aplicada é de nida por Gauss em [35]. Para este estudo, o modelo RV apresenta os melhores resultados, com um erro médio de 5, 71% para descargas constantes e 6, 53% para descargas variáveis, resultado esperado conforme a literatura. Para estimação dos parâmetros, a metodogia de Gauss mostra-se e ciente, reduzindo a quantidade de dados experimentais necessários para a estimação dos parâmetros para os modelos Lei de Peukert e RV.
Além destes trabalhos, cita-se o estudo desenvolvido por [36], no qual os autores apre- sentam uma proposta de um novo método de otimização chamado de Procura em Rede
Melhorado para estimar os parâmetros empíricos do modelo RV utilizado na predição do tempo de vida de baterias. O novo método é avaliado de acordo com a seguinte metodo- logia: no primeiro momento, são estimados os parâmetros empíricos considerando-se os métodos de otimização Procura em Rede Melhorado, Procura em Rede Modi cado e Mí- nimos Quadrados, bem como os dados experimentais obtidos a partir de uma plataforma de testes considerando uma bateria de Li-Íon. Em um segundo momento, o modelo RV é validado para cada conjunto de parâmetros obtidos, e os resultados da simulação são comparados com um conjunto de dados experimentais. Os autores veri caram, através da análise comparativa dos métodos utilizados, que a aplicação do método Procura em Rede Melhorado para estimar os parâmetros do modelo RV possibilita obter uma aplicação fácil e intuitiva, melhorando a precisão do referido modelo.
Kinetic Battery Model (KiBaM)
O modelo analítico KiBaM, proposto por Manwell e McGowan [37], foi desenvolvido com a nalidade de modelar os processos químicos de baterias de chumbo-ácido, utilizando a cinética. Neste modelo, a carga da bateria é distribuída sobre duas fontes: a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada (i.e., indisponível) [30]. Na Figura 2.3 encontra-se uma representação do referido modelo.
Figura 2.3: Modelo KiBaM - Distribuição em duas fontes [30].
A fonte de carga limitada disponibiliza elétrons somente para a fonte de carga disponí- vel, e esta fornece elétrons diretamente à corrente I. A carga é distribuída em uma relação com a capacidade c, onde uma fração c (0 < c < 1) da capacidade total C é distribuída na fonte de carga disponível, e uma fração 1 − c na fonte de carga limitada. A taxa na qual a carga uí entre as duas fontes depende do valor de k e da diferença entre as alturas h1 e h2, onde h1 representa o SOC da bateria [30, 37]. As alturas das duas fontes são dadas por
h1 = y1(t) c , (2.14) h2 = y2(t) 1− c, (2.15)
onde h1 e h2 são as alturas da fonte de carga disponível e limitada, respectivamente, e
y1(t)e y2(t)são as quantidades de carga em cada fonte. A variação de carga em ambas as fontes é dada pelo sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), equação (2.16), onde i(t) é a corrente de descarga,
dy1 dt =−i(t) + k(h2− h1) dy2 dt =−k(h2− h1) (2.16) As condições iniciais são dada por
y1(0) = cC, (2.17)
y2(0) = (1− c)C, (2.18)
onde y1(0) e y2(0) são quantidades de carga disponível e limitada em t = 0, respectiva- mente. A bateria é considerada descarregada quando não há mais carga na fonte de carga disponível.
A carga disponível da bateria diminui quando é aplicada uma corrente de descarga, isto é, são liberados elétrons para o sistema, e com isso a diferença das altura h1 e h2 aumenta. Porém quando a corrente de descarga é nula, a carga da fonte limitada ui para a fonte de carga disponível até que as alturas h1 e h2 sejam novamente iguais, fazendo com que o sistema tenha mais carga disponível. Este processo é conhecido por efeito de recuperação. O efeito da taxa de capacidade também é considerado neste modelo, pois a partir de uma corrente de descarga alta, a fonte da carga disponível será rapidamente reduzida, re etindo em um tempo menor para a carga da fonte limitada uir para a disponível, sendo reduzida assim a capacidade da bateria [38].