Susance pour les graphes d'intervalles ou d'arcs

76 Chapitre 4. Une condition susante pour l'optimalité le problème Ordo, étant donnée en entrée une coloration où chaque couleur apparaît au moins k fois. Nous verrons ensuite comment étendre le résultat aux graphes d'arcs. Nous rappelons que d'un autre côté, le problème Ordo est N P-dicile pour ces deux classes de graphes, même avec k≥4 xé [14]. Nous terminerons la section en discutant de l'extension de la propriété aux graphes de tolérances propres ou unitaires.

Le cas des graphes d'intervalles

Tout comme les graphes sansK1,3, les graphes d'intervalles ne possèdent pas le graphe K_k+1,k+1 comme sous-graphe induit pour k ≥ 2. En eet, les graphes d'intervalles sont triangulés et par conséquent ne peuvent induire aucun cycle de longueur égale à quatre sans corde. En nous appuyant sur le lemme suivant, nous allons montrer que les graphes d'intervalles partagent eux aussi la propriété de redécoupage.

Lemme 4.2 (Lemme de découpage) Soit r stables disjoints S1, . . . , Sr contenant cha-cun au moins t intervalles (1≤r ≤t) etr entiers positifs β₁, . . . , β_r tel que ∑_r

u=1β_u =t. Alors il existe un stable S^∗ de taille t tel que pour tout u= 1, . . . , r, exactement β_u inter-valles de S^∗ appartiennent à Su. De plus, ce stable S^∗ peut être extrait en temps O(rt) si les intervalles de chaque stable sont ordonnés.

Preuve. La preuve est constructive : nous donnons un algorithme pour déterminer le stable S^∗ en tempsO(rt). Celui-ci prend en entrée lesrstables disjointsS₁, . . . , S_r, chacun de taille au moins t, ainsi que les r entiers β₁, . . . , β_r. Nous supposons que les intervalles (ouverts) de chaque stable sont ordonnés selon les extrémités gauches croissantes (l'intervalle de rang j dansS_u sera notéI_u,j). L'algorithme procède de la manière suivante : l'intervalle de rang j dans S^∗ est celui de plus petite extrémité droite parmi les intervalles de rangj dans les stables Su (où lesβu intervalles n'ont pas encore été sélectionnés).

Algorithme Découper-Intervalles ;

Entrée : les stablesS1, . . . , Srde taille au moins t, les entiersβ1, . . . , βr; Sortie : le stableS^∗;

Début ; S^∗← ∅;

pourj de1 àt faire u^∗←0;

pourude1 àrfaire

siβ_u>0et (u^∗= 0oud(I_u,j)< d(I_u∗,j)) alorsu^∗←u; S^∗←S^∗∪ {Iu^∗,j},βu^∗ ←βu^∗ −1;

retourner S^∗; Fin ;

La gure 4.2 illustre une exécution de l'algorithme sur trois stables S1, S2, S3 de taille trois (r = 3,t= 3etβ1=β2 =β3 = 1). Les intervalles foncés correspondent aux intervalles inclus dansS^∗ à chaque rang j= 1,2,3(les intervalles hachurés n'étant plus candidats à la sélection à un rang donné).

4.2 Susance pour les graphes d'intervalles ou d'arcs 77

000000000000000

1111111111111110000011111 0000000000000 1111111111111

S3

S1

S2

R Figure 4.2 L'algorithme Découper-Intervalles.

Établissons la validité de l'algorithme. L'ensembleS^∗ retourné par l'algorithme contient bientintervalles (un intervalle est extrait à chaque rangj= 1, . . . , tet les stables en entrée sont tous de taille au moinst). D'autre part, nous montrons que pour toutj= 1, . . . , t−1, l'intervalle I_u,j ∈S_u inclus dans S^∗ au rangj et l'intervalle I_v,j+1 ∈S_v inclus dans S^∗ au rang j + 1 sont tels que d(Iu,j) ≤ g(Iv,j+1). Si u = v, alors l'assertion tient trivialement.

Dans le cas contraire, supposons que g(Iv,j+1) < d(Iu,j). Comme d(Iv,j) ≤g(Iv,j+1), nous avons aussitôt qued(I_v,j)< d(I_u,j). Or,I_v,j+1ayant été sélectionné au rangj+1, l'intervalle I_v,j était nécessairement un candidat à la sélection au rang j. Par conséquent, I_u,j n'était pas, parmi les intervalles candidats au rangj, celui ayant la plus petite extrémité droite, ce

qui est une contradiction. ⊓⊔

Proposition 4.5 (Propriété de redécoupage) Les graphes d'intervalles partagent la pro-priété de redécoupage, quel que soit k.

Preuve. SoitGun graphe d'intervalles etS₁, . . . , S_qune partition deGen stables de taille au moinsk. Admettons que les intervalles de chacun des stables de la partition soient ordonnés et posons|Su|=αuk+βu comme étant la taille du stableSu avec αu un entier positif non nul et0≤βu ≤k−1. Pour commencer, de chaque stableSu sont extraitsαu−1 stables de taille k, plus un si β_u = 0. Après cet opération de nettoyage, chaque stableS_u ne contient plus que k+β_u < 2k intervalles avec β_u > 0. Ensuite, tant qu'il existe r stables dont la somme des indices βu est supérieure à k, nous appliquons le lemme 4.2 de découpage pour extraire des stables de taille exactement k. Les conditions du lemme de découpage sont respectées puisque chaque stable contient au moins k intervalles. Enn, lorsque cela n'est plus possible, il ne reste plus qu'à extraire un stable de taille nmodk (si n n'est pas un multiple de k) dans lesr < k stables dont la somme des βu >0 doit justement être égale à

nmodk. ⊓⊔

La preuve de la proposition précédente fournit un algorithme ecace pour résoudre le problème Ordo pour les graphes d'intervalles, lorsque l'on dispose d'une coloration du graphe où chaque couleur apparaît au moins k fois. En eet, les intervalles de chacun des stables de la partition S₁, . . . , S_q peuvent être ordonnés en temps et espace O(n) si l'on possède une représentation par intervalles ordonnée du graphe G. De là, le procédure de nettoyage ne prend qu'un temps linéaire. Enn, en prenant soin de vider les stables de leurs β_u intervalles les uns après les autres, les exécutions répétées de la procédure Découper-Intervalles ne prennent au total qu'un tempsO(qk), soit un tempsO(n)puisque n > qk.

78 Chapitre 4. Une condition susante pour l'optimalité Corollaire 4.10 (Complexité du redécoupage) Le problème Ordo peut être résolu en temps et espace O(n) pour les graphes d'intervalles, étant données en entrée une coloration du graphe où chaque couleur apparaît au moins k fois et une représentation par intervalles ordonnée.

Le cas des graphes d'arcs

Nous allons voir que la proposition 4.5 peut être étendue aux graphes d'arcs circulaires à l'aide d'une version plus faible du lemme de découpage. En eet, il n'est malheureusement pas possible d'étendre en l'état le lemme 4.2 de découpage aux arcs circulaires. L'exemple suivant montre que, même en se restreignant à des arcs unitaires, il existe une innité de cas pour lesquels le lemme 4.2 de découpage n'est pas valide.

Soit un ensembleS₁, . . . , S_rde stables disjoints contenant chacuntarcs unitaires ouverts avec βu = 1 pour tout u = 1, . . . , r (r, t≥1). An de dénir la position de ces arcs sur le cercle, divisons celui-ci ent sectionsθ0, . . . , θt−1, chacune de longueurℓ. Nous dirons qu'un arc est de rang j si son extrémité scm appartient à la section de cercle θ_j. Les r arcs de rang j sont disposés dans chaque section j, chacun de longueur ℓet décalés de ϵ < ℓ/t par rapport au précédent de façon à ce que l'arc du stable Su chevauche d'un côté les arcs de rang (j+ 1) modt appartenant aux stables d'indice inférieur à u et de l'autre les arcs de rang(j−1) modtappartenant aux stables d'indice supérieur àudans le sens contraire des aiguilles d'une montre (voir la gure 4.3).

θ₃ θ₀ θ₁ θ₂

S₁ S₂ S₃ S₄

θ₃

Figure 4.3 Une illustration de la construction avecr = 4ett= 4.

Maintenant, supposons l'existence d'un stableS^∗ de tailletpossédant un et un seul arc dans chaque stable S_u pour tout u= 1, . . . , r. Aucun de ces arcs ne pouvant être de même rang, S^∗ ne contient donc qu'un et un seul arc de rangj pour tout j= 1, . . . , t. Admettons que l'arcA^∗₁∈S^∗provenant du stableS1soit de rangj. D'après la remarque précédente,S^∗ possède nécessairement un arc de rang(j−1) modtappartenant à un des stablesS₂, . . . , S_r. Or, par dénition, tous les arcs de rang (j−1) modt et diérents de A^∗₁ chevauchent ce même arc A^∗₁. Par conséquent, nous aboutissons à une contradiction et il n'existe aucun stable de taille t dans S1, . . . , Sr ayant la propriété désirée. En prolongeant la preuve, on peut même montrer qu'il n'existe pas d'autre stable de taille t que les stables S₁, . . . , S_r eux-mêmes.

Bien que le lemme 4.2 de découpage ne puisse pas s'étendre aux arcs circulaires, nous remarquons que la démonstration de la proposition 4.5 autorise l'emploi d'une version plus faible du lemme en question. En eet, les stables sur lesquels le lemme de découpage est

ap-4.2 Susance pour les graphes d'intervalles ou d'arcs 79 pliqué sont tous de taille strictement supérieure à k. Or le lemme 4.2 tient toujours lorsque les stables sont de taillek. Peut-on utiliser cette remarque an d'étendre la proposition 4.5 aux graphes d'arcs ? La réponse est oui, en utilisant la version suivante du lemme de décou-page où chaque stable n'est plus de taille t, mais de taillet+ 1.

Lemme 4.3 (Lemme faible de découpage) Soitrstables disjointsS₁, . . . , S_rcontenant chacun au moins t+ 1 arcs circulaires (1 ≤ r ≤ t), ainsi que r entiers positifs β1, . . . , βr

tel que ∑_r

u=1βu =t. Alors il existe un stable S^∗ de taille t tel que pour tout u= 1, . . . , r, exactement β_u arcs de S^∗ appartiennent à S_u. De plus, ce stable S^∗ peut être extrait en temps O(rt) si les arcs de chaque stable sont ordonnés.

Preuve. La démonstration repose sur le lemme 4.2 de découpage. Soitpun point du cercle.

Pour tout u = 1, . . . , r, retirons de chaque stable Su l'arc qui contient p (il en existe au plus un). Suite au retrait de ces arcs, le point p n'est couvert par aucun arc de S₁, . . . , S_r. Par conséquent, le graphe induit par ces stables est maintenant un graphe d'intervalles, sur lequel le lemme de découpage peut s'appliquer (puisque chaque stable est de taille au moinst). Clairement, le retrait des arcs ne demande qu'un temps O(rt). Ensuite, la procé-dureDécouper-Intervalles peut directement être utilisée sur le nouvel ensemble d'arcs, à condition que les arcs de chaque stable soient renumérotés à partir du pointpet dans l'ordre circulaire. Le temps total nécessaire à l'extraction du stable S^∗ reste donc en O(rt). ⊓⊔ En accord avec la discussion précédente, la proposition suivante et son corollaire sont établies.

Proposition 4.6 (Propriété de redécoupage) Les graphes d'arcs partagent la propriété de redécoupage, quel que soit k.

Corollaire 4.11 (Complexité du redécoupage) Le problème Ordo peut être résolu en temps et espace O(n) pour les graphes d'arcs, étant données en entrée une coloration du graphe où chaque couleur apparaît au moins kfois et une représentation par arcs ordonnée.

Remarque. Un corollaire du lemme 4.3 est que les graphes d'arcs ne contiennent pas le graphe K_k+1,k+1comme sous-graphe induit pour k≥2. À la diérence des graphes d'intervalles, ils admettent comme sous-graphe induit le graphe K2,2, c'est-à-dire le cycle C4 (tout comme les graphes sans K_1,3).

Le cas des graphes de tolérances propres

Comme nous l'avons évoqué en introduisant ce chapitre, le grapheK_k+1,k+1appartient à la classe des graphes de tolérances bornées, quel que soitk(voir la gure 4.4). Toutefois, une question reste en suspens : le grapheK_k+1,k+1possède-t-il une représentation par tolérances propres ? Dans cette dernière partie, nous apportons une réponse à cette question pour k = 2, en démontrant que les graphes de tolérances propres ne possèdent aucune copie induite du graphe K3,3. D'un autre côté, nous montrerons que le lemme de découpage ne peut pas s'étendre aux graphes de tolérances unitaires pour k ≥ 3, même dans sa version faible. Nous rappelons que la tolérance d'un intervalle (ou sommet) iest notée t(i).

80 Chapitre 4. Une condition susante pour l'optimalité

t(I₀, I₁, I₂) = 0 t(I₅) = 5 I₅

I₄ t(I₄) = 5

I₃ t(I₃) = 5

I₀ I₁ I₂

0 1 2 3 4 5

Figure 4.4 Une représentation du grapheK_3,3 par tolérances bornées.

Lemme 4.4 Soit G un graphe de tolérances propres et A, B deux stables disjoints de G contenant chacun trois sommets. Alors il existe un sommet dans A et un sommet dans B qui ne sont reliés par aucune arête.

Preuve. Considérons une représentation par tolérances propres du graphe G où tous les intervalles sont ouverts et notons A = {a1, a2, a3} et B = {b1, b2, b3} avec (i) g(a1) ≤ g(a2) ≤ g(a3) et g(b1) ≤g(b2) ≤ g(b3) (comme les intervalles sont propres, les extrémités droites satisfont les mêmes inégalités). Sans perdre de généralité, nous pouvons admettre que g(a₂)≤g(b₂). Nous armons alors que les sommetsa₁ etb₃ ne sont reliés par aucune arête dans le graphe G. Pour cela, montrons que d(a1)−g(b3) ≤min{t(a1), t(b3)}. Les couples de sommets a1, a2 et b2, b3 appartenant chacun à un même stable, nous avons que (ii) d(a₁)−g(a₂)≤min{t(a₁), t(a₂)}etd(b₂)−g(b₃)≤min{t(b₂), t(b₃)}. Comme les intervalles sont propres et que g(a₂)≤g(b₂), nous avons aussi que (iii) d(a₁)−g(a₂)≥d(a₁)−g(b₂) et d(b2)−g(b3)≥d(a2)−g(b3). En combinant les inégalités (i), (ii) et (iii), nous obtenons alors que

d(a1)−g(b3)≤d(a1)−g(b2)≤d(a1)−g(a2)≤min{t(a1), t(a2)} ≤t(a1)

d(a₁)−g(b₃)≤d(a₂)−g(b₃)≤d(b₂)−g(b₃)≤min{t(b₂), t(b₃)} ≤t(b₃)

Ainsi, l'inégalité d(a₁)−g(b₃) ≤ min{t(a₁), t(b₃)} est valide et notre armation justiée.

⊓

⊔ Proposition 4.7 (Propriété de redécoupage) Les graphes de tolérances propres par-tagent la propriété de redécoupage lorsque k= 2.

Corollaire 4.12 (Complexité du redécoupage) Le problème 2-Ordo peut être résolu en temps et espace linéaire pour les graphes de tolérances propres, étant donnée en entrée une coloration du graphe où chaque couleur apparaît au moins deux fois.

Remarque. Le problème peut même être résolu en temps et espaceO(n)si une représentation par tolérances propres est fournie en entrée. Notons que ce type de résultat peut s'avérer utile à la conception d'un algorithme dédié à la résolution du problème 2-Ordo pour les graphes de tolérances propres, comme cela a été fait pour les graphes d'intervalles (voir l'algorithme 2-Ordo-Intervalles, p. 27).

4.2 Susance pour les graphes d'intervalles ou d'arcs 81 L'extension de la proposition précédente pour k≥ 3 semble être un problème dicile.

En eet, nous allons voir au travers de l'exemple suivant que toute tentative d'extension du lemme de découpage aux graphes de tolérances unitaires et bornées est vouée à l'échec (y compris dans sa version faible).

SoitM_k le graphe déni comme l'union de deux ensembles de sommets numérotés de 1 à ket dont les seuls couples de sommets non connectés par une arête sont ceux qui portent des numéros identiques. Dénissons maintenant le grapheNk, pourk≥3, comme l'union de deux graphesM_ket d'un stableS de taillek²−3k(voir la gure 4.5). Le grapheN_kpossède une partition S₁, . . . , S_k en k stables de taille k+ 1, où chaque stable S_k est composé des quatre sommets portant le numérokdansM_k∪M_ket dek−3sommets deS. Nous armons que de ce grapheNkne peut être extrait aucun stableS^∗de tailleket possédant un sommet dans chaque stableS_u pour tout u= 1, . . . , k. En eet, si un sommetide S^∗ appartient au sous-graphe M_k, alors aucun autre sommet deM_k ne peut appartenir à S^∗ (puisque le seul sommet avec lequel i n'est pas connecté dans M_k appartient au même stable que i). Par conséquent, le stable S^∗ doit contenir au moins k−2 sommets provenant du sous-graphe N_k\(M_k∪M_k)et appartenant chacun à des stables diérents, ce qui est impossible puisque chaque stable S_u (1≤u≤k) ne contient pas plus dek−3sommets dans ce sous-graphe.

M₄ M₄

S₁ S₂ S₃ S₄

Figure 4.5 Le graphe N₄.

À présent, voici une représentation de Mk par tolérances unitaires et bornées. Soit p un point entier sur l'axe des réels et ℓ un entier supérieur à 4k. Pour tout i = 1, . . . , k, les deux sommets portant le numéro i sont respectivement représentés par les intervalles I_i^g =]p+i−ℓ, p+i[ etI_i^d=]p−i, p−i+ℓ[munis des tolérances t(I_i^g) = t(I_i^d) = 2i (voir la gure 4.6). L'ensemble composé des intervalles I_i^g, respectivement I_i^d, induit une clique, car ceux-ci partagent une portion de l'axe de longueur supérieure à 2k. Ensuite, pour toute paire d'intervallesI_i^g etI_i^d′, nous avons|I_i^g∩I_i^d′|=i+i^′; leurs tolérances respectives étant de 2iet2i^′, ceux-ci ne sont donc reliés par une arête que sii+i^′≤2ieti+i^′ ≤2i^′, soiti=i^′. Par conséquent, cette représentation est correcte. De plus, une représentation du grapheN_k par tolérances unitaires et bornées se déduit aisément de celle-ci. Ainsi, la version faible du lemme de découpage tient pour les graphes de tolérances propres lorsque t = 2 (d'après le lemme 4.4), mais pas pour les graphes de tolérances unitaires et bornées lorsque t ≥3.

Puisque le graphe M₂ est isomorphe au cycle C₄, nous pouvons remarquer que la version forte du lemme ne tient pas non plus lorsque t= 2.

82 Chapitre 4. Une condition susante pour l'optimalité p

I₁^g I₃^g

I₂^g

I₃^d

I1^d

I₂^d

R Figure 4.6 Une représentation du grapheM3 par tolérances unitaires.

Remarque. La version faible du lemme de découpage tient pour les graphes planaires lorsque t= 2, puisqu'un graphe planaire ne peut contenir le graphe K_3,3 comme sous-graphe induit (d'après le théorème de Kuratowski, cf. [46, p. 8084]). Par conséquent, les graphes planaires partagent la propriété de redécoupage lorsque k= 2. D'un autre côté, le graphe N3 admet une représentation planaire, ce qui condamne toute tentative d'extension pourt= 3. Comme pour les graphes de tolérances propres, la question suivante se pose alors : les graphes planaires partagent-ils la propriété de redécoupage lorsque k≥3?