Surfaces parall` eles et homotopies proches

L’objet de ce paragraphe est de prouver la proposition 2.3, en s’appuyant sur des r´esultats de T. Soma sur les homotopies proches [Som].

Rappelons que pour tout R > 0, VolB(R) = π(sinh(2R) − 2R) est le volume d’une boule plong´ee dans H3 de rayon R. Egalement,

S(g) = b ^{Vol(M )}

VolB(/4)cb^{VolB((4K + 21/4))} VolB(/4) c

4g

.

Notons T₁, . . . , T_m les m surfaces parall`eles plong´ees dans M<sup>0</sup> obtenues par la proposition C. Au lieu d’appliquer la proposition D, l’id´ee ici est de projeter les surfaces T<sub>j</sub> dans M par l’application de revˆetement p : M<sup>0</sup> → M . Pour tout j entre 1 et m, notons Σ<sub>j</sub> l’image de T<sub>j</sub> par p : ce sont des surfaces immerg´ees dans M , deux `a deux homotopes. Lorsque m est suffisamment grand, montrons qu’il y a un nombre suffisant de ces surfaces pour lesquelles l’homotopie est assez petite, au sens suivant.

D´efinition 2.5. Soit T une surface connexe, compacte, sans bord et orientable, et s > 0. Une homotopie F entre deux immersions g₁ et g₂ : T → M est dite partiellement s-proche si l’homotopie F : T × I → M avec F|T ×{0} = g₁ et F_{|T ×{1}}= g₂ est telle qu’il existe un point x ∈ T pour lequel l’image F ({x} × I) est un arc rectifiable de longueur inf´erieure ou ´egale `a s.

Proposition 2.6. Notons g le genre des surfaces T_j. D’apr`es la proposition C, g ≤ g(C). Si m > 20S(g), alors il y a au moins 21 surfaces parmi les m surfaces Σ_j immerg´ees dans M pour lesquelles il existe entre chacune d’entre elles une homotopie partiellement -proche.

D´emonstration de la proposition 2.6.

Cette proposition est une adaptation `a notre cas du th´eor`eme 0.1 de T. Soma [Som]. En effet, les surfaces Σ_j consid´er´ees ne sont pas des surfaces pliss´ees et leur groupe fondamental ne s’injecte pas n´ecessairement. Cependant, les surfaces T_j plon-g´ees dans M⁰ peuvent ˆetre recouvertes par au plus K boules de rayon 2 plong´ees dans M⁰, et cette propri´et´e suffit pour adapter la d´emonstration du th´eor`eme de T.

2.2. Surfaces parall`eles et homotopies proches. 85

Soma et trouver des constantes appropri´ees. En particulier, le diam`etre des surfaces plong´ees T_j mesur´e dans la vari´et´e hyperbolique M⁰ est major´e par 4K.

Soit T la surface connexe, orient´ee, compacte et sans bord de genre g. Pour tout j entre 1 et m, notons h_j : T → T_j un hom´eomorphisme entre les surfaces T et T_j. Soit H un graphe `a 2g p´etales de T , de telle sorte que T priv´ee d’un petit voisinage r´egulier ouvert de H est un polygone `a 4g cˆot´es et 4g sommets. Pour tout j, soit H_j = h_j(H). Le graphe H_j est un graphe de T_j `a 2g p´etales, tel que si l’on enl`eve `a T<sub>j</sub> un petit voisinage r´egulier ouvert de H<sub>j</sub>, on obtient un polygone `a 4g cˆot´es et 4g sommets. De plus, quitte `a bien choisir l’hom´eomorphisme hj, on peut s’assurer que pour tous j et k, les graphes H_j et H_k sont homotopes dans M⁰.

Soit x un point de l’int´erieur de T \ H et pour tout j, notons x_j = h_j(x). En choisissant de mani`ere ad´equate le point x, on peut faire en sorte que pour tout j, p(x<sub>j</sub>) appartienne `a l’int´erieur de Σ_j \ p(H_j).

D´efinition 2.7. Soit B une famille de boules plong´ees dans une vari´et´e N hyperbo-lique et de rayon s, et une constante a > 0. Si as ≤ Inj(N ), nous noterons B(a) la famille des boules plong´ees de mˆeme centre que les boules de B, mais de rayon as.

Soit B une famille de boules plong´ees dans M de rayon /4, d’int´erieur deux `a deux disjoints, et maximale pour cette propri´et´e. Par maximalit´e, les boules de B(2) de rayon /2 < Inj(M ) recouvrent la vari´et´e M . En effet, par l’absurde, s’il existe un point x de M n’appartenant pas `a une boule de B(2), l’int´erieur de la boule plong´ee de centre x et de rayon /4 est disjoint de l’int´erieur des boules de B, ce qui contredit la maximalit´e de B.

Lemme 2.8. Il existe au moins dm/b_VolB(/4)^{Vol(M )} ce > 20b^{VolB((4K+21/4))}_VolB(/4) c^4g indices j pour lesquels p(xj) ∈ M appartient `a la mˆeme boule de B(2).

D´emonstration du lemme 2.8.

Il existe au moins dm/ |B(2)|e indices j pour lesquels p(x_j) ∈ M appartient `a la mˆeme boule de B(2). Reste `a majorer |B(2)|.

Comme les boules de B sont plong´ees dans M et d’int´erieurs deux `a deux disjoints, on a

Vol(M ) ≥ ^X

B∈B

Vol(B)

≥ |B| VolB(/4).

Comme B(2) a le mˆeme cardinal que B, on obtient la majoration

|B(2)| ≤ b ^{Vol(M )} VolB(/4)c.

Notons Π : H³ ' fM0 → M0 le revˆetement universel de M⁰. Soient eB = Π−1(B) et gB(2) = Π−1(B(2)). Prenons les indices j qui satisfont les conclusions du lemme 2.8. Pour tout j, soitx_ej un relev´e de x_j dans H3. On peut choisir ces relev´es de telle sorte que pour tout indice j, x_ej appartienne `a la mˆeme boule eB de gB(2). Soit y₀ le centre de la boule eB : eB = B_H3(y₀, /2).

86 2. Fibration de revˆetements r´eguliers.

Notons ∆ l’adh´erence de T \ H : c’est un polygone `a 4g cˆot´es et 4g sommets, et le revˆetement universel eT ' R<sup>2</sup> de T est pav´e par une infinit´e de copies de ∆. De mˆeme, pour tout indice j donn´e par le lemme 2.8, soit D<sub>j</sub> l’adh´erence de T<sub>j</sub> \ H<sub>j</sub>. L’hom´eomorphisme h<sub>j</sub> : T → T<sub>j</sub> donne naissance `a un hom´eomorphisme entre ∆ et D_j, ainsi qu’entre eT et le revˆetement universel eT_j de T_j, pav´e par une infinit´e de copies de D_j. Soit U_j l’adh´erence de la composante connexe de la pr´eimage dans le revˆetement universel H3 de T_j \ H_j qui contient le point x_ej, et E_j la composante connexe de l’image r´eciproque de T_j dans H3 contenantx_ej et U_j. Le pointx_ej est dans l’int´erieur de U_j. Si les surfaces T_j sont incompressibles dans M⁰, U_j est isom´etrique `

a D_j et E_j est un plan. Comme les surfaces T_j peuvent ˆetre a priori compressibles, U_j est hom´eomorphe au polygone D_j dont on a ´eventuellement identifi´e certaines arˆetes, et on a un revˆetement E_j → T_j dont la restriction U_j → T_j est surjective. De mˆeme, soit E un revˆetement de T hom´eomorphe `a E_j pour tout j, et U ⊂ E l’adh´erence d’une composante connexe de la pr´eimage de T \ H, tels que pour tout j, on ait un hom´eomorphisme eh_j : U → U_j faisant commuter le diagramme suivant.

(T, H) ^hj (T_j, H_j)⊂ M0 ^p Σ_j ⊂ M x x_j U ∆ R² ' eT ⊃ E ⊃ U_j e x_j ⊂ E_{j H}3 D_j ⊂ eT_j ' R2 P Π e h_{j i}

L’application i est l’inclusion de Ej dans H³, le revˆetement universel de M⁰. Comme les surfaces T_j sont parall`eles dans M<sup>0</sup> et que les graphes H<sub>j</sub> sont homo-topes, les relev´es U<sub>j</sub> sont deux `a deux homotopes dans H3. Les surfaces n’ont pas de propri´et´es de g´eom´etrie intrins`eque particuli`eres et l’on ne peut pas appliquer des r´esultats sur les surfaces pliss´ees comme dans [Som]. N´eanmoins, le recouvrement des surfaces plong´ees T_j par au plus K boules plong´ees de rayons 2 permet de contrˆoler le diam`etre dans H³ des surfaces Uj. C’est le but du lemme suivant.

Lemme 2.9. Pour tout j et tout point y ∈ U_j, la distance dans H³ entre y et y₀, le centre de eB, est au plus (4K + ⁹₂).

D´emonstration du lemme 2.9.

Nous savons qu’il existe une famille B⁰ d’au plus K boules plong´ees dans M⁰ de rayon 2 recouvrant la surface T_j plong´ee dans M⁰. Soit eB0 la famille des images r´eciproques des boules de B⁰. C’est une famille de boules plong´ees de rayon 2 dont la r´eunion recouvre l’image r´eciproque de T_j, donc en particulier la surface E_j. Affirmation . Il existe une sous-famille fB00 d’au plus K boules de eB0 dont la r´eunion recouvre la surface U_j⁰ constitu´ee des points de U_j `a distance (mesur´ee dans H3) au moins 4 du bord de U_j.

2.2. Surfaces parall`eles et homotopies proches. 87

D´emonstration de l’affirmation

Notons U_j⁰ = {y ∈ U_j| d_H3(y, ∂U_j) ≥ 4}. C’est une sous-surface ferm´ee de U_j, ´eventuellement vide.

Comme la famille de boules B⁰plong´ees dans M recouvre la surface T_j, si C⁰ est la famille des boules de T_j induites par les traces des boules de B⁰ sur T_j, cette famille recouvre Tj. Autrement dit, C⁰ = {B ∩ Tj| B ∈ B0} et ∪C∈C0C = Tj.

Soit eC0 l’image r´eciproque de C⁰ dans le revˆetement Ej → Tj. La r´eunion des boules de eC0 recouvre Ej. De plus, toute boule eC de eC0 est la trace sur Ej d’une unique boule de eB0 plong´ee dans H3. Notons fC00 la sous-famille des boules de eC0 qui sont contenues dans U_j. Comme la projection U_j → T_j restreinte `a l’int´erieur de U<sub>j</sub> est injective, `a toute boule eC de fC00 correspond une et une seule boule de C⁰ qui est l’image de eC par cette projection. Ainsi,

  ^fC00

≤ |C0| = |B0| ≤ K.

Montrons que la r´eunion des boules des fC00 recouvre la surface U_j⁰. Soit y ∈ U_j⁰. Comme U_j⁰ ⊂ E_j, il existe une boule eC de eC0 contenant y. Mais comme le diam`etre de eC mesur´e dans H3 est 4 et que la distance dans H3 de y `a ∂U_j est au moins 4,

e

C est contenue dans U_j, et donc appartient `a la sous-famille fC00. Par suite, on a bien U_j⁰ ⊂ ∪

e C∈fC00C.e

Notons fB00 la sous-famille des boules de eB0 dont les traces correspondantes sur la surface E_j sont dans fC00. Par construction, fB00est une sous-famille d’au plus K boules de eB0 dont la r´eunion recouvre la surface U_j⁰, ce qui d´emontre l’affirmation.

D’apr`es l’affirmation, l’ensemble des points de U<sub>j</sub> situ´es `a distance au moins 4 du bord de Uj est contenu dans la r´eunion des boules de fB00. En particulier, le diam`etre de U_j⁰ est major´e par 4K. Ainsi, pour tout point y de U_j, on a

d_H3(y,x_ej) ≤ 4 + diam_H3(U_j⁰) ≤ 4 + 4K = 4(K + 1).

Comme par choix, le point x_ej appartient `a la boule B(y₀, /2), au final, pour tout point y ∈ U_j,

d_H3(y, y₀) ≤ /2 + 4(K + 1) = (4K + ⁹ 2^).

Rappelons que B est une famille de boules plong´ees dans M , de rayon /4, d’int´ e-rieurs deux `a deux disjoints, et maximale pour cette propri´et´e, si bien que la r´eunion des boules de B(2) recouvre M . La famille eB(2) est l’ensemble des images r´eciproques de boules de B(2) dans H3. Ce sont donc des boules hyperboliques plong´ees et de rayon /2. De plus, les int´erieurs des boules de eB sont deux `a deux disjoints, et la r´eunion des boules de eB(2) recouvre H3. Comme le diam`etre de U_j est major´e par le lemme 2.9, on a le lemme suivant.

Lemme 2.10. Notons eB(2)∗ l’ensemble des boules de eB(2) qui intersectent la boule de centre y₀ et de rayon (4K + 9/2). On a la majoration

  B(2)^e ∗   ≤ b^{VolB((4K +} 21 4 )) VolB(₄^) c.

88 2. Fibration de revˆetements r´eguliers.

D´emonstration du lemme 2.10.

Si B ∈ eB est concentrique avec une boule de eB(2)∗, alors B est contenue dans la boule de centre y₀ et de rayon (4K + 9/2) + /2 + /4 = (4K + 21/4). Par suite,

Vol B_H3(y0, (4K + 21/4)) ≥   B(2)^e ∗   VolB(/4) VolB((4K + 21/4)) ≥   B(2)^e ∗   VolB(/4),

ce qui conduit `a la majoration voulue.

Lemme 2.11. Notons V (∆) l’ensemble des 4g sommets de ∆. Soit v ∈ V (∆). A tout j, il correspond un point v_ej de Uj qui est l’image de v par la compos´ee de la projection P : ∆ → U et de l’hom´eomorphisme eh_j : U → U_j.

Parmi les indices j pr´ec´edents, il en existe au moins 21 tels que pour tout sommet v de ∆, les sommetsv_ej correspondants appartiennent tous `a la mˆeme boule de eB(2)∗. D´emonstration du lemme 2.11.

D’apr`es le lemme 2.9, pour tout j, la surface U_j est contenue dans la boule ferm´ee de centre y₀ et de rayon (4K + 9

2). N´ecessairement, les images des sommets de ∆ sont contenues dans les boules de eB(2)∗. Comme d’apr`es le lemme 2.10,

  B(2)^e ∗    ≤ b^VolB((4K+214))

VolB(₄^) c, il y a au moins dm/(b_VolB(/4)^{Vol(M )} cb^{VolB((4K+21/4))}_VolB(/4) c^4g)e = dm/S(g)e > 20 indices j qui satisfont les conclusions du lemme 2.11.

Lemme 2.12. Soient j < k deux indices parmi les indices v´erifiant les conclusions du lemme 2.11. Il existe une homotopie dans M partiellement -proche entre les surfaces Σ_j et Σ_k.

D´emonstration du lemme 2.12.

Soit v un sommet de ∆. Il existe un arc g´eod´esique minimisant α_v reliant v_ej = e

h_j ◦ P (v) `av<sub>ek</sub> = eh<sub>k</sub>◦ P (v), les images de v dans H3. Comme les indices j et k sont donn´es par le lemme 2.11, v<sub>e</sub>j et v<sub>e</sub>k appartiennent `a l’int´erieur de la mˆeme boule de eB(2)∗ et que cette boule a pour rayon /2, la longueur de la g´eod´esique αv est strictement plus petite que .

Soit eF : ∆ × I → H³ une homotopie entre Uj et Uk : eF|∆×{0} = ehj ◦ P et e

F_|∆×{1}= eh_k◦ P , et telle que pour tout sommet v de ∆, eF ({v} × I) = α_v. Une telle homotopie existe car nous avons vu que U_j et U_k sont homotopes dans H3.

Prenons deux sommets v et v⁰ de ∆. Ils sont identifi´es dans la surface T , donc leurs images Π(v_ej) et Π( ev⁰_j) sont identifi´ees dans Σ_j, tout comme Π(v_ek) et Π( ev⁰_k) dans Σk : Π(v_ej) = Π( ev_j⁰) = wj et Π(v_ek) = Π( ev_k⁰) = wkdans M . Le lacet ferm´e Π(αv∪ α⁻¹_v0 ) est la r´eunion de deux g´eod´esiques de M reliant w_j `a w_k et de longueur strictement plus petite que 2 ≤ Inj(M ). Donc ces deux g´eod´esiques sont en fait confondues : Π(αv) = Π(αv0).

Ainsi, si deux arˆetes e et e⁰ du bord de ∆ sont identifi´ees dans T , Π ◦ eF|∂(e×I)= Π ◦ eF_|∂(e0×I). Mais Π ◦ eF_|e×I ∪ Π ◦ eF_|e0×I est une sph`ere de dimension 2 immerg´ee dans M irr´eductible. Elle borde donc une boule immerg´ee dans M . En modifiant

2.2. Surfaces parall`eles et homotopies proches. 89

e

F par une homotopie fixant ∆ × {0, 1} ∪ V (∆) × I, on peut ainsi supposer que Π ◦ eF|e×I = Π ◦ eF|e0×I.

Par suite, l’homotopie Π ◦ eF : ∆ × I → M est bien d´efinie et donne naissance `

a une homotopie F : T × I → M entre les surfaces Σ_j et Σ_k. Si w est l’image des sommets de ∆ identifi´es dans la surface T , par construction, F ({w} × I) = Π(α_v) est un arc g´eod´esique de longueur strictement plus petite que . Donc l’homotopie F est partiellement -proche, ce qui ach`eve la d´emonstration du lemme 2.12, et aussi de la proposition 2.6.

D´efinition 2.13. Notons T × [1, m] le produit dans M⁰ bord´e par les surface T₁ et T_m, de telle sorte que pour tout j, T_j co¨ıncide avec la fibre T × {j}. Si l’on oriente la surface T et que l’on transporte cette orientation pour tout j par l’hom´eomorphisme h_j : T → T_j, la surface T_j h´erite d’une orientation naturelle. Soit q un point de la surface T . Nous dirons que deux surfaces T_j et T_k sont orient´ees de fa¸con coh´erente si le lacet {q} × [1, m] intersecte la surface fibre orient´ee T_j avec le mˆeme nombre alg´ebrique d’intersection qu’avec la surface fibre orient´ee T_k (et ce nombre est dans l’ensemble {−1, +1}).

Lemme 2.14. Dans l’hypoth`ese o`u m > 20S(g(C)), il existe au moins deux in-dices j et k pour lesquels les surfaces T_j et T_k sont s´epar´ees par une distance d’au moins 10K, orient´ees de fa¸con coh´erente, et dont les images Σj et Σk dans M sont homotopes par une homotopie partiellement -proche.

D´emonstration du lemme 2.14.

Deux quelconques des m surfaces plong´ees T_j sont s´epar´ees par une distance d’au moins K. Par cons´equent, parmi les 21 surfaces au moins v´erifiant les conclusions de la proposition 2.6, il y en a au moins trois qui sont s´epar´ees les unes des autres par une distance d’au moins 10K. N´ecessairement, au moins deux de ces trois surfaces sont de plus orient´ees de fa¸con coh´erente dans le produit, ce qui d´emontre le lemme.

Fin de la d´emonstration de la proposition 2.3.

Notons T₁ et T₂ les deux surfaces obtenues par le lemme 2.14. Relevons l’homo-topie partiellement -proche entre Σ₁ et Σ₂ en une homotopie partiellement -proche entre T₂ et une surface plong´ee T₁⁰ relevant Σ₁. Comme le revˆetement M⁰ → M est r´egulier, il existe une isom´etrie h ∈ π₁(M )/π₁(M⁰) pr´eservant l’orientation et telle que T₁⁰ = h(T₁). En particulier, la surface T₁⁰ est une copie isom´etrique de T₁, situ´ee `a distance au plus  de T<sub>2</sub>. Le diam`etre de T₁ dans la vari´et´e M⁰ ´etant ma-jor´e par 4K, celui de T₁⁰ est aussi major´e par 4K, ainsi d’ailleurs que celui de T₂. Mais comme les surfaces T₁ et T₂ sont s´epar´ees par une distance d’au moins 10K, en utilisant le fait que K ≥ 1, les surfaces T₁ et T₁⁰ sont `a distance au moins 10K − 4K − 4K −  ≥ K > 0, donc trop ´eloign´ees pour pouvoir s’intersecter. Comme la surface T<sub>1</sub><sup>0</sup> est homotope `a T₂, elle est parall`ele `a T₁ dans le produit, et T₁ et T₁⁰ sont orient´ees de fa¸con coh´erente. Les surfaces T₁ et T₁⁰ v´erifient donc les conclusions de la proposition 2.3.

90 2. Fibration de revˆetements r´eguliers.