Sur l’impl´ementation des conditions d’admissibilit´e cin´ematiques

α_ik= 0, ∀i ∈ [1, NG]

En revanche, la mani`ere d’imposer que l’incr´ement de d´eformation plastique sur un cycle ∆q soit cin´ematiquement admissible n’est pas ´evidente `a caract´eriser puisque nous impl´ementons dans un code programm´e `a l’aide des ´el´ements finis statiquement admissibles. Par cons´equent, avant de passer `a l’´etude num´erique du probl`eme cin´ematique (IV.30) que nous venons de construire pour l’´ecrouissage cin´ematique lin´eaire limit´e, il s’est av´er´e n´ecessaire de s’int´eresser plus parti-culi`erement `a l’impl´ementation des conditions d’admissibilit´e cin´ematiques.

IV.3.2 Sur l’impl´ementation des conditions d’admissibilit´e cin´ematiques

Pour pouvoir mettre en œuvre le probl`eme cin´ematique (IV.30) propos´e dans le paragraphe pr´ec´edent, on doit en particulier s’int´eresser `a la mani`ere d’impl´ementer les conditions d’admis-sibilit´e cin´ematiques dans le programme dont nous disposons, bas´e sur les ´el´ements statiquement admissibles. Pour cela, dans un premier temps, on se place dans le cadre plus simple et davantage maˆıtris´e qu’est la plasticit´e parfaite.

IV.3.2.a Probl`emes de bornes dans le cas de la plasticit´e parfaite

Rappelons la formulation des probl`emes de bornes dans le cas de la plasticit´e parfaite. D’apr`es l’annexe A, le probl`eme de borne statique en plasticit´e parfaite (A.15), se met sous la forme sui-vante :

Sup

¯

ρ,λ {λ}

sous les contraintes (

¯

ρ admissible λσ^e0+ ¯ρ∈ K

Dans le cas pr´esent, i.e. pour les coques minces ´etudi´ees ici, on exprime ce probl`eme en fonction des ´el´ements de r´eduction adimensionn´es. En utilisant le crit`ere d’´ecoulement de H¨uber-Mises, il devient : w w w w w w w w w w w w Sup λ,Q {λ}

sous les contraintes    Q admissible λQ^e0+ Q
T B_± λQ^e0+ Q
− 1 ≤ 0

Chapitre IV. Adaptation ´elastoplastique pour les structures de type coques minces

Passons maintenant au probl`eme cin´ematique. D’apr`es l’annexe A, le probl`eme de borne cin´e-matique (A.10) se met sous la forme suivante :

Inf ˙ εp Z Ω I D( ˙ε^p)dt dΩ 

sous les contraintes    ˙ε^p admissible Z Ω I σ^e0: ˙ε^pdt dΩ = 1

Le calcul du potentiel de dissipation plastique pour les coques minces dans le cas de la plasticit´e parfaite (calcul effectu´e en annexe D, paragraphe D.1) fournit :

D( ˙q) =k ˙q+k^∗ +k ˙q−k^∗ On obtient alors le probl`eme cin´ematique suivant :

w w w w w w w w w w w w Inf ˙ q Z Ω I k ˙q+ k^∗+k ˙q−k^∗ dt dΩ

sous les contraintes    ˙q admissible Z Ω I Q^e0
T ˙q dt dΩ = 1

Les probl`emes statique et cin´ematique ´etant reformul´es dans le cadre de notre ´etude, revenons au sujet qui nous pr´eoccupe dans ce paragraphe, soit l’impl´ementation des conditions d’admissi-bilit´e cin´ematiques. Dans un premier temps, puisque nous utilisons un code de calcul programm´e en ´el´ements statiquement admissibles, la premi`ere id´ee est de s’int´eresser aux conditions cin´e-matiques sous forme faible.

IV.3.2.b Conditions d’admissibilit´e sous forme faible

Si l’on se place dans le cadre des ´el´ements statiquement admissibles, on ne peut acc´eder qu’aux champs de d´eformations en moyenne sur l’´el´ement, not´e < ˙q >, (Save et al. (1991), Save et al. (1997)) : < ˙q >= Z ´ el´ement S^T˙q dV^e

o`u S est la matrice des fonctions de forme des contraintes discr´etis´ees qui apparaˆıt dans (IV.8). Cela implique en particulier que la condition « ∆q est cin´ematiquement admissible » ne pourra elle-mˆeme ˆetre impos´ee qu’en moyenne sur l’´el´ement, sous la forme suivante :

J^T < ∆q >= 0

o`u l’on retrouve la matrice J issue du processus d’´elimination de Gauss-Jordan (IV.15) lors de la discr´etisation du champ de contraintes r´esiduelles.

IV.3. Ecrouissage cin´ematique lin´eaire limit´e par l’approche du bipotentiel Dans ce cas le probl`eme d’optimisation associ´e au probl`eme cin´ematique devient :

w w w w w w w w w w w w Inf ˙ q Z Ω I k ˙q+ k^∗+k ˙q−k^∗ dt dΩ

sous les contraintes    J^T < ∆q >= 0 Z Ω I Q^e0
T ˙q dt dΩ = 1

Ce probl`eme est impl´ement´e et test´e sur l’exemple du tube sous pression et charge annulaire de la figure IV.3. On compare alors les valeurs du facteur d’adaptation obtenues `a celles fournies par le probl`eme statique en plasticit´e parfaite avec la courbe d’interaction (figure IV.7).

0 0,5 1 1,5

0 0,5 1 1,5

Plasticité parfaite, approche statique

Plasticité parfaite, approche cinématique, CA faibles

P

/

P0

Q/Q₀

Figure IV.7 - Comparaison des approches statique et cin´ematique avec conditions d’admissibilit´e sous forme faible

On peut alors remarquer que les valeurs du facteur d’adaptation obtenues par les deux ap-proches sont identiques. L’utilisation des conditions d’admissibilit´e sous forme faible conduit donc aux mˆemes r´esultats. Cela provient du fait que le probl`eme r´esolu alors n’est autre que le probl`eme dual (au sens de l’optimisation convexe) du probl`eme statique. On peut alors identifier les multiplicateurs de Lagrange du probl`eme statique aux variables d’optimisation du probl`eme cin´ematique et r´eciproquement, les variables d’optimisation du probl`eme statique aux multipli-cateurs de Lagrange du probl`eme cin´ematique.

Si l’on veut r´eellement d´eterminer les solutions du probl`eme cin´ematique, il est donc n´ecessaire de consid´erer les conditions d’admissibilit´e sous forme forte.

Chapitre IV. Adaptation ´elastoplastique pour les structures de type coques minces IV.3.2.c Conditions d’admissibilit´e sous forme forte

Pour obtenir le facteur d’adaptation cin´ematique, il faut donc consid´erer les conditions d’ad-missibilit´e cin´ematiques sous forme forte. Comme la seule partie du code de calcul n´ecessitant les champs cin´ematiques est le module d’optimisation du probl`eme cin´ematique, on peut se contenter de construire la matrice de compatibilit´e `a partir d’un ´el´ement cin´ematique. Pour ce faire, on choisit un ´el´ement tronconique sans cisaillement transverse classiquement utilis´e pour la mod´elisation des coques minces (Batoz et Dhatt (1992))19. Dans ce cas, en notant C la matrice de compatibilit´e et ∆u les incr´ements de d´eplacement sur un cycle de chargement, les conditions d’admissibilit´e se mettent sous la forme :

C∆q = ∆u

o`u l’on a ´elimin´e les d´eplacements bloqu´es dans ∆u et les colonnes correspondantes dans C. Le probl`eme d’optimisation associ´e au probl`eme cin´ematique devient :

w w w w w w w w w w w w w Inf ˙ q,∆u Z Ω I k ˙q+k^∗+k ˙q−k^∗ dt dΩ

sous les contraintes      C∆q = ∆u Z Ω I Q^e0
T ˙q dt dΩ = 1

Comme dans le paragraphe pr´ec´edent, cette formulation est impl´ement´ee et test´ee sur l’exemple du tube sous pression et charge annulaire de la figure IV.3. La comparaison des facteurs d’adap-tation (voir figure IV.8) dans ce cas montre une l´eg`ere diff´erence des valeurs obtenues par le probl`eme statique et par le probl`eme cin´ematique.

On peut noter que cette diff´erence est plus importante lorsque l’influence de la charge annu-laire est pr´epond´erante. En effet, comme cette charge est ponctuelle et localis´ee sur l’extr´emit´e du tube, il n’y pas de point de Gauss positionn´e `a l’endroit o`u est appliqu´ee la charge. C’est donc `a cet endroit que l’erreur relative entre les facteurs d’adaptation statique et cin´ematique prend ses valeurs maximales, de l’ordre de 3.50%. Comme le chargement en pression est un chargement r´eparti, la r´epartition des points de Gauss a nettement moins d’influence. De ce fait, lorsque le chargement en pression est pr´edominant, les valeurs de l’erreur relative entre les facteurs d’adaptation statique et cin´ematique n’exc`edent pas 1%. Cependant, puisque ce n’est pas l’objet principal de ce paragraphe, reprenons le sujet qui nous pr´eoccupe, i.e. le probl`eme cin´ematique construit pour l’´ecrouissage cin´ematique lin´eaire limit´e par l’approche du bipoten-tiel.

19

Pour plus de d´etails sur la matrice de compatibilit´e de cet ´el´ement, on pourra se reporter au paragraphe C.2 de l’annexe C.

IV.3. Ecrouissage cin´ematique lin´eaire limit´e par l’approche du bipotentiel

0 0,5 1 1,5

0 0,5 1

1,5 _{Plasticité parfaite, approche statique}

Plasticité parfaite, approche cinématique, CA fortes

P

/

P0

Q/Q0

Figure IV.8 - Comparaison des approche statique et cin´ematique avec conditions d’admissibilit´e sous forme forte