8.5 Exemples d’utilisations
8.5.4 Supprimer un radical au d´ enominateur d’une fraction
Supprimer un radical au d´enominateur d’une fraction signifie supprimer une racine carr´ee du d´enominateur de cette fraction sans changer sa valeur. Deux cas sont envisageables, soit nous multiplions num´erateur et d´enominateur par la mˆeme racine carr´ee, soit nous utilisons la 3`eme identit´e remarquable.
1er cas
nous avons alors au d´enominateur la 3`emeidentit´e remarquable.
“7ˆ2´7?
nous avons alors au num´erateur la 1`ere identit´e remarquable et au d´enominateur la 3`eme identit´e remarquable.
“ p
8.6. DEVOIR MAISON 93
8.6 Devoir maison
Devoir de math´ ematiques
Les deux mots les plus brefs et les plus anciens, oui et non, sont ceux qui exigent le plus de r´eflexion.
(Pythagore)
Exercice 2 : Un sac contient neuf boules : 2 jaunes, 3 vertes et 4 rouges. On tire au hasard une boule dans le sac, on note sa couleur (J,V ou R), on ne remet pas la boule tir´ee dans le sac puis on tire une seconde boule en notant `a nouveau sa couleur.
1. Faire un arbre des possibles de cette exp´erience al´eatoire.
2. Compl´eter cet arbre avec les probabilit´es de chaque branche.
3. `A l’aide de l’arbre, calculer la probabilit´e de l’´ev`enement “obtenir au moins une boule jaune”.
4. En d´eduire la probabilit´e de l’´ev`enement “n’obtenir aucune boule jaune”.
Exercice 3 : Nouvelle Cal´edonie 2008 (modifi´e)
Voici un tableau de proportionnalit´e donnant la vitesse exprim´ee en noeuds et la vitesse exprim´ee en m`etres par seconde correspondante.
Vitesse mesur´ee en noeuds 1,028 1,285 1,542
Vitesse mesur´ee en m/s 1 2 3
a) Recopier et compl´eter le tableau.
Une barque traverse une rivi`ere en partant d’un point A d’une rive pour arriver en un point B.
La travers´ee de A vers B s’effectue `a la vitesse constante de 1,542 noeuds et dure 50 secondes.
b)Exprimer cette vitesse en m/s.
c)Montrer que la distance parcourue AB est de 150 m.
d)Sachant que {BAC“60 calculer AC et BC.
e)A 14h12, on d´` ecide de ramener la barque au port situ´e `a 3 km. Le trajet se fait `a la vitesse constante de 0,257 noeud. `A quelle heure la barque arrivera-t-elle ?
Bar`eme : 6 / 7,5 / 6,5
8.7 Corrig´ e du devoir maison
Corrig´ e du devoir de math´ ematiques
Les deux mots les plus brefs et les plus anciens, oui et non, sont ceux qui exigent le plus de r´eflexion.
(Pythagore)
3. Calcul de la probabilit´e de l’´ev`enemement “obtenir au moins une boule jaune”.
Plusieurs issues correspondent `a cet ´ev`enement :
La premi`ere boule est jaune : ´ev`enement de probabilit´e 2 9.
La premi`ere boule est verte et la seconde est jaune : ´ev`enement de probabilit´e1 3ˆ1
4 “ 1 12.
La premi`ere boule est rouge et la seconde est jaune : ´ev`enement de probabilit´e4
9ˆ1
4 “1 9. Pour conclure, la probabilit´e de l’´ev`enemement “obtenir au moins une boule jaune” est donc de : 2
4.“n’obtenir aucune boule jaune” est l’´ev`enement contraire de “obtenir au moins une boule jaune”, la probabilit´e de l’´ev`enement “n’obtenir aucune boule jaune” est donc : 1´ 5
12 “ 7 12.
8.7. CORRIG ´E DU DEVOIR MAISON 95 Exercice 3 : Nouvelle Cal´edonie 2008 (modifi´e)
a)
Plusieurs m´ethodes sont possibles (elles m`enent ´evidemment toutes au mˆemes r´esultats).
Avec des produits en croix : 1ˆ1,028
2 “0,514 et 2ˆ1,285 1,028 “2,5
Vitesse mesur´ee en noeuds
0,514 1,028 1,285 1,542
Vitesse mesur´ee en m/s
1 2 2,5 3
b) La r´eponse est dans le tableau : 1,542 noeuds = 3 m/s
c) La distance (en m) est ´egale au produit de la vitesse (en m/s) par le temps (en s) :AB“3ˆ50“150 soit 150 m.
d)
On sait d’apr`es le codage que le triangle ABC est rectangle en C, on peut donc y appliquer les formules de trigonom´etrie.
cos{BAC“ AC
AB soit encore cosp60q “AC
150 et donc AC“150ˆcosp60q “75.
En conclusionAC“75m
Pour calculer la longueur BC, deux m´ethodes sont possibles, soit nous utilisons le th´eor`eme de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en C, soit nous utilisons le sinus de l’angleBAC{.
Avec le th´eor`eme de Pythagore
ABC est un triangle rectangle en C, l’hypot´enuse est donc AB.
La longueur BC vaut donc environ 130 m.
Avec le sinus de {BAC
ABC est un triangle rectangle en C.
sin{BAC“ BC
AB soit encore : sinp60q “ BC
150 donc : BC“150ˆsinp60q «129,9
Pour conclure, BC vaut 130 m environ.
e)
Calcul de la vitesse en m/s.
0,257 est la moiti´e de 0,514. 0,257 noeud correspond `a une vitesse de 0,5 m/s (la moiti´e de 1 m/s).
Calcul de la dur´ee du trajet en heure et minutes.
Le temps (en s) est ´egal au quotient de la distance (en m) par la vitesse (en m/s). Le temps n´ecessaire pour parcourir les
3 km (soit 3000 m) est donc de :
3000
0,5 “6000 soit 6000 secondes
Or 6000˜60“100 donc 6000 s = 100 min = 1 h 40 min. Le trajet va donc durer 1 heure et 40 minutes.
Calcul de l’heure d’arriv´ee.
L’heure du d´epart ´etant 14h12, l’heure d’arriv´ee sera donc : 14 h 12 min + 1 h 40 min = 15 h 52 min, soit 15h52.
8.8 Interrogation ´ ecrite
Interrogation de math´ ematiques
Les professeurs ouvrent les portes mais vous devez entrer vous-mˆeme. (Proverbe chinois)
L’usage de la calculatrice est autoris´e(ouf !)
Exercice 1 : On donne les nombres suivants : A“5?
32`
?18´4?
50 ; Ecrire´ Asous la formea? 2 B“?
12´5?
75`2?
147 ; Ecrire´ B sous la formea? 3 C“5?
12`?
27´10?
3 ; Ecrire´ Csous la forme a? b o`uaetb sont des nombres entiers.
D“ p2`4?
5qp2´4?
5q; Montrer queD est un nombre entier.
Exercice 2 :
(Toutes les r´eponses devront ˆetre soigneusement justifi´ees et r´edig´ees)
Un sac contient 10 jetons jaunes, 8 jetons verts et 2 jetons bleus.
Ces diff´erents jetons sont indiscernables au toucher.
1. Thomas tire un jeton au hasard, note sa couleur puis remet le jeton tir´e dans le sac. Quelle est la probabilit´e pour Thomas de tirer un jeton vert ?
2. Thomas effectue alors un second tirage. Quelle est la probabilit´e pour que le jeton tir´e par Thomas ne soit pas bleu ?
3. Lors du second tirage, Thomas n’a pas remis le jeton tir´e dans le sac ; sachant que ce jeton ´etait jaune, quelle est alors la probabilit´e que le jeton tir´e lors d’un troisi`eme tirage soit bleu ?
Bar`eme :
Ex 1 : 6 (1,5 par calcul) Ex 2 : 4 (1/1,5/1,5)
8.9. CORRIG ´E DE L’INTERROGATION ´ECRITE 97
8.9 Corrig´ e de l’interrogation ´ ecrite
Corrig´ e de l’interrogation de math´ ematiques
Les professeurs ouvrent les portes mais vous devez entrer vous-mˆeme. (Proverbe chinois)
L’usage de la calculatrice est autoris´e(ouf !)
Exercice 1 : On donne les nombres suivants : A“5?
(Toutes les r´eponses devront ˆetre soigneusement justifi´ees et r´edig´ees)
Un sac contient 10 jetons jaunes, 8 jetons verts et 2 jetons bleus.
Ces diff´erents jetons sont indiscernables au toucher.
1. Thomas tire un jeton au hasard, note sa couleur puis remet le jeton tir´e dans le sac. Quelle est la probabilit´e pour Thomas de tirer un jeton vert ?
Il y a 8 jetons verts sur 20 au total, la probabilit´e de tirer un jeton vert est donc de 8 20 “2
5 2. Thomas effectue alors un second tirage. Quelle est la probabilit´e pour que le jeton tir´e par Thomas ne soit pas
bleu ?
Si le jeton tir´e n’est pas bleu cela signifie qu’il est jaune ou vert. Il y a donc en tout 10 + 8 = 18 cas favorables sur 20 au total, la probabilit´e que le jeton tir´e ne soit pas bleu est donc de 18
20 “ 9 10 3. Lors du second tirage, Thomas n’a pas remis le jeton tir´e dans le sac ; sachant que ce jeton ´etait jaune, quelle
est alors la probabilit´e que le jeton tir´e lors d’un troisi`eme tirage soit bleu ?
Pour ce troisi`eme tirage, il y a un jeton jaune en moins, on a donc 9 jetons jaunes, 8 jetons verts et 2 jetons bleus et donc 19 jetons au total. La probabilit´e que le jeton tir´e soit bleu est donc de
2
19 «0,105
Bar`eme :
Ex 1 : 6 (1,5 par calcul) Ex 2 : 4 (1/1,5/1,5)