Conforme mencionado no Item 3.4, o cálculo da velocidade do som em escoamentos bifásicos não é claro como nos escoamentos monofásicos, nos quais são usadas as hipóteses de escoamento homogêneo e isentrópico. Tais hipóteses não são necessariamente verdadeiras para os escoamentos bifësicos.
Apesar disso, no Item 1.3 observou-se que o escoamento ao longo de tubos capilares é similar ao escoamento representado pela linha de Fanno, caso seja considerado unidimensional, adiabático, em regime permanente e os tubos sejam retos, horizontais e de seção transversal constante. Com isso, para um dado fluxo de massa e dadas condições de operação, a velocidade do som pode ser atingida na saída do tubo (M = 1), correspondendo ao ponto de entropia máxima.
Tal fenômeno pode ser usado como um critério para determinar ou o fluxo de massa crítico, conhecido o comprimento do tubo capilar, ou a seção de bloqueio e em consequência o comprimento do tubo capilar, conhecido o fluxo de massa. Esse critério foi comparado com
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aquele do gradiente de pressão máximo (Fauske, 1960), apresentado no Item 3.4, utilizando-se o modelo homogêneo. De acordo com Mezavila (1995), no ponto genérico i, o número de Mach (M = V/c) é calculado a partir da Eq. 3.32 por.
Mi = G Pi - Pi-1
(pi + Pi-1) / 2 Y Pi - pi_i (4.1)
Nessa equação o número de Mach é calculado em função da velocidade média do escoamento entre os pontos i e i- 1 e a velocidade do som é obtida com base na derivada numérica da pressão
em relação à massa específica, avaliada também entre os pontos i e i-1. E importante salientar que
a velocidade do som calculada pela Eq. 3.32, considera a hipótese de escoamento adiabático e reversível, ou seja, escoamento isoentrópico. Na Fig. 4.5 mostra-se, para um dos casos testados, o número de Mach, a entropia da mistura e o gradiente de pressão calculados ao longo da região de saturação.
Posição, m
Figura 4.5 Distribuições de dp/dz, entropia e o número de Mach na região bifásica
4 Re s u l t a d o s E Dis c u s s õ e s 102
Nesse caso, conhecido o fluxo de massa (m = 6,356 kg/h) e as condições de entrada no tubo; Pent ~ kPa e = 3,7 ®C, o modelo calcula o comprimento do tubo (z = 2,658 m), considerando que a seção de bloqueio corresponda ao incremento anterior àquele em que o sinal de dp/dz se inverte.
Observa-se que na seção de bloqueio (z = 2,658 m), o gradiente de pressão dp/dz atinge valores da ordem de - 1 0"^ N/m^ (em alguns casos foram observados valores da ordem de - 10'®N/m^), a entropia atinge o valor máximo de 0,448 kJ/kg.K e o número de Mach é de M = 0,96. Observou-se também que o número de Mach variou de acordo com o tamanho do incremento usado na região de saturação, sendo tanto mais próximo da unidade quanto menor o tamanho desse incremento. Para ilustrar esse fato mostra-se na Fig. 4.6 o número de Mach na seção de bloqueio, determinada pelo critério do gradiente de pressão, em função do tamanho do incremento na região de saturação. Os fluxos de massa e os perfis de pressão não se alteraram com a variação do incremento de comprimento.
0,96 "13 g 0 ,9 2 0,88 - 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 Incremento x 10'^, m 1,0
Figura 4.6 Influência do tamanho do incremento na região de saturação no cálculo do número
de Mach na saída do tubo capilar.
Fica evidente que ocorreu uma variação considerável do número de Mach na saída do tubo, obtendo-se um valor de 0,86 para Az =10-^ m. Tal fato também foi constatado por
4 Re s u l t a d o sE Di s c u s s õ e s 103
Mezavila (1995) e deve-se ao cálculo numérico da derivada dp/dz e à grande variação das propriedades envolvidas em tomo da posição de bloqueio, o que dificulta a determinação correta do número de Mach.
Usando o critério M = 1 e considerando que a seção de bloqueio corresponda ao incremento anterior àquele em que o número de Mach toma-se maior do que a unidade, obtém-se resultados compatíveis com aqueles obtidos pelo critério do gradiente de pressão máximo (Fauske, 1962) para incrementos de 10^ m na região bifásica. Em alguns casos, entretanto, esse procedimento provoca divergência numérica, uma vez que o sinal do gradiente de pressões inverte-se antes que o critério de M = 1 seja atentido. Dessa forma, além das dificuldades de se determinar adequadamente o número de Mach na saída do tubo capilar, esse critério pode também localizar a seção de bloqueio após o ponto de aparecimento de inconsistências físicas (aumento de pressão) no modelo.
Conforme destacado por Mezavila (1995) o critério do gradiente de pressões apresenta uma vantagem importante em relação àquele de M = 1, pois baseia-se nas equações de conservação e nenhuma hipótese precisa ser feita em relação ao caminho termodinâmico do processo. Dessa forma, esse critério é aplicável para escoamentos com e sem transferência de calor.
No presente modelo o número de Mach não pode ser calculado pela Eq. 4.1, uma vez que essa equação baseia-se nas hipóteses de escoamento homogêneo e isentrópico. Da mesma forma o cálculo da entropia na região bifásica não pode ser realizado como no modelo homogêneo [s = ( 1 - x)s l + xsv], pois considera-se que o escoamento não esteja em equiüTjrio térmico.
O critério de Bouré et al. (1976), que envolve o cálculo de determinantes (Eq. 3.34), foi também testado no presente modelo. Os resultados obtidos não foram compatíveis com aqueles obtidos com o critério do gradiente de pressões e, em alguns casos, os determinantes A e Aj inverteram de sinal duas vezes ao longo da região bifásica, em posições consideravelmente distantes da saída do tubo capilar.
Em face do exposto optou-se pela utilização do critério do gradiente de pressões, que além de possuir base matemática e significado físico, é de fácil implementação.