Para obtermos fidelidade unit´aria na transmiss˜ao de estados quˆanticos, precisamos que nosso canal se assemelhe a um cuja transferˆencia da informa¸c˜ao seja realizada diretamente entre o par sender -receiver. Portanto, devemos empreender uma maneira diminuir o acoplamento dos espa¸cos de Hilbert referentes aos spins |1i e |2i do restante do canal. Motivados pelas proje¸c˜oes dos autoestados ˜1
e ˜2
nos spins da base |ji no caso da cadeia completa, vamos inserir dois defeitos no canal, localizados nas posi¸c˜oes sim´etricas correspondentes aos s´ıtios 2 e 9, que equivale a fixarmos em 0 as constantes de acoplamento J2,j e J9,j no Hamiltoniano da equa¸c˜ao (3.2) para todos os valores de j. Este procedimento
preserva a topologia sim´etrica do sistema em geral, enquanto aumenta a energia que separa o subespa¸co do par sender -receiver do restante da cadeia. Al´em disso, elimina as proje¸c˜oes dos autoestados nas posi¸c˜oes desses spins.
Figura 3.4: Ilustra¸c˜ao da cadeia double hole com N = 5, as setas indicam as intera¸c˜oes entre os spins.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Diagonalizando numericamente o Hamiltoniano e organizando seus autovalores e seus autovetores associados em ordem crescente de energia, verificamos que a inclus˜ao dos defeitos no canal de transmiss˜ao preserva uma conduta das autoenergias semelhante a da cadeia completa. Essa afirma¸c˜ao pode ser verificada atrav´es da figura 3.5, na qual percebe-se novamente que as duas autoenergia mais baixas se distinguem das restantes. Al´em disso, outro detalhe relevante ´e que essas energias possuem um gap maior quando comparadas ao observado na cadeia completa. Devido a preserva¸c˜ao deste comporta- mento, iremos investigar a proje¸c˜ao dos autoestados referentes aos dois autovalores de menor energia nos spins da cadeia de transmiss˜ao.
Figura 3.5: Autovalores referentes a cadeia com N = 10.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Figura 3.6: As componentes mij≡ h ˜m|ji foram calculadas numericamente, com i denotando o ´ındice que
assumido pelos bra h ˜m|, isto ´e,˜1 e
˜
2 , que representam os autoestados associados as duas autoenergias
mais baixas.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Podemos observar na figura 3.6 que houve um aumento na proje¸c˜ao dos autoestados
˜1 e
˜2 nos estados do par sender -receiver. A energia de liga¸c˜ao entre o remetente e o destinat´ario na cadeia double hole, como chamaremos daqui por diante, e seus primeiros vizinhos se tornar´a mais fraca.
Os elementos diagonais do Hamiltoniano (3.2) representam a configura¸c˜ao energ´etica do sistema quando o mesmo ´e encontrado com uma excita¸c˜ao no s´ıtio j. O gr´afico 3.7 mostra que na cadeia double hole h´a um aumento na separa¸c˜ao entre as excita¸c˜oes no par
Figura 3.7: A configura¸c˜ao energ´etica das cadeias double hole e completa para o caso com 50 spins.
Pode-se observar que as excita¸c˜oes nas pontas possuem menor energia e tamb´em que a cadeia double hole
possui maior separa¸c˜ao energ´etica entre as pontas e os spins do canal.
Fonte: Elaborado pelo autor.
sender -receiver e as nos spins do canal, ent˜ao h´a maior desacoplamento entre os espa¸cos de Hilbert dos spins nas pontas e nos da cadeia. Percebe-se tamb´em que as configura¸c˜oes mais est´aveis do sistema s˜ao aquelas em que a excita¸c˜ao se encontra nos spins das pontas da cadeia.
Pelos c´alculos desenvolvidos na se¸c˜ao 2.2, podemos fazer uma estimativa do m´aximo da fun¸c˜ao F (t). Percebemos que o caso ideal ´e aquele em que h´a apenas dois spins na cadeia, pois n˜ao haver´a contribui¸c˜ao dos termos γ2
jm. Supondo que haja apenas dois spins
separados por uma distˆancia N − 1, o Hamiltoniano e seus autovalores ser˜ao
ˆ H = − 1 |N −1|ν |N −1|1 ν 1 |N −1|ν −|N −1|1 ν ! ; Eid + = 0 E id − = 2 (N − 1)ν. (3.4)
Substituindo as energias na equa¸c˜ao para a amplitude de transi¸c˜ao, podemos usar a identidade trigonom´etrica de arco duplo para obtermos |fr,s(t)|2 = sin2 E−idt, que nos
fornece fidelidade perfeita para o tempo
tid=
π
2(N − 1)
ν
. (3.5)
Como esperado, o tempo de transferˆencia ideal tid cresce com uma lei de potˆencia de-
pendente do tipo de intera¸c˜ao e com a distˆancia entre o sender e o receiver. Assim, aproximaremos o m´aximo da fidelidade utilizando as duas autoenergias mais baixas, em
analogia ao caso ideal tid, de onde estimamos o tempo para o m´aximo de F (t) como
t ≈ π ∆21
, (3.6)
no qual ∆21= E2− E1 e Ei representam os autovalores dos estados com menor energia.
Assim, podemos fazer o c´alculo da fidelidade m´axima da cadeia completa e da cadeia double hole e comparar os desempenhos.
Observemos agora algumas caracter´ısticas da performance da cadeia double hole como um canal de transmiss˜ao de estados em termos da fidelidade e do tempo de transferˆencia. Com este prop´osito, mapeamos o comportamento da equa¸c˜ao (2.17).
Figura 3.8: A figura ilustra a fidelidade como uma fun¸c˜ao do tempo para uma cadeia com 50 spins. A
linha vermelha corresponde a cadeia completa, enquanto a linha azul representa a cadeia double hole.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Na figura 3.8, em que usamos a cadeia com 50 spins, comparamos as performances da cadeia completa e da cadeia double hole. Vale notar que varremos o comportamento de F (t) da cadeia double hole no mesmo intervalo de tempo estimado (3.6) para o m´aximo da cadeia completa.
Trˆes rela¸c˜oes essenciais entre os canais emergem:
• A cadeia double hole alcan¸ca fidelidade perfeita, enquanto a cadeia completa mal consegue se manter em torno de 0.9;
• A cadeia double hole alcan¸ca seu valor m´aximo aproximadamente trˆes vezes mais r´apido que a cadeia completa;
• A fidelidade da cadeia double hole ´e uma fun¸c˜ao suave do tempo, podendo ser aproximada por um comportamento senoidal.
Figura 3.9: A fidelidade m´axima em fun¸c˜ao do n´umero de spins no canal. Os c´ırculos vermelhos indicam
a cadeia completa, enquanto os losangos azuis representam os valores da cadeia double hole.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Desta forma, podemos concluir que a cadeia double hole supera a cadeia completa como um canal de transmiss˜ao de estados. Esse aperfei¸coamento na performance se deve pela redu¸c˜ao da sobreposi¸c˜ao dos espa¸cos de Hilbert do par sender -receiver e o restante da cadeia. Portanto, de fato, a cadeia double hole n˜ao somente ´e vantajosa em rela¸c˜ao a cadeia completa, mas tamb´em a fidelidade unit´aria aparenta ser independente da quantidade de spins entre o par sender -receiver e da distˆancia entre eles. Ademais, dada uma distˆancia de transmiss˜ao, a fidelidade aparenta se tornar invariante sob uma reescala do sistema. Para corroborar essas afirma¸c˜oes, simulamos o mesmo sistema para cadeias com at´e 200 spins e dispomos o resultado no gr´afico 3.10. Por fim, dada uma distˆancia de transmiss˜ao de estados fixa, queremos encontrar o tempo para que o transporte seja feito do sender para o receiver. Uma forma de investigar esse tempo ´e calculando a raz˜ao entre o tempo ideal de transmiss˜ao, que seria o tempo mais r´apido, e o tempo aproximado obtido na equa¸c˜ao (3.6). Verificamos que o tempo de transmiss˜ao de estados aparenta se tornar invariante sob reescala do sistema no limite em que γjm2 → 0 com m = 1, 2. A raz˜ao demonstra se aproximar do valor assint´otico tid/t = 0.883 para o caso double hole e tid/t = 0.326
para a cadeia completa, os resultados est˜ao ilustrados no gr´afico 3.11. Portanto, apesar de estarmos aumentando a distˆancia entre o par sender -receiver e tamb´em o tamanho da cadeia, a fidelidade da transmiss˜ao da mensagem ´e maior e mais r´apida para o caso
Figura 3.10: A fidelidade m´axima em fun¸c˜ao do n´umero de spins no canal. Os c´ırculos vermelhos indicam a cadeia completa, enquanto os losangos azuis representam os valores da cadeia double hole.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Figura 3.11: Raz˜ao entre o tempo ideal tid e o tempo aproximado t∆para at´e a cadeia de 300 spins com
intera¸c˜ao dipolar.
Fonte: Elaborado pelo autor.
double hole. Podemos interpretar os spins entre o sender e o receiver como repetidores do sinal, cuja refletˆancia ´e proporcional a proje¸c˜ao dos autoestados de menor energia na base dos spins do canal. Desta forma, somos levados a interpretar γ2
jm com m = 1, 2 como a
2.2, de onde confirmamos a afirma¸c˜ao de que o menor tempo de entrega da mensagem ao receiver ´e tid.