Suivi de l’onde

Nous mesurons la vitesse des ondes par la m´ethode du temps de vol. Il nous faut pour cela suivre un point particulier de l’onde et d´eterminer la distance parcourue par ce point en fonction du temps. Ici, nous ne pouvons pas forc´ement proc´eder de la mˆeme mani`ere que pour les exp´eriences `a 1D o`u nous suivions le passage de l’onde par la variation d’intensit´e provoqu´ee par cette derni`ere juste au centre du grain. Effectivement, si un grain est soumis `

a plus que deux forces oppos´ees, l’intensit´e mesur´ee au centre du grain Icentre ne suffit plus

pour caract´eriser la force r´esultante. Par exemple, un maximum de l’intensit´e transmise ne correspond plus n´ecesssairement `a un maximum de force. De mˆeme, la m´ethode de traitement mise au point au Chap. V ne convient pas non plus. En effet elle n´ecessite de mesurer

l’intensit´e suivant un axe perpendiculaire `a la direction de propagation. A 2D, il est difficile et fastidieux de d´eterminer cette direction perpendiculaire `a la direction de propagation pour tous les grains et pour tous les contacts. On a donc pr´ef´er´e utiliser une autre m´ethode pour suivre le passage de l’onde dans un grain.

On a donc employ´e une m´ethode alternative pour suivre la propagation de l’onde, inspir´ee de celle de Behringer et coll. [39, 40]. Celle-ci ressemble `a celle mise au point au Chap. V, sauf qu’ici on analyse tous les pixels du grain et non pas juste ceux suivant un axe perpendiculaire `

a la propagation. L’id´ee de cette m´ethode est que le nombre de franges `a l’int´erieur du grain augmente de fa¸con monotone avec la force totale qui s’y exerce. Autrement dit, pour un maximum de force, on aura un maximum de franges et donc un grand nombre de passages entre des franges blanches et des franges noires. On utilise cette propri´et´e pour d´efinir une nouvelle variable G2

n(t) : le gradient au carr´e de l’intensit´e transmise par tous les pixels du

grain n.

Pour obtenir G2_n(t), on calcule d’abord, pour chaque grain, la quantit´e not´ee g2_ij par la formule : g_ij2 = 1 4 [( Ji−1, j − Ji+1, j 2 )2 + ( Ji, j−1− Ji, j+1 2 )2 + ( Ji−1, j−1− Ji+1, j+1 2√2 )2 + ( Ji−1, j+1− Ji+1, j−1 2√2 )2]

o`u Ji, jrepr´esente l’intensit´e transmise par le pixel (i, j) et normalis´ee par l’image de r´ef´erence4.

Les pixels (i, j) appartiennent au carr´e dont les cˆot´es sont tangents au contour du grain n (Fig. VI.5).

g2

ij correspond au gradient spatial de l’intensit´e lumineuse transmise par le pixel (i, j) et

calcul´e avec ses plus proches voisins. Plus cette valeur est grande, plus les variations spa- tiales de l’intensit´e lumineuse sont grandes. Cela signifie que les franges sont serr´ees et par cons´equent que la contrainte est grande (Fig. VI.5).

On calcule g_ij2 pour les N images du film et pour tous les grains des chaˆınes de forces s´electionn´ees. Ensuite, on calcule la moyenne spatiale du gradient au carr´e :

G2_n(t) = 1

M

∑

i, j

g_ij2(t) (VI.1)

4. Par la suite, on r´eserve la notation I pour d´esigner l’intensit´e transmise par le centre du grain et normalis´ee par l’image de r´ef´erence. J est l’intensit´e normalis´ee transmise par tous les pixels du grain. Autrement dit, Jcentre= I

(a)

(b)

i

j

FIG. VI.5 – (a) : Pour chaque grain d’une chaˆıne de force, on d´efinit le carr´e dont les cˆot´es sont tangents aux contours du grain. Pour tous les pixels (i, j) du carr´e, on calcule la quantit´ee g_ij2. (b) : Image en fausses couleurs repr´esentant la quantit´e g_ij2. Les zones noires correspondent `a des zones o`u le gradient est nulle et les zones jaunes `a des endroits o`u le gradient est tr`es important. Il suffit ensuite de calculer la moyenne de g2_ij sur tout le carr´e pour obtenir G2_n.

o`u M est le nombre de pixels dans le carr´e. On obtient ainsi une quantit´e G2

n(t) pour tous les grains n d’une chaˆıne s´electionn´ee

et pour tous les temps. Par construction, les maxima de G2

n(t) doivent correspondre `a des

extrema de la force appliqu´ee au grain. C’est ce que nous avons v´erifi´e pour le grain n = 4 appartenant `a la ligne 1 de la Fig. VI.4. Ce grain est soumis uniquement `a deux forces diam´etralement oppos´ees de valeur F0 = 10 N de sorte que dans ce cas, on est sˆur que les

extrema de l’intensit´e5mesur´ee au centre, soit In=4, correspondent `a des extrema de la force.

Nous voulons v´erifier sur cet exemple que les extrema de G2

n=4 correspondent aux extrema

de In=4 et par cons´equent aux extrema de la force. Les mesures de In=4 et G2n=4 lors du

passage de l’onde sont repr´esent´es Fig. VI.6. La courbe G2

n=4 a ´et´e d´ecal´e verticalement pour une meilleure visibilit´e. Avant que l’onde

n’arrive, les deux signaux prennent des valeurs constantes : 1 pour In=4 et 0 pour G2n=4.

Puis In=4(t) oscille avec une p´eriode d’environ 0.5 ms soit une fr´equence de 2 kHz, ce qui

correspond `a la fr´equence de l’excitation. La fonction G2

n=4(t) pr´esente aussi des oscillations,

avec une fr´equence d’environ 1 kHz, dont les maxima co¨ıncident bien avec les extrema de

In=4(t). Sur cet exemple, on a v´erifi´e que la variable G2n(t) permettait de suivre la propagation

du pulse et qu’un maximum co¨ıncide avec un extremum de la force qui agit sur le grain. On

5. Je pr´ecise de nouveau qu’il s’agit de l’intensit´e mesur´ee au centre divis´ee par celle mesur´ee sur l’image de r´ef´erence `a t = 0.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

t

_(ms)

I

et

G

t

FIG. VI.6 – Allure des fonctions In=4 (courbe du haut) et G2n=4 (courbe du bas) pour le grain n = 4 de la ligne 1 de la Fig. VI.4. La courbe G2_n=4(t) a ´et´e d´ecal´ee pour une meilleure comparaison. Les deux signaux pr´esentent des oscillations qui co¨ıncident parfaitement : un maximum du signal G2

n=4(t) correspond `a un extremum de In=4(t). Le signal G2n(t) offre donc une alternative pour suivre la propagation de l’onde pour des grains pour lesquels la mesure de In(t) n’est pas valable. Pour mesurer la vitesse, on suit le point `a mi-hauteur de la premi`ere oscillation (dans le cadre en pointill´es).

peut donc d´esormais mesurer la vitesse de l’onde acoustique en suivant un point particulier de In(t) et/ou de G2n(t). Je rappelle que pour les grains ayant plusieurs contacts qui ne sont

pas diam´etralement oppos´es, seule la deuxi`eme m´ethode convient. Pour les autres, les deux m´ethodes seront utilis´ees et compar´ees.