État de l’art
2.3 Le suivi de convoi
Dans cette partie, nous nous intéressons au problème de planification de trajectoires dans le cas d’un suivi de cible mobile. La problématique est donc d’utiliser les méthodes présentées précédem-ment pour prendre en compte la non stationnarité du point final.
La planification de trajectoires vers un point final en mouvement permet de répondre à certains besoins spécifiques des missions effectuées par un drone (e.g., espionnage, protection). Pour cela nous pouvons aussi utiliser les patterns définis par la norme mise en place par l’organisation de l’aviation civile internationale [95].
Nous ne nous intéressons qu’au contrôleur de haut niveau du vecteur. En d’autres termes, nous supposons qu’il existe un module embarqué qui permet au vecteur de suivre une trajectoire prédéfi-nie (par points de passage par exemple). C’est le cas dans [108,25] où la trajectoire fournie par un module de planification est transmise à un contrôleur de vol du commerce, qui effectue le contrôle de bas niveau (cf. Figure 1.1).
Différentes méthodes de suivi de cibles sont décrites dans [143,42].
Classiquement, les auteurs utilisent des méthodes stochastiques [22], des méthodes d’optimisation numérique [78] ou encore des méthodes basées sur un modèle de type proie/prédateur [12].
2.3.1 Méthode quadratique
Dans [29], les auteurs présentent une méthode quadratique de contrôle qui permet de prendre en compte les contraintes sur l’état et la commande. Nous l’adaptons à la planification de trajectoires. Nous supposons que le système est affine dans le contrôle, i.e. il est de la forme (2.3). La méthode consiste à trouver un contrôle minimisant l’écart entre la vitesse ˙q et la valeur cible ˙qcible.
Il faut alors chercher à exprimer cet écart en fonction de la commande u. Le but est de résoudre le problème de minimisation quadratique associé, avec ou sans contraintes sur l’état et/ou sur la commande [105].
CHAPITRE 2. ÉTAT DE L’ART 2.3. Le suivi de convoi
peut répondre, par exemple, au problème de la forme (cf. paragraphe 3.1)
(Z − Ru∗)T∆ (Z − Ru∗) = min
u∈U
h
(Z − Ru)T∆ (Z − Ru)i, où Z, R sont des matrices et ∆ est une matrice de pondération.
Ce problème de minimisation est standard et peut être résolu très simplement grâce à la pro-grammation quadratique (e.g., par une méthode de relaxation [105]).
Dans le paragraphe 3.1, nous utiliserons cette méthode quadratique pour répondre au problème de couplage vecteur/capteur.
2.3.2 L’utilisation de primitives
Le problème de planification, en temps réel, est soumis à de nombreuses contraintes, dont celle du temps de calcul. C’est pourquoi, beaucoup de modules de planification sont basés sur des trajec-toires types, ou primitives, que peut effectuer le vecteur. La trajectoire planifiée est alors composée d’une concaténation de trajectoires types.
Ces primitives peuvent être construites à partir de la résolution d’un problème de contrôle op-timal. Par exemple, Latombe a utilisé le modèle de Reeds-Shepp, et ses courbes temps-minimal, pour construire un algorithme de planification rapide pour une voiture autonome, dans un milieu encombré [81].
Frazzoli et al. ont proposé des trajectoires types, appelées trim primitives, pour un hélicoptère à 6 degrés de libertés. À partir de ces primitives de mouvement, obtenues par le biais d’un module de pilotage automatique, ils construisent un module de planification concaténant ces morceaux de trajectoires pour optimiser un certain coût [58].
Cette approche a été utilisée pour la planification de trajectoires de robots bipèdes. Par exemple, Hauser et al. proposent une méthode probabiliste de planification utilisant des primitives de mou-vement d’un robot humanoïde [68].
Enfin, dans [85, 70], les auteurs utilisent des primitives de trajectoires définies à partir de la différence de vitesse entre le vecteur et sa cible.
2.3.3 Des méthodes basées sur des considérations géométriques
Pour certaines missions, des patterns prédéfinis sont proposés et, dans ce cas, des algorithmes de planification temps-réel peuvent être mis en œuvre.
Une première méthode, décrite dans Rafi et al. [107], consiste à donner un cap à suivre au vecteur permettant de rejoindre un cercle (à la même altitude que le vecteur) centrée sur la cible considérée. C’est la méthode de la tangente qui n’est utilisable que si le vecteur est à l’extérieur du cercle visé. Dans le cas où le vecteur est à l’intérieur du cercle, une autre méthode de planification est appliquée, par exemple une méthode de stabilisation basée sur le principe de LaSalle [37].
qcible
~i ~j
O
Figure 2.4 – Schéma du principe de la méthode de la tangente
Lorsque le vecteur est en dehors du cercle, l’idée est de considérer les deux tangentes au cercle, passant par le centre de masse du drone. Le cap θuavcible que doit suivre le vecteur est celui qui est le plus proche du cap actuel et qui permet de suivre une des deux tangentes. En utilisant les notations de la Figure 2.4, θuavcible = θuav+ min(θd1, θd2), avec θd1, θd2 les angles entre le cap actuel et les tangentes au cercle. Cette commande de cap est envoyée au module de pilotage automatique du drone.
Une autre méthode, basée sur des considérations géométriques, est développée dans l’article de Theodorakopoulos et al. [130]. La problématique concerne les drones HALE et le couplage vec-teur/capteur. Le vecteur doit rejoindre la projection du point cible dans son plan d’altitude constante avec une trajectoire maximisant le temps d’observation de la cible. La caméra embarquée est soumise à des contraintes sur son champ de vision.
Le cap que doit prendre le drone est calculé de sorte que : • La cible reste au centre du champ de vision de la caméra,
• La distance entre le vecteur et la cible soit plus grande que le rayon de courbure minimal. La loi de guidage latéral permet de contrôler le cap du vecteur.
Après une étude géométrique du problème, les auteurs constatent qu’une trajectoire en spirale permet d’obtenir un temps de visibilité de la cible maximal.
CHAPITRE 2. ÉTAT DE L’ART 2.4. Prédiction du mouvement de la cible
2.3.4 Les méthodes utilisant le principe de LaSalle
Comme mentionné au paragraphe précédent, certains auteurs utilisent des méthodes basées sur le principe de LaSalle pour stabiliser le drone sur un pattern.
Wood, dans sa thèse [142], ainsi que Hamel et al. , dans [63,89,71,21], ont considéré une méthode de suivi de trajectoire, basée sur le principe de LaSalle, pour un véhicule à décollage vertical.
Lawrence et al. ont appliqué de telles techniques sur des modèles de drone de type HALE [84,59,60].
Ce principe de LaSalle est aussi utilisé pour trouver des méthodes de suivi de cible décrivant des trajectoires types (e.g., des droites ou des cercles) [100,144].
Dans tous les travaux cités, les méthodes de stabilisation sont appliquées en supposant que le problème de suivi concerne la stabilisation dans le plan d’altitude constante du drone. Nous allons, dans le paragraphe3.2, proposer une méthode, basée sur le principe de LaSalle, permettant de passer outre cette supposition et susceptible d’être appliquée à des drones de type MALE.
2.3.5 La résolution du problème de suivi via le PMP
Le Principe du Maximum de Pontryagin a déjà été exploité pour la mise en œuvre d’algorithmes de suivi de convoi.
Par exemple, les trajectoires en temps-minimal, pour le système de Dubins, sont utilisées par Bhatia et al. [25, 24]. Dans ces articles, les auteurs considèrent plusieurs drones et veulent qu’ils rejoignent le même point, au même instant. Cet exemple peut être étendu, par la suite, pour effectuer de la reconnaissance en coopération.
Ce même problème a été étudié, plus récemment, par Ortiz et al. dans [98], pour faire de la surveillance de zone à plusieurs drones.
Ding et al. ont considéré le problème de la protection d’un convoi en utilisant des trajectoires temps-minimal, du système de Dubins, rejoignant un cercle centré sur le convoi [48]. Dans cet article, le rayon de courbure minimal des trajectoires du drone est supposé plus grand que le rayon du cercle de protection autour de la cible si bien que le vecteur ne peut pas suivre le pattern autour du convoi. Dans le paragraphe 3.2, nous proposerons une synthèse des trajectoires temps-minimal, pour un drone de type HALE, permettant de rejoindre le cercle de rayon le rayon de courbure minimal du vecteur. Cette synthèse peut être utilisée pour la protection des convois.