Dérivation numérique
A.2 Algèbre linéaire
A.2.5 Suites de vecteurs et de matrices
˚
˚
˚
˚
˝
xeee1, fff1y xeee1, fff2y ¨ ¨ ¨ xeee1, fffny xeee2, fff1y xeee1, fff2y ... ...
... ... ... xeeen´1, fffny xeeen, fff1y ¨ ¨ ¨ xeeen, fffn´1y xeeen, fffny
˛
‹
‹
‹
‹
‚
(A.48)
La matricePest appelée matrice de passage de la base teeeiuiPv1,nw dans le base tfffiuiPv1,nw.
1
Denition A.61
On dit que la matrice carrée A est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P telle que la matriceP´1APsoit diagonale.
2
Claim A.62 On notera que, dans le cas où A P Mn est diagonalisable, les éléments diagonaux de la
3
matriceP-1APsont les valeurs propres λ1, λ2, . . . , λn de la matriceA, et que lej-ème vecteur colonnepppj
4
de la matricePest formé des composantes, dans la même base que A, d'un vecteur propre associé à la
5
valeur propreλj. On a
6
P-1AP“diagpλ1, . . . , λnq ðñApppj “λjpppj, @jP v1, nw. (A.49) C'est à dire qu'une matrice est diagonalisable si, et seulement si, il existe une base de vecteurs propres.
7
Théorème A.63
1. Etant donnée une matrice carrée A, il existe une matrice unitaire U telle que la matrice U-1AUsoit triangulaire.
2. Etant donnée une matrice normaleA, il existe une matrice unitaire Utelle que la matrice U-1AUsoit diagonale.
3. Etant donnée une matrice symétrique A, il existe une matrice orthogonaleO telle que la matriceO-1AOsoit diagonale.
8
A.2.5 Suites de vecteurs et de matrices
9
Denition A.64
SoitV un espace vectoriel muni d'une norme}‚}, on dit qu'une suitepvvvkqd'éléments deV converge vers un élémentvvvPV, si
lim
kÑ8}vvvk´vvv} “0 et on écrit
v vv“ lim
kÑ8vvvk.
10
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire Théorème A.65
SoitBune matrice carrée. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1. limkÑ8Bk“0,
2. limkÑ8Bkvvv“0pour tout vecteurvvv, 3. ρpBq ă1,
4. }B} ă1 pour au moins une norme matricielle subordonnée}‚}. 1
Théorème A.66
SoitBune matrice carrée, et}‚}une norme matricielle quelconque. Alors lim
kÑ8
››Bk›
›
1{k
“ρpBq.
2
A.3 Receuil d'exercices
3A.3.1 Algèbre linéaire
4Sur les matrices 5
Exercice A.3.1
SoitAPMm,npRqet BPMn,mpRqtelles que
xAuuu, vvvym“ xuuu,Bvvvyn, @uuuPRn, @vvvPRm.
Exprimer les éléments de la matriceBen fonction de ceux de la matriceA. 6
Exercice A.3.2 7
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire
{RE:AL:matrice:exo:11}
Soient AetBdeux matrices triangulaires supérieures deMn.SoientEet Fdeux matrices triangu-laires inférieures de Mn.
Q. 1 1. Que peut-on dire des matricesA˚ etpA˚q˚?
2. Montrer queC“ABest triangulaire supérieure et que Ci,i“Ai,iBi,i, @iP v1, nw.
3. Montrer queG“EF est triangulaire inférieure et queGi,i“Ei,iFi,i,@iP v1, nw.
4. Que peut-on dire des matricesAE etEA? Q. 2 1. CalculerdetpAq.
2. Déterminer les valeurs propres deA.
3. Que peut-on dire si les éléments diagonaux deA sont tous distincts?
Q. 3 Soit D la matrice dénie par
D
¨
˝
2 1 0 0 2 1 0 0 2
˛
‚.
1. La matriceD est-elle inversible? Si oui calculer son inverse.
2. Pour chacune des valeurs propres, déterminer l'espace propre associé.
3. La matriceD est-elle diagonalisable? Justier.
1
Exercice A.3.3
Q. 1 Soit T P Mn,npCq une matrice triangulaire supérieure. Montrer que si T est une matrice normale alors elle est diagonale.
Q. 2 Montrer que APMn,npCqest une matrice normale si et seulement si il existe UPMn,npCq unitaire et DPMn,npCqdiagonale telle queA“UDU˚.
Q. 3 En déduire qu'une matrice normale est diagonalisable et que ses vecteurs propres sont orthog-onaux.
2
Exercice A.3.4
SoitAPMnpCqune matrice hermitienne Q. 1 Montrer que
xAuuu, uuuy PR, @uuuPCn. (A.50) On suppose de plus que la matrice Aest dénie positve.
Q. 2 1. Montrer que les éléments diagonaux deA sont strictement positifs.
2. Montrer que les sous matrices principales deAsont elles aussi hermitiennes et dénies positves.
3
Exercice A.3.5: Procédé de Gram-Schmidt
4
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire {RE:AL:matrice:exo:19}
SoittvvviuiPv1,nw une base deKn.On construit successivement les vecteursuuui
uuui“vvvi´
i´1
ÿ
k“1
xuuuk, vvviy
xuuuk, uuukyuuuk, @iP v1, nw.
Montrer qu'ils forment une base orthogonale deKn et queVectpuuu1, . . . , uuuiq “Vectpvvv1, . . . , vvviq,
@iP v1, nw. 1
Correction Exercice A.3.5 Montrons par récurrence surique 2
3
pHqi : Vectpuuu1, . . . , uuuiqest une famille orthogonale etVectpuuu1, . . . , uuuiq “Vectpvvv1, . . . , vvviq 4
Initialisation : Pouri“1,on auuu1“vvv1 etpHq1est vériée. 5 Hérédité : Soitiăn.SupposonspHqi vériée. Montrons alors quepHqi`1 est vraie. 6
On a 7
uuui`1“vvvi`1´
i
ÿ
k“1
xuuuk, vvvi`1y
xuuuk, uuuky uuuk. (A.51) {RSL:RE:exo:19:cor:eq02}
‚ En eectuant le produit scalaire de (A.51) paruuuj avecjP v1, iwon obtient 8 xuuuj, uuui`1y “ xuuuj, vvvi`1y ´
i
ÿ
k“1
xuuuk, vvvi`1y
xuuuk, uuuky xuuuj, uuuky.
Par hypothèse de récurrence, la familleVectpuuu1, . . . , uuuiqest orthogonale, c'est à dire@pr, sq P 9
v1, iw2,xuuur, uuusy “0sir‰setuuur‰0. On obtient donc 10
xuuuj, uuui`1y “ xuuuj, vvvi`1y ´xuuuj, vvvi`1y
xuuuj, uuujy xuuuj, uuujy “0, @jP v1, iw.
‚ On montre maintenant par l'absurde queuuui`1‰0. 11
Supposonsuuui`1“0.Alors de (A.51), on obtient 12
vvvi`1“
i
ÿ
k“1
xuuuk, vvvi`1y xuuuk, uuuky uuuk
et doncvvvi`1PVectpuuu1, . . . , uuuiqpHq“iVectpvvv1, . . . , vvviq.Ceci entre en contradiction avecVectpvvv1, . . . , v13vvnq
base deKn. 14
‚ On déduit de (A.51) queuuui`1PVectpuuu1, . . . , uuui, vvvi`1q.Par hypothèse de récurrence,Vectpuuu1, . . . , uuu15iq “ Vectpvvv1, . . . , vvviq, ce qui donneuuui`1PVectpvvv1, . . . , vvvi`1qet donc 16
Vectpuuu1, . . . , uuui`1q “Vectpvvv1, . . . , vvvi`1q.
˛ 17 18
Exercice A.3.6: factorisation QR
{RE:AL:matrice:exo:18}
Soit A P MnpCq une matrice inversible. Pour tout i P v1, nw, on noteaaai “ A:,i ses n vecteurs colonnes. En utilisant le procédé de Gram-schmidt sur la base taaa1, . . . , aaanu montrer qu'il existe une matriceQunitaire et une matrice triangulaire supérieureRà coecients diagonaux strictement
positifs tel queA“QR. 19
Correction Exercice A.3.6 On utilise le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt (voir Propo- 20 sition A.12, page 114) pour obtenir la base orthogonaletuuu1, . . . , uuunuen calculant successivement 21
uuui“aaai´
i´1
ÿ
k“1
xuuuk, aaaiy
xuuuk, uuukyuuuk, @iP v1, nw. (A.52) {RSL:RE:exo:18:cor:eq00}
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire
Cette matrice est clairement unitaire puisque la basetqqq1, . . . , qqqnuest orthonormée.
5
Montrons queQ˚Aest triangulaire supérieure. On a
6
La matriceQ˚Aest donc triangulaire supérieure.
10
De plus, on a
11
pQ˚Aqi,i“ xqqqi, aaaiy “ xuuui, aaaiy }uuui}2 En prenant le produit scalaire de (A.52) avecuuui on obtient
xuuui, uuuiy “ xuuui, aaaiy ´
Q. 1 Calculer le déterminant de la matriceA.Que peut-on en conclure?
Q. 2 Calculer si possible l'inverse de la matrice Aen utilisant la technique de la matrice augmentée.
17
Exercice A.3.8
18
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire SoientAet B,deux matrices deMnpKq.
Q. 1 Montrer que
AB“IñBA“I (A.53)
Conclure. 1
Exercice A.3.9
Q. 1 SoitA une matrice inversible et symétrique, montrer que A´1 est symétrique.
Q. 2 SoitA une matrice carrée telle queI´A est inversible. Montrer que ApI´Aq´1“ pI´Aq´1A.
Q. 3 SoientA,Bdes matrices carrées inversibles de même dimension telle queA`Bsoit inversible.
Montrer que
ApA`Bq´1B“BpA`Bq´1A“`
A´1`B´1˘´1
2
Exercice A.3.10
{RE:AL:inverse:exo:07}
SoitLPMnpCqune matrice triangulaire inférieure.
Q. 1 A quelle(s) condition(s) la matriceL est-elle inversible?
On supposeL inversible et on noteX“L-1.
Q. 2 Montrer queXest une matrice triangulaire inférieure avec Xi,i“ 1
Li,i
, @iP v1, nw.
3
Correction Exercice A.3.10 4
Q. 1 La matriceLest inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Or le déterminant d'une 5 matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux. Pour avoir L, matrice triangulaire, 6
inversible, il est nécessaire et susant d'avoir 7
Lii ‰0, @iP v1, nw.
Q. 2 La matriceXétant la matrice inverse deL,on a 8
LX“I (A.54) {RE:AL:Inverse:exo07cor:eq01}
On noteXXXrjs“X:,j lej-ème vecteur colonne de la matriceXeteeerjslej-ème vecteur de la base canonique 9
deCn (erjsi “δi,j). 10
L'équation (A.54) peut donc se réécrire 11
L
¨
˝ XXXr1s ¨ ¨ ¨ XXXrns
˛
‚“
¨
˝ eeer1s ¨ ¨ ¨ eeerns
˛
‚
ou encore, déterminer la matriceXinverse deLreviens à résoudre les nsystèmes linéaires suivants: 12
LXXXrjs“eeerjs, @jP v1, nw. (A.55) {RE:AL:inverse:exo07cor:eq02}
‚ Pour montrer queXest triangulaire inférieure il sut de vérier que pour toutj P v2, nw 13
Xirjs“0, @iP v1, j´1w.
Soit j P v2, nw. On décompose la matrice L en la matrice bloc carré 2 par 2 ou le premier bloc 14 diagonal, notéLj´1,est une matrice triangulaire inférieure inversible de dimensionj´1.Le système 15
(A.55) s'écrit alors 16
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire
On en déduit donc que nécessairement
2
Xest triangulaire inférieure.
4
‚ Par dénition du produit matricielle, de l'équation (A.54) on tire pour toutjP v1, nw
5
SoitAPMn,npKqetU,B,Vtrois matrices rectangulaires.
Q. 1 Sous quelles hypothèses peut-on dénir la matrice G suivante G“A´1´A´1U`
Etant donnée une matriceDPMn,npCq,on pose
D“A`ıBavecA,BPMn,npRq Sous certaines hypothèses à préciser, établir la relation
D´1“`
A.Annexes A.4.AnnexesA.4.1Codessurlaméthodededichotomie/bisection Exercice A.3.13
On considère les matrices blocs suivantes
A“
Q. 1 Calculer les matricesABetBAen utilisant l'écriture bloc.
Q. 2 Exprimer les matricesApA`Bqetp2B´AqpB`Aqen fonction des matricesC etI.
Q. 1 Montrer que la matriceLest bien dénie et spécier les dimensions des blocs.
Q. 2 CalculerL2.Que peut-on en conclure?
2
Exercice A.3.15: résultats à savoir SoientAPMmpCq, BPMnpCqetDPMm,npCq.
Q. 1 Calculer, en fonction des déterminant de AetB,le déterminant des matrices E“
. En utilisant les factorisationsQRdes matricesA etB,montrer que
detpHq “detpAqdetpBq. (A.57)
Q. 3 En déduire qu'une matrice triangulaire supérieure par blocs est inversible si et seulement si ses matrices blocs diagonales sont inversibles.
Q. 4 En déduire qu'une matrice triangulaire inférieure par blocs est inversible si et seule-ment si ses matrices blocs diagonales sont inversibles.
3
A.Annexes A.4.AnnexesA.4.1Codessurlaméthodededichotomie/bisection
A.4 Listings
1