Suites, int´ egrales et produits infinis

1. Suites et int´egrales

1.1. Majoration de la d´eriv´ee. Tous les r´esultats th´eoriques de ce chapitre vont d´ecouler du lemme tr`es simple suivant. Pour tout compact K ĂC, on posera

K^ε“ tξPC; distpξ, Kq ďεu.

Lemme 1.1. Etant donn´´ e εą0, il existe une constante Cpεq v´erifiant la propri´et´e suivante : pour tout compact K ĂCet pour toute fonctionf holomorphe au voisinage de K^ε, on a

sup

zPK

|f¹pzq| ďCpεq sup

ξPK^ε

|fpξq|.

D´emonstration. Soitf une fonction holomorphe sur un ouvert Ω contenantK^ε. Pour tout z P K, le disque Dpz, εq est contenu dans K^ε, donc dans Ω. D’apr`es la formule de Cauchy “d´eriv´ee une fois”, on a donc

f¹pzq “ 1 2iπ

ż

BDpz,εq

fpξq pξ´zq²dξ . On en d´eduit

|f¹pzq| ď 1 2π

ż

BDpz,εq

|fpξq|

|ξ´z|² |dξ|

ď sup

!

|fpξq|; ξP BDpz, εq )

ˆ 1 2π

ż

BDpz,εq

|dξ|

ε² ď 1

ε sup

ξPK^ε

|fpξq|.

CommezPK est arbitraire, cela d´emontre le lemme avecCpεq “ ¹_ε. Remarque. Le point essentiel est que la constante Cpεq ne d´epend pas de la fonction f holomorphe au voisinage de K^ε.

1.2. Suites de fonctions holomorphes. On sait bien que si une suite pfnq de fonctions de classe C¹ sur un intervalle deRconverge uniform´ement, alors sa limitef n’a aucune raison d’ˆetre encore de classe C¹ : pour pouvoir conclure `a coup sur que f est de classe C<sup>1</sup>, on doit par exemple supposer que la suite des d´eriv´ees pf<sub>n</sub><sup>1</sup>q converge uniform´ement. La situation est tr`es diff´erente lorsqu’on consid`ere des fonctions holo-morphes : il n’est plus n´ecessaire de faire une hypoth`ese sur les d´eriv´ees, car la propri´et´e que l’on souhaite estautomatiquement satisfaite. C’est le contenu du th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme1.2. Soitpf_nqune suite de fonctions holomorphes sur un ouvertΩĂC. On suppose que la suite pfnq converge uniform´ement sur tout compact vers une fonction f : Ω Ñ C. Alors f est holomorphe et f_n¹ Ñ f¹ uniform´ement sur tout compact.

105

D´emonstration. Soit K un compact quelconque de Ω, et choisissons εą 0 tel que K^εĂΩ. D’apr`es le lemme 1.1, on a

sup

K

|f_q¹ ´f_p¹| ďCpεq sup

K^ε

|fq´fp|

pour tous p, qPN. Comme la suitepf_nqconverge uniform´ement sur le compactK^ε, on en d´eduit que la suite des d´eriv´ees pf_n¹q v´erifie le crit`ere de Cauchy uniforme sur tout compact K Ă Ω. Par cons´equent, la suite pf_n¹q converge uniform´ement sur tout compact vers une fonction g: ΩÑC, n´ecessairement continue car lesf_n¹ le sont.

Comme dfn “ f_n¹ dz, cela signifie que la suite des diff´erentielles pdfnq converge uniform´ement sur tout compact vers g dz. D’apr`es le th´eor`eme “standard” sur les suites de fonctions de classe C¹, on en d´eduit que la fonction f est de classeC¹ sur Ω, avec df “g dz. Autrement dit,f est holomorphe etf¹ “g.

Remarque. Pour montrer que la fonction f est holomorphe, on peut ´egalement utiliser le th´eor`eme de Morera (th´eor`eme 2.1 du chapitre 4). Tout d’abord, la convergence uniforme sur tout compact entraine la continuit´e de f, car les f_n sont continues. Ensuite, si R est un rectangle contenu dans Ω, alorsş

BRfnpzqdz tend vers ş

BRfpzqdz quand n Ñ 8, par convergence uniforme de pfnq sur le compact BR; et donc ş

BRfpzqdz “ 0 puisque ş

BRf_npzqdz “ 0 pour tout n (d’apr`es le th´eor`eme de Cauchy). En revanche, la convergence des d´eriv´ees ne se d´eduit pas du th´eor`eme de Morera.

Corollaire1.3. SoitpukqkPNune suite de fonctions holomorphes surΩ. Si la s´erie řu_k converge normalement sur tout compact de Ω, alors la fonctionf “ř₈

0 u_k est holomorphe sur Ω.

D´emonstration. On applique le th´eor`eme aux sommes partielles fn“ř_n

k“0uk. Exemple 1.4. La s´erie ř

ně1 1

n^s converge normalement sur tout compact de Ω“ tsPC; Repsq ą1u. Par cons´equent, la formule

ζpsq “

8

ÿ

n“1

1 n^s

d´efinit une fonction holomorphe sur Ω. Cette fonction s’appelle lafonction Zeta de Riemann.

D´emonstration. Si K est un compact de Ω “ tRepsq ą 1u, on peut trouver α ą 1 tel que Repsq ě α pour tout s PK. On a alors ˇ

ˇ_n¹_s ˇ

ˇ “ _nRepsq¹ ď _n¹α pour tout sPK, ce qui prouve la convergence normale de la s´erie.

1.3. Int´egrales `a param`etres.

Th´eor`eme 1.5. Soit F :I ˆΩÑ C, o`u I est un intervalle de R et Ω un ouvert de C. On fait les hypoth`eses suivantes .

(i) Fpt, zq est mesurable en tPI, et holomorphe en zPΩ.

(ii) Pour tout compact K Ă Ω, on peut majorer |Fpt, zq| pour z P K par une fonction gKptq ind´ependante de z et int´egrable sur I.

Alors la formule

fpzq “ ż

I

Fpt, zqdt

a un sens pour tout z PΩ et d´efinit une fonction holomorphe sur Ω. De plus, on peut d´eriver sous l’int´egrale : pour toutzPΩ et pour toutnPN, la fonction tÞÑ ^B_Bz^nFnpt, zq est int´egrable surI et

f^pnqpzq “ ż

I

BⁿF

Bzⁿpt, zqdt .

Remarque. L’hypoth`ese de domination (ii) est satisfaite si l’intervalleI estborn´e et si on peut majorer |Fpt, zq| par une constantepour zP K. En particulier : si I est un intervalle compact et si F :IˆΩÑC estcontinue par rapport au couple de variables pt, zq et holomorphe par rapport `a zPΩ, alors le th´eor`eme s’applique.

Preuve du th´eor`eme. Comme |Fpt, zq| ď g_tzuptq, la fonction t ÞÑ Fpt, zq est

Ceci ´etant vrai pour tout compactKĂΩ, cela montre que la fonctionF v´erifie les hypoth`eses du th´eor`eme “usuel” concernant la d´erivabilit´e des int´egrales `a param`etres.

Par cons´equent, la fonctionfest de classeC¹sur Ω et ses d´eriv´ees partielles s’obtiennent en d´erivant sous l’int´egrale.

En particulier, on a

Enfin, ce qui pr´ec`ede montre que la fonction <sup>BF</sup><sub>Bz</sub> v´erifie les mˆemes hypoth`eses (i) et (ii) que F, et par r´ecurrence on voit qu’il en est de mˆeme pour toutes les ^B_Bz^nFn. On peut donc calculer les d´eriv´ees successives def en d´erivant sous l’int´egrale.

Corollaire1.6. Soitγ :ra, bs ÑCun chemin de classeC¹ par morceaux d’image Γ, et soit Ω un ouvert de C. Si F : ΓˆΩ Ñ C est une fonction continue telle que, pour tout ξ P Γ, la fonction z ÞÑ Fpξ, zq est holomorphe sur Ω, alors la formule fpzq “ş

γFpξ, zqdξ d´efinit une fonction holomorphe surΩ.

D´emonstration. Par d´efinition, on a fpzq “ ş_b

aFpγptq, zqγ¹ptqdt. Si K est un compact de Ω, la fonction continue pt, zq ÞÑ Fpγptq, zq est born´ee sur le compact r0,2πs ˆK, disons|Fpt, zq| ďMK; et on a alors|Fpγptq, zqγ¹ptq| ďMK|γ¹ptq| “gKptq pour zPK. La fonction g_K est int´egrable sur ra, bscar continue par morceaux, et par

cons´equent le th´eor`eme s’applique.

Remarque 1. Le th´eor`eme 1.5 reste valable, avec la mˆeme d´emonstration, en rem-pla¸cant l’intervalle I muni de la mesure de Lebesgue par un espace mesur´e pI,A, µq.

Remarque 2. Comme pour le th´eor`eme 1.2, l’holomorphie de la fonction f peut se d´eduire du th´eor`eme de Morera. Les d´etails constituent un bon exercice : il faut d’abord v´erifier la continuit´e de f, puis utiliser le th´eor`eme de Fubini pour montrer que ş

BRfpzqdz“0 pour tout rectangle RĂΩ.

Exemple 1.7. Soit Ω“ tzPC; Repzq ą0u. La formule Γpzq “

ż₈

0

t^z´1e^´tdt

d´efinit une fonction holomorphe sur Ω. Cette fonction s’appelle lafonction Gamma d’Euler.

D´emonstration. La fonction F :s0,8rˆΩÑCd´efinie par Fpt, zq “t^z´1e^´t est mesurable en tP s0,8ret holomorphe enzPΩ. De plus, on a

|Fpt, zq| “t^Repzq´1e^´t pour tout pt, zq P s0,8rˆΩ.

SiK est un compact de Ω, on peut trouveraą0 et bă 8tels queaďRepzq ďb pour tout zPK. On a alorst^Repzq´1ďt^a´1 sitP s0,1rett^Repzq´1 ďt^b´1 sitě1, pour tout zPK. On obtient ainsi|Fpt, zq| ďg_Kptq, o`u

gKptq “

"

t^a´1e^´t si 0ătď1 t^b´1e^´t si tě1

La fonction g_K est int´egrable sur s0,1s car elle est continue avec g_kptq „ t^a´1 au voisinage de 0 et a´1ą ´1 ; et elle est int´egrable surr1,8rcar gKptq “Op1{t²q en

`8. Doncg_K est int´egrable sur s0,8r.

D’apr`es le th´eor`eme 1.5, on peut donc conclure que Γ est (bien d´efinie et)

holo-morphe sur Ω.

Exercice. Montrer qu’on a Γpz`1q “ zΓpzq pour tout z P Ω, et en d´eduire la valeur de Γpn`1qpour nPN.

1.4. Une autre approche. Dans cette sous-section, on donne des d´emonstrations un peu diff´erentes des th´eor`emes 1.2 et 1.5. Tout repose sur la formule de Cauchy et sur le lemme suivant, qui a ´et´e d´emontr´e au chapitre 3 (lemme 1.2 de ce chapitre).

Lemme 1.8. Soit γ un chemin de classe C¹ par morceaux dans C, d’image Γ, et soit ϕ: ΓÑC une fonction continue. Alors la fonctionu:CzΓÑCd´efinie par

upzq “ ż

γ

ϕpξq ξ´zdξ est holomorphe sur CzΓ.

Deuxi`eme preuve du th´eor`eme 1.2. Pour montrer que f “ limf_n est holo-morphe sur Ω, il suffit de v´erifier qu’elle l’est sur tout disque ouvertDtel queDĂΩ ; fixons un tel disque D“Dpz0, rq. On utilisera le fait suivant (cons´equence imm´ediate de l’in´egalit´e triangulaire) : si zPDet si on pose εpzq “r´ |z´z₀|, alors

@ξ P B∆ : |ξ´z| ěε . (Le point important est que εpzq ne d´epend pas de ξ P BD).

SizPD, alors

(1.1) fnpzq “ 1

2iπ ż

BD

fnpξq ξ´zdξ

pour tout n P N, d’apr`es la formule de Cauchy. De plus, ^f_ξ´z^npξq tend vers ^f_ξ´z^pξq uni-form´ement surBD. En effet, comme |z´ξ| ěεpzq pour toutξ P BD, on a

ˇ ˇ ˇ ˇ

fnpξq

ξ´z ´ fpξq ξ´z

ˇ ˇ ˇ

ˇď |fnpξq ´fpξq|

εpzq ;

d’o`u le r´esultat puisque fnpξq Ñ fpξq uniform´ement sur le compact BD. Comme on int´egre sur un compact, on peut donc passer `a la limite dans (1.1) et on obtient

fpzq “ 1 2iπ

ż

BD

f_npξq ξ´z dξ

pour tout zPD. D’apr`es le lemme 1.8, cela prouve quef est holomorphe surD.

Pour ´etablir la convergence uniforme def_n¹ vers f¹ sur tout compact de Ω, il suffit de v´erifier que f_n¹ Ñ f¹ uniform´ement sur tout disque ferm´e D Ă Ω. En effet, si K est un compact quelconque de Ω, on peut trouver des disques ouverts D₁, . . . , D_N tels que Di Ă Ω pour tout i et K Ă D1 Y ¨ ¨ ¨ YDN. Si on sait montrer que f_n¹ Ñ f¹ uniform´ement sur chaque Di, on aura prouv´e quef_n¹ Ñf¹ uniform´ement surK.

Fixons un disque ferm´e D “ Dpz0, rq Ă Ω. Choisissons ´egalement ε ą 0 tel que Dpz0, r¹`εq Ă Ω, et posons ∆ “ Dpz0, r`εq. D’apr`es l’in´egalit´e triangulaire, on a alors

(1.2) @zPD@ξ P B∆ : |ξ´z| ěε .

Si zPD, alors

f¹pzq “ 1 2iπ

ż

B∆

fpξq pξ´zq²dξ ,

d’apr`es la formule de Cauchy “d´eriv´ee une fois”. De mˆeme, on a f_n¹pzq “ 1

2iπ ż

B∆

f_npξq pξ´zq² dξ . pour tout nPN. On en d´eduit

|f_n¹pzq ´f¹pzq| ď 1 2π

ż

BD

|f_npξq ´fpξq|

|ξ´z|² |dξ|

ď 1

2π ż

BD

|fnpξq ´fpξq|

ε² |dξ|

o`u on a utilis´e (1.2). Commefnpξq Ñfpξquniform´ement sur le compact B∆ et comme la majoration ne d´epend pas de z PD, cela montre que f_n¹pzq Ñf¹pzq uniform´ement

sur D.

Deuxi`eme preuve du th´eor`eme 1.5. Si on utilise l’hypoth`ese de domination (ii) avecK“ tzu, on obtient|Fpt, zq| ďg_tzuptq. Par cons´equent, la fonctiontÞÑFpt, zq est int´egrable surI, et doncfpzq est bien d´efini pour tout zPΩ.

La continuit´e de f sur Ω d´ecoule du th´eor`eme de continuit´e pour les int´egrales `a param`etres, ou directement du th´eor`eme de convergence domin´ee (ce qui revient au mˆeme) : si pznq est une suite de points de Ω convergeant vers un point z P Ω, alors

F_nptq :“ Fpt, z_nq tend vers Fpt, zq pour tout t P I par continuit´e de Fpt,¨q, et en notant K le compact tzu Y tzn; n P Nu, on a |Fnptq| ď gKptq pour tout n; donc fpz_nq “ş

IFpnptqdt tend versş

IFpt, zqdt“fpzq par convergence domin´ee.

Pour montrer quef est holomorphe sur Ω, il suffit (comme d’habitude) de v´erifier qu’elle l’est sur tout disque ouvertDtel queDĂΩ. Fixons un tel disqueD“Dpz₀, rq.

pour tout tPI et pour toutzPD, d’apr`es la formule de Cauchy. Par cons´equent, fpzq “

Pour justifier l’utilisation du th´eor`eme de Fubini, il suffit de v´erifier qu’on a ż

Pour montrer qu’on peut calculer les d´eriv´ees de f en d´erivant sous l’int´egrale, fixons un pointz0 PΩ. Choisissonsrą0 tel queDpz0, rq ĂΩ, et posonsD“Dpz0, rq.

D’apr`es la formule de Cauchy d´eriv´ee, on a f^pnqpz0q “ n!

car en posantK “ BD, on a

Enfin, la justification du recours au th´eor`eme de Fubini est laiss´ee en exercice.

2. Produits infinis

D´efinition 2.1. Soit panqně0q une suite de nombres complexes. On dit que le produit infini ś

a_n est convergentsi la suite des “produits partiels”P_N “ś_N

n“0a_n admet une limite dans Cquand N Ñ 8. Cette limite se note alors ś₈

n“0a_n.

Dans tout ce qui suit, on notera log la d´etermination principale du logarithme dans C^˚. Rappelons qu’on a par d´efinition

logpzq “log|z| `iargpzq

pour tout z PC^˚, o`u l’argument est pris dans s ´π, πs. Rappelons ´egalement que log n’est pas continue sur C^˚, mais qu’elle est holomorphe sur CzR^´, avec log¹pzq “ ¹_z¨

Proposition 2.2. Soitpf_nqně0 une suite de fonctions `a valeurs complexes d´efinies sur un ensembleΩ. On suppose que la s´erieř

p1´fnqestnormalement convergente sur Ω.

(i) Le produit infini ś

f_npzq est uniform´ement convergent sur Ω.

(ii) Si lesfnne s’annulent pas, alors la s´erieř

logpfnqest uniform´ement convergente, et on a ś₈

0 f_npzq “ e^Spzq, o`u S “ ř₈

0 logpf_nq. En particulier, la fonction f “ ś₈

0 fn ne s’annule pas sur Ω.

Pour la d´emonstration, on a besoin du lemme suivant.

Lemme 2.3. Si hPC v´erifie |h| ď1{2, alors |logp1`hq| ď2|h|.

D´emonstration. L’´enonc´e du lemme a un sens car on a certainement 1`h‰0.

La fonction log est holomorphe au voisinage du segment r1,1`hs car r1,1`hs Ă Dp1,1{2q ĂCzR^´. D’apr`es le th´eor`eme fondamental de l’analyse, on a donc

Preuve de la proposition 2.2. (i) Par hypoth`ese, 1´f<sub>n</sub>pzq tend vers 0 converge normalement (donc uniform´ement) sur Ω. Notons S<sub>0</sub>pzq la somme de cette s´erie. plus, la convergence est uniforme par rapport `a zPΩ car la s´erie ř

nąN0logpfnq est uniform´ement convergente, la fonction exponentielle est uniform´ement continue sur les parties born´ees de C, et la fonction P_N0 est born´ee. ( ´Ecrire les d´etails constitue un exercicetr`es profitable). Ainsi, le produit infiniś

fnpzqest uniform´ement convergent.

(ii) On garde les notations de la preuve de (i). Comme lesfn ne s’annulent pas, les fonctions logpfnq sont bien d´efinies pour toutně0, et la s´erie ř

ně0logpfnq converge uniform´ement sur Ω car la s´erie ř

nąN0logpfnq converge uniform´ement. D’apr`es la preuve de (i), on a Corollaire 2.4. SipanqnPN est une suite de nombres complexes telle que la s´erie řp1´a_nq est absolument convergente, alors le produit infiniś

a_n est convergent ; et si de plus an‰0 pour tout n, alors ś₈

0 an‰0.

D´emonstration. On applique la proposition avec un ensemble Ω r´eduit `a un

point aetfnpaq “an.

Exercice 1. Soitpa_nqnPNune suite de nombres complexes.Montrer que si le produit infini ś

an est convergent et siś₈

0 an‰0, alorsanÑ1 quandnÑ 8.

Exercice 2. En utilisant un d´eveloppement limit´e, montrer que sipa_nqest une suite de nombres complexes telle que ř₈

0 |an|² ă 8, alors le produit infini ś

cosan est convergent.

On peut maintenant ´enoncer le r´esultat de base concernant les produits infinis de fonctions holomorphes.

Th´eor`eme 2.5. Soit Ω un ouvert de C, et soit pf_nqně0 une suite de fonctions holomorphes sur Ω. On suppose que la s´erie ř

p1´fnq converge normalement sur tout compact de Ω.

(1) Le produit infini ś

fnpzq converge uniform´ement sur tout compact de Ω, et la fonction f “ś₈

0 f_n est holomorphe surΩ.

(2) On a Zpfq “ Ť

ně0Zpf_nq, et la multiplicit´e d’un z´ero aPZpfq est la somme des multiplicit´es de a comme z´ero des fn.

(3) Si les f_n ne s’annulent pas, alors f ne s’annule pas et la d´eriv´ee logarithmique de f est donn´ee par la formule

f¹pzq fpzq “

8

ÿ

n“0

f_n¹zq fnpzq,

o`u la s´erie converge uniform´ement sur tout compact de Ω.

D´emonstration. L’hypoth`ese entraine que la s´erie ř

p1´f_npzqqest absolument convergente pour tout z PΩ (car tzu est un compact de Ω !), donc la fonction f est bien d´efinie sur Ω d’apr`es le corollaire 2.4.

Supposons d’abord que la s´erie ř

p1´f_nqsoit normalement convergentesurΩtout entier.

(1) Par la proposition 2.2, le produit infini ś

f_npzq converge uniform´ement sur Ω. D’apr`es le th´eor`eme 1.2, la fonction f est holomorphe car les produits partiels P_N “śN

0 fn le sont.

(2) Par hypoth`ese, 1´f<sub>n</sub>pzq tend vers 0 (i.e. f<sub>n</sub>pzq Ñ1) uniform´ement sur Ω. On peut donc trouver un entier N tel que fn ne s’annule pas pour n ą N. D’apr`es la proposition 2.2, on peut alors ´ecrire

fpzq “f0pzq ¨ ¨ ¨fNpzqe^Spzq, o`uSpzq “ř₈

N`1logpfnpzqq. Commee^S ne s’annule pas, on a donc Zpfq “ Zpf₀¨ ¨ ¨f_Nq

“

N

ď

n“0

Zpf_nq

“ ď8

n“0

Zpfnq,

car Zpf_nq “ Hsi nąN. Enfin, l’assertion concernant les multiplicit´es est claire.

(3) Soit N₀ tel que |1´f_npzq| ď1{2 pour tout nąN₀ et pour tout zPΩ. Alors fn est `a valeurs dansDp1,1{2q ĂCzR<sup>´</sup>pournąN0, donc logpfnqest holomorphe sur Ω. D’apr`es la proposition 2.2, on a

fpzq “P0pzqe^S0pzq, o`uP₀ “f₀¨ ¨ ¨f_N0 etS₀ “ř₈

N0`1logpf<sub>n</sub>q, la s´erie ´etant uniform´ement convergente sur Ω. D’apr`es le th´eor`eme 1.2, la fonction S₀ est holomorphe sur Ω avec

S₀¹pzq “

8

ÿ

n“N0`1

plogf_nq¹pzq “

8

ÿ

n“N0`1

f_n¹pzq fnpzq,

o`u la s´erie converge uniform´ement sur tout compact de Ω. Comme de fa¸con g´en´erale, la d´eriv´ee logarithmique d’un produit est la somme des d´eriv´ees logarithmiques des termes du produit (autrement dit : <sup>puvq</sup><sub>uv</sub><sup>1</sup> “ <sup>u</sup><sub>u</sub><sup>1</sup> `^v_v¹), on en d´eduit

f¹

f “ P₀¹

P0 `pe^S0q¹ e^S0

“

N0

ÿ

n“0

f_n¹ f_n `S₀¹

“

8

ÿ

n“0

f_n¹ f_n, o`u la s´erie converge uniform´ement sur tout compact.

Traitons maintenant le cas g´en´eral, o`u on suppose seulement que la s´erieř

p1´fnq converge normalement sur tout compact de Ω.

Pour kPN^˚, posons

Ω_k“ tzPC; |z| ăket distpz,CzΩq ą1{ku.

On v´erifie facilement les deux propri´et´es suivantes (d´etails laiss´es en exercice) : (i) les Ω_k sont ouverts, et les Ω_k sont des compacts contenus dans Ω ; (ii) tout compact KĂΩ est contenu dans un Ω_k.

Par (i), on peut appliquer le 1er cas `a chaque Ωk; et par (ii), on en d´eduit le th´eor`eme

pour Ω.

D´efinition 2.6. Sous l’hypoth`ese du th´eor`eme (convergence normale de la s´erie řp1´f_nq sur tout compact), on dira quele produit infini ś

f_n converge norma-lement sur tout compact de Ω.

3. Zeta, Gamma et le sinus

3.1. D´eveloppement de 1{ζ en produit infini. Rappelons que la fonction ζ est d´efinie sur Ω“ tsPC; Repsq ą1u par la formule

ζpsq “

8

ÿ

k“1

1 k^s¨

Dans ce qui suit, on noterapp_nqně0 la suite des nombres premiers rang´es par ordre croissant :p0“2,p1 “3,p2 “5, ...

Lemme 3.1. Le produit infiniś

ně0

´ 1´_p¹s

n

¯

converge normalement sur tout com-pact de Ω“ tRepsq ą1u.

D´emonstration. En posant f_npsq “1´ _p¹s n,on a

|1´fnpsq| “ ˇ ˇ ˇ ˇ

1 p^s_n

ˇ ˇ ˇ ˇ“ 1

p^Repsqn

,

et comme p_n ě n pour tout n on en d´eduit sans difficult´e que la s´erie ř

p1 ´f_nq

converge normalement sur tout compact de Ω.

Th´eor`eme 3.2. Si sPC v´erifie Repsq ą1, alors ζpsq ‰0 et

D´emonstration. Fixonssv´erifiant Repsq ą1. Avant de commencer, faisons une remarque utile pour la suite : comme la s´erie ř

mě1 1

m^s est absolument convergente, toutes ses sous-s´eries sont convergentes, donc la somme

ÿ

a-dire exactement l’ensemble des entiers mě1 qui ne sont divisibles ni parp₀“2, ni par p₁ “3. (On utilise ici le fait que l’ensemblet3k; kPA₀u est contenu dansA₀, ce qui est vrai car p0 etp1 “3 sont premiers entre eux).

Par r´ecurrence, on obtient

ζpsqPNpsq “ ÿ

Par d´efinition de A_N, on amąp_N pour toutmPA_N diff´erent de 1 (le plus petit diviseur premier de ndoit ˆetre strictement plus grand quepN), et donc

|ζpsqPNpsq ´1| “ ce qui termine la d´emonstration.

Corollaire 3.3. La s´erie ÿ 1

p_n est divergente.

D´emonstration. Si cette s´erie ´etait convergente, alors la s´erie ř ₁

p^s_n serait nor-malement convergente sur r1,8r, puisque

ˇ proposition 2.2, le produit infiniś´

1´_p¹s n

¯

serait donc uniform´ement convergent sur r1,8r, avec ś₈

serait alors continue sur r1,8r, avec fp1q ‰ 0. Comme fpsq “ 1{ζpsq pour s ą 1, on en d´eduirait que ζpsq admet une limite finie quand sÑ1<sup>`</sup>. Mais d’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone (pour les s´eries), on a 3.2. D´eveloppement de 1{Γ en produit infini. Rappelons que la fonction Γ est d´efinie sur Ω“ tzPC; Repzq ą0u par la formule

Γpzq “ ż₈

0

t^z´1e^´tdt .

Dans cette sous-section, on va d´evelopper la fonction 1{Γ en produit infini. Pour ce faire, on aura besoin de trois lemmes “d’int´erˆet ind´ependant”.

Lemme 3.4. Pour tout zPC v´erifiant Repzq ą0, on a Γpzq “ lim

nÑ8

n!n^z

zpz`1q ¨ ¨ ¨ pz`nq¨ D´emonstration. Commen¸cons par v´erifier que

(˚) Γpzq “ lim

On sait que pour tout tą0, on a

pour toutně1. Comme la fonctionf est int´egrable surs0,8r, on peut donc appliquer le th´eor`eme de convergence domin´ee pour obtenir (˚).

Maintenant, posons En effectuant le changement de variable u“ _n^t, on trouve

Inpzq “ n^z

k ´logn est convergente, et sa limite γ est strictement positive. Le nombre γ s’appelle la constante d’Euler.

D´emonstration. Pour tě1, posons fptq “1{t. On a ainsi γn“

car la fonctionf est d´ecroissante et doncfptq ěfpn`1qpour touttP rn, n`1s. Ainsi, la suite pγnq est d´ecroissante.

D’autre part, on a γ_n“

n´1

ÿ

k“1

ˆ fpkq ´

ż_k`1

k

fptqdt

˙

`fpnq;

et comme f est d´ecroissante et fpnq ě0, on en d´eduit γně0. Ainsi, la suite pγnq est d´ecroissante et minor´ee par 0, donc admet une limite γ ě0.

Comme chaque terme de la somme pr´ec´edente est positif, on a en fait γ_něfp1q ´

ż₂

1

fptq “1´log 2 pour tout ně1, et donc γ ě1´log 2ą0.

Lemme 3.6. Le produit infini ś

kě1

`1` ^z_k˘

e^´zk converge normalement sur tout compact de C.

D´emonstration. Posonsf_kpzq “` 1`^z_k˘

e^´kz. Pour pouvoir appliquer le th´eor`eme 2.5, il faut majorer convenablement |1´f_kpzq|.

On a f_kpzq “ ϕp^z_kq, o`u ϕpuq “ p1`uqe^´u. La fonction ϕ est holomorphe sur C, avec ϕ¹puq “ ´ue^´u. On a donc ϕp0q “1 et ϕ¹p0q “0. Par cons´equent, on peut ´ecrire

On a f_kpzq “ ϕp^z_kq, o`u ϕpuq “ p1`uqe^´u. La fonction ϕ est holomorphe sur C, avec ϕ¹puq “ ´ue^´u. On a donc ϕp0q “1 et ϕ¹p0q “0. Par cons´equent, on peut ´ecrire

Dans le document Variable Complexe Licence de Math´ematiques (Page 105-122)