1.3 Solutions du Probl`eme de Steinhaus
1.3.4 Suites binaires balanc´ees de poids moyen
= 1 2 8k + 5 2 , pour i ∈ {0, 1}. Ce qui ach`eve la preuve.
1.3.4 Suites binaires balanc´ees de poids moyen
D´efinition 1.3.16. Soit S une suite de longueur finie dans Z/2Z. La suite S est dite de
poids moyen si elle contient autant d’´el´ements 1 que d’´el´ements 0.
Par exemple, toute suite binaire de longueur finie et antisym´etrique est une suite de poids moyen. Il est clair que si S est une suite binaire balanc´ee de longueur n ≡ 0 (mod 4) et de poids moyen, alors sa suite d´eriv´ee ∂S est ´egalement balanc´ee et de longueur n ≡ 3 (mod 4). Ainsi, montrer qu’il existe au moins une suite binaire balanc´ee de poids moyen pour toute longueur n ≡ 0 (mod 4) permet de r´epondre positivement au Probl`eme de Steinhaus. Ce r´esultat apparaˆıt dans [13] o`u les auteurs construisent explicitement une telle suite.
Th´eor`eme 1.3.17. Soient S0 et S4 les deux suites binaires infinies et pseudo-p´eriodiques de p´eriode 24 suivantes :
S0 = (01101010) · (111010001101010000111100)∞, S4 = (11000011) · (101001111000110101001001)∞.
Alors les suites de poids moyen S0[8k] et S4[8k + 4], de longueurs respectives 8k et 8k + 4,
sont balanc´ees pour tout entier k > 0.
Chapitre 2
Graphes de Steinhaus pairs et impairs
Dans ce chapitre, on pr´esente les graphes de Steinhaus qui sont des graphes simples dont la matrice d’adjacence est une matrice de Steinhaus, c’est-`a-dire une matrice carr´ee, compos´ee de 0 et de 1, sym´etrique, `a diagonale nulle et dont le triangle sup´erieur est un triangle de Steinhaus, comme d´efini au Chapitre 1. Apr`es avoir rappel´e, `a la Section 2.1, certaines propri´et´es sur ces graphes, on s’int´eresse au cas particulier des graphes pairs et impairs, `a savoir les graphes dont tous les sommets sont de degr´es de mˆeme parit´e. On commence par donner une nouvelle preuve, `a la Section 2.2, d’un th´eor`eme de Dymacek qui ´etablit que tout graphe de Steinhaus pair poss`ede une matrice d’adjacence bisym´etrique. Ce r´esultat est ensuite utilis´e afin d’´etudier les graphes de Steinhaus pairs `a la Section 2.3 et les impairs `a la Section 2.4.
2.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es
D´efinition 2.1.1. Soit s = (a1, . . . , an−1) une suite de longueur n − 1 > 1 dans Z/2Z. La matrice de Steinhaus associ´ee `a la suite s est la matrice carr´ee de taille n, sym´etrique, `a diagonale nulle et dont le triangle sup´erieur est constitu´e des ´el´ements du triangle de Steinhaus ∆s, i.e. la matrice carr´ee M(s) = (ai,j)16i,j6n d´efinie par :
– ai,i = 0 pour 1 6 i 6 n, – a1,j = aj−1 pour 2 6 j 6 n,
– ai,j = ai−1,j−1+ ai−1,j pour 2 6 i < j 6 n, – ai,j = aj,i pour 1 6 i, j 6 n.
Par convention M(∅) = (0) est la matrice de Steinhaus de taille n = 1 associ´ee `a la suite vide.
Par exemple, la matrice M(s) de M5(Z/2Z) suivante est la matrice de Steinhaus associ´ee
`a la suite binaire s = (1100) de longueur 4. M(s) = 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0
Notation. Pour tout entier n > 1, l’ensemble des matrices de Steinhaus de taille n sera not´e SMn(Z/2Z). Il est ´evident que l’ensemble SMn(Z/2Z) comporte 2n−1 ´el´ements distincts.
On a vu, au Chapitre 1, que dans un triangle de Steinhaus binaire, chaque ´el´ement du triangle peut ˆetre exprim´e en fonction des ´el´ements de la premi`ere ligne, du cˆot´e gauche ou du cˆot´e droit du triangle. De la mˆeme mani`ere, dans une matrice de Steinhaus, chaque ´el´ement du triangle sup´erieur peut ˆetre exprim´e en fonction de la premi`ere ligne, de la derni`ere colonne ou de la surdiagonale de la matrice.
Proposition 2.1.2. Soit M = (ai,j) une matrice de Steinhaus de taille n > 2. Alors, pour
tout i et tout j, 1 6 i < j 6 n, on a ai,j = i−1 X k=0 i − 1 k a1,j−k = n−j X k=0 n − j k ai+k,n= j−i−1 X k=0 j − i − 1 k ai+k,i+k+1.
Preuve. Ce n’est qu’une r´e´ecriture de la Proposition 1.1.7.
Le vocabulaire de la th´eorie des graphes utilis´e dans ce chapitre et le suivant est issu du livre de Diestel [7].
D´efinition 2.1.3. Soit s une suite de longueur n − 1 > 0 dans Z/2Z. Le graphe de Steinhaus associ´e `a la suite s est le graphe simple G(s) `a n sommets dont la matrice d’adjacence A (G(s)) est la matrice de Steinhaus M(s), i.e.
A (G(s)) = M(s).
Chaque sommet d’un graphe de Steinhaus G(s) est num´erot´e selon l’ordre des lignes dans la matrice M(s) et le i`eme sommet de G(s) est not´e Vi pour tout i, 1 6 i 6 n.
Par exemple, le graphe simple `a 5 sommets de la Figure 2.1 est le graphe de Steinhaus G(s) associ´e `a la suite s = (1100). Pour tout entier n > 1, le graphe sans arˆete `a n sommets est le graphe de Steinhaus associ´e `a la suite nulle de longueur n − 1.
Les graphes de Steinhaus ont ´et´e introduits en 1978 par Molluzzo [19]. Sa d´efinition des graphes de Steinhaus correspond avec le compl´ementaire des graphes que l’on consid`ere dans ce chapitre. La d´efinition utilis´ee ici a ´et´e donn´ee pour la premi`ere fois par Dymacek [8].
Une des premi`eres propri´et´es que l’on peut observer est que, pour tout graphe de Stein-haus G, si l’on efface les premier ou dernier sommets et leurs arˆetes incidentes, on obtient un nouveau graphe de Steinhaus.
1 2 3
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Fig. 2.1 – Exemple de graphe de Steinhaus
Notation. Soit G un graphe de Steinhaus `a n > 1 sommets. Alors, pour tout entier i, 1 6 i 6 n, on note G \ {Vi} le graphe, `a n − 1 sommets, obtenu de G en supprimant le i`eme sommet Vi et ses arˆetes incidentes dans G.
Proposition 2.1.4. Soit s = (a1, . . . , an−1) une suite de longueur n − 1 > 1 dans Z/2Z.
Alors les graphes G(s) \ {V1}, G(s) \ {Vn} et G(s) \ {V1, Vn} = (G(s) \ {V1}) \ {Vn} = (G(s) \ {Vn}) \ {V1} sont les graphes de Steinhaus suivants :
G(s) \ {V1} = G (∂s) ,
G(s) \ {Vn} = G ((a1, . . . , an−2)) ,
G(s) \ {V1, Vn} = G ((a1+ a2, . . . , an−3+ an−2)) .
Preuve. La matrice d’adjacence du graphe G(s) \ {V1} est la matrice de Steinhaus M(s) dont on a tronqu´e la premi`ere ligne et la premi`ere colonne. Elle est donc ´egale `a
M (a1+ a2, . . . , an−2+ an−1) = M (∂s)
et le r´esultat s’ensuit. La matrice d’adjacence du graphe G(s) \ {Vn} est la matrice de Steinhaus M(s) dont on a tronqu´e la derni`ere ligne et la derni`ere colonne. Elle correspond donc `a
M (a1, . . . , an−2) .
En combinant ces deux r´esultats, on obtient que la matrice d’adjacence du graphe G(s) \ {V1, Vn} est la matrice de Steinhaus
M ((a1+ a2, . . . , an−3+ an−2)) . Ce qui conclut la preuve.
On peut ´egalement montrer que les graphes de Steinhaus sont presque tous connexes. Ce r´esultat et sa preuve sont issus de [8].
Th´eor`eme 2.1.5. Soit s une suite de longueur n − 1 > 1 dans Z/2Z. Alors, le graphe de
Steinhaus G(s) est connexe si, et seulement si, s 6= (0 . . . 0).
Preuve. Par r´ecurrence sur n. Pour n = 2, il n’existe que deux matrices de Steinhaus qui sont 0 0 0 0 et 0 1 1 0 .
Les graphes de Steinhaus `a 2 sommets sont donc soit le graphe sans arˆete `a 2 sommets qui est totalement disconnexe, soit le graphe complet K2 `a 2 sommets qui est bien connexe. Supposons maintenant que le r´esultat soit vrai pour les graphes de Steinhaus `a n−1 sommets et prouvons le pour ceux `a n sommets. Soit s = (a1, . . . , an−1) une suite de longueur n−1 dans Z/2Z. Comme G′ = G((a1, . . . , an−2)) est un graphe de Steinhaus `a n − 1 sommets, on sait, par hypoth`ese de r´ecurrence, que G′ est connexe si, et seulement si, (a1, . . . , an−2) 6= (0 . . . 0). Distinguons les diff´erents cas :
– Si s = (0 . . . 0), alors la matrice de Steinhaus M(s) est la matrice nulle de taille n × n par d´efinition et donc le graphe de Steinhaus G(s) est le graphe totalement disconnexe `a n sommets.
– Si s = (0 . . . 01), alors la matrice de Steinhaus M(s) = (ai,j)16i,j6n est d´efinie par
ai,j = 0 pour 1 6 i < j 6 n − 1, ai,n = 1 pour 1 6 i 6 n − 1.
Le graphe de Steinhaus G(s) est donc le graphe ´etoile `a n sommets qui est un graphe connexe.
– Si (a1, . . . , an−2) 6= (0 . . . 0) alors par hypoth`ese de r´ecurrence le graphe G′ est connexe. La seule possibilit´e pour que G(s) ne soit pas connexe est donc que Vn soit un sommet isol´e, soit
ai,n = 0, ∀1 6 i 6 n.
Ce qui implique, par la Proposition 2.1.2, que s = (0 . . . 0). On obtient donc une contradiction.
Un probl`eme g´en´eral sur les graphes de Steinhaus est celui de caract´eriser ceux qui poss`edent une propri´et´e graphique donn´ee. Les graphes de Steinhaus bipartis [4, 9, 12] et ceux planaires [11] ont ´et´e caract´eris´es.
D´efinition 2.1.6. On appelle graphe pair un graphe pour lequel tous ses sommets sont de degr´es pairs, et graphe impair un graphe pour lequel tous ses sommets sont de degr´es impairs.
Dans la suite de ce chapitre, on ´etudie les graphes de Steinhaus pairs et impairs. Ces r´esultats sont en partie issus de [8] mais souvent reformul´es. Cependant, `a la section suivante, on donne une nouvelle preuve du th´eor`eme principal utilis´e dans l’´etude de ce type de graphes de Steinhaus. On s’int´eresse `a la notion plus forte de graphes de Steinhaus r´eguliers, c’est-`a-dire o`u tous les sommets ont le mˆeme degr´e, au Chapitre 3.