Structure TirageTirage

Dans ce paragraphe, contrairement au pr´ec´edent, l’amplitude de la perturbation est fix´ee, a = 10−3, et on s’int´eresse `a l’effet du tirage al´eatoire sur l’´evolution des solutions du syst`eme. Afin de ne pas privil´egier un ou plusieurs modes (radial ou azimutal) particulier, une distribution al´eatoire d’amplitude fix´ee est superpos´ee au champ de temp´erature initial.

Pour chaque couple ´epaisseur/viscosit´e, un jeu de N = 100 r´ealisations al´eatoires diff´erentes est parcouru, et on se penche sur les ´evolutions moyenn´ees de Pe et ∆Θmax. (Les « • » d´enotent une moyenne d’ensemble.)

Convection due `a l’effet Marangoni

La figure 2.19(a) pr´esente l’´evolution temporelle moyenn´ee du nombre de P´eclet, not´ee Pe, ainsi que son ´ecart type associ´e σPe (repr´esent´e par les barres d’erreurs).

Le temps d’apparition de la convection est toujours d´efini par t_c tel que Pe(t_c) = 1. Il est a priori diff´erent pour chaque r´ealisation. Si la vitesse maximale moyenn´ee est prise comme r´ef´erence, on obtient tc = 0.29. Ce temps peut aussi ˆetre encadr´e par les valeurs minimale et maximale pour lesquelles le crit`ere de convection est franchi et dans ce cas,

tc ∈ [0.272; 0.315]. Par rapport au temps de transition moyen tc on peut d´efinir que le temps de transition pour cette configuration est t_c= 0.29 ± 6%.

L’´evolution de l’´ecart maximum de temp´erature moyenn´ee ∆Θmax et trac´e en fi-gure 2.19(b). Il est compar´e `a la solution diffusive (courbe pleine). L’effet du tirage initial se fait sentir d`es lors que l’on quitte la solution diffusive mais de facon moindre que pour la vitesse. Le coefficient de variation n’est ici jamais sup´erieur `a 3%. L’instant o`u l’´evolution de ∆Θ_max quitte la solution diffusive est toujours tr`es voisin de t = 0.3.

0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Pe = max||u|| Temps (a) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.001 0.01 0.1 1 ∆Θ max Temps (b)

Figure 2.19 – (a) Evolution temporelle moyenn´ee de Pe = max ||u|| et de son ´ecart type. (b) Evolution temporelle moyenn´ee de l’´ecart maximal de temp´erature ∆Θmax et son ´ecart type, et comparaison avec la solution diffusive (courbe pleine). (e = 1 mm, µ = 3 mPa.s, A = 10 et a = 10−3.)

De la mˆeme mani`ere que pour l’amplitude, l’impact de la distribution initiale est observ´e pour une viscosit´e proche de la viscosit´e de transition µ = 5.8 mPa.s ' µ_c. La figure 2.20 pr´esente l’´evolution moyenn´ee de Pe ainsi que de son ´ecart type associ´e, repr´esent´e par les barres d’erreurs.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 1 2 3 4 5 6 Pe = max||u|| Temps

Figure 2.20 – Evolution temporelle moyenn´ee de Pe = max ||u|| et son ´ecart type associ´e. (e = 1 mm, µ = 5.8 mPa.s et A = 10 et a = 10−3.)

Le crit`ere d’apparition de la convection est superpos´e aux courbes. Dans ce cas o`u le maximum au cours du temps du P´eclet moyen se rapproche de l’unit´e (max

t Pe ∼ 1), la dispersion standard par rapport `a la moyenne ´evolue entre 10% et 15%. Un ensemble de r´ealisations franchit le crit`ere d´efinissant la convection tandis qu’un autre ne le franchit pas. L’erreur due au choix du tirage initial lors du calcul de seuils de transition sera discut´e plus en d´etails dans la section 2.4.

Convection due `a la pouss´ee d’Archim`ede

L’estimation du tirage sur l’´evolution des variables est ´egalement faite pour une ´epaisseur de 30 mm. La figure 2.21 pr´esente l’´evolution temporelle de Pe ainsi que sa dispersion standard pour deux viscosit´es : µ = 3500 mPa.s et µ = 4900 mPa.s ' µc.

0 5 10 15 20 25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Pe = max||u|| Temps (a) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Pe = max||u|| Temps (b)

Figure 2.21 – (a) Evolution temporelle moyenn´ee de Pe = max ||u|| ainsi que de son ´ecart type pour µ = 3500 mPa.s et (b) pour µ = 4900 mPa.s. (e = 30 mm et A = 10 et a = 10−3.)

Comme dans cas domin´e par l’effet Marangoni, l’influence du tirage al´eatoire se fait principalement ressentir lorsque la viscosit´e est voisine de la viscosit´e de transition. En effet, au voisinage du seuil, le coeffi¸cient de variation du nombre de P´elet (CV (Pe)) est d’environ 15%. Au-dessous de la viscosit´e de transition, CV (Pe) est de l’ordre de 5% lorsque la convection est ´etablie.

Mini-conclusion

En conclusion, l’amplitude et le tirage caract´erisant la perturbation ont une influence sur l’´evolution des diff´erentes variables du probl`eme mais elle reste mod´er´ee. Dans les exemples trait´es, six ordres de grandeur sur l’amplitude modifient le temps de transition de moins d’un facteur 10. De mˆeme le nombre de P´eclet varie d’un peu plus de 10% autour de sa valeur moyenne lorsque l’on se trouve au voisinage de la viscosit´e de transition. La r´epercussion de ces effets sur les seuils de transition sera ´etudi´ee dans la section suivante. M´emoire de l’´ecoulement

On cherche dans ce paragraphe `a mettre en ´evidence l’impact de la forme de la per-turbation initiale sur l’´evolution temporelle du champ de temp´erature. Cette ´etude est motiv´ee par un pr´ec´edent travail de Pasquetti et al. [54] qui met en avant la sensibilit´e

des structures de type B´enard-Marangoni `a la forme de la perturbation initiale. Dans leur ´etude, ces auteurs ont ´etudi´e une g´eom´etrie cylindrique, et le facteur de forme est interm´ediaire (2.5 ≤ A ≤ 5). Le fluide trait´e est non volatile ce qui permet d’observer un ´etat stationnaire.

Les diff´erentes perturbations appliqu´ees ici sont similaires `a celles utilis´ees par Wagner et al. [66] dans le cadre d’´etudes de bifurcations dans des configurations Rayleigh-B´enard et B´enard-Marangoni. Au temps initial, le champ de temp´erature homog`ene est modifi´e au niveau de la surface libre `a l’aide de perturbations gaussiennes. Les perturbations suivent une loi gaussienne d’´ecart type σ = 0.1 en rayon et en profondeur. La position des diff´erentes perturbations est donn´ee en figure 2.22. Cela correspondrait, si l’on devait l’appliquer exp´erimentalement, `a un ou plusieurs chauffages ponctuels.

– (a) perturbation en r = 0 – (b) perturbation en r = 0, (r = A 2, φ = π 2) et (r = A 2, φ = −π 2) – (c) perturbation en r = 0, (r = A 2, φ = 0), (r = A 2, φ = π 2), (r = A 2, φ = π) et (r = A 2, φ = −π 2) – (d) perturbation en r = 0 et (r = A 2, φ = π 2)

Figure 2.22 – Position et r´ef´erencement des perturbations initiales de type gaussienne d’´ecart type σ = 0.1. La forme de la perturbation initiale pourra ˆetre choisie axi-sym´etrique (a), sym´etrique (b et c) ou non sym´etrique (d).

L’amplitude de la perturbation est fix´ee : a = 10−3, et le facteur de forme est dans un premier temps A = 2.5 de sorte que toutes les structures qui se d´eveloppent d´ependent de cette perturbation initiale. Dans un second temps on choisit un facteur de forme plus important et on constatera que mˆeme si la trace de la perturbation initiale est bien visible, d’autres structures se d´eveloppent dans les zones plus ´eloign´ees.

Effet Marangoni

Pour e = 1 mm et µ = 3 mPa.s, la figure 2.23 montre l’´evolution de la vitesse maxi-male pour diff´erentes perturbations initiales. Globalement on voit que l’´evolution est la mˆeme et, comme dans le cas o`u l’on fait varier le tirage al´eatoire initial, la forme de la perturbation initiale a peu d’influence sur l’´evolution temporelle de Pe.

Les iso-contours de temp´erature en surface libre sont pr´esent´es en figure 2.24. La m´emoire de la forme de la perturbation initiale est ´evidente ; les structures axisym´etique (a), sym´etriques (b et c) et non sym´etrique (d) sont conserv´ees.

On obtient des r´esultats similaires avec des facteurs de forme plus ´elev´es. Les motifs que l’on n’impose pas se d´eveloppent dans les zones ´eloign´ees de la perturbation. La figure 2.25 montre pour des facteur de forme A = 5 et A = 10 les iso-contours de temp´erature en surface libre pour un temps t = 5 et pour les perturbations (b), (c) et (d). La conservation de structure initiale est ´evidente. Les cellules convectives ont des g´eom´etries r´eguli`eres. Des hexagones sont visibles aux endroits o`u les perturbations poncuelles ont ´et´e appliqu´ees (par exemple en figure 2.25(b) pour A = 10).

0 5 10 15 20 25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Pe = max||u|| Temps (a) (b) (c) (d)

Figure 2.23 – Evolution de Pe = max ||u|| pour diff´erentes perturbations initiales ponctuelles. (e = 1 mm, µ = 3 mPa.s et A = 2.5.)

(a) (b) (c) (d)

Figure 2.24 – Iso-contours de temp´erature en surface libre `a t = 1 pour diff´erentes perturbations initiales de type gaussienne appliqu´ees en surface libre. (e = 1 mm, µ = 3 mPa.s et A = 2.5.)

(b) (c) (d)

Figure 2.25 – Iso-contours de temp´erature en surface libre `a t = 5 pour diff´erentes perturbations initiales de type gaussienne appliqu´ees en surface libre. De haut en bas pour un facteur de forme A = 5 (haut) et A = 10 (bas). (e = 1 mm et µ = 3 mPa.s.)

Pouss´ee d’Archim`ede

La m´emoire de la perturbation initiale est ´egalement v´erifi´ee dans le cas ou les ef-fets gravitationnels dominent l’´ecoulement. La figure 2.26 pr´esente les iso-contours de temp´erature relev´es en surface libre pour t = 0.7. Le facteur de forme est A = 2.5. Les formes des structures observ´ees sont bien entendu diff´erentes de la configuration capillaire mais la m´emoire de la perturbation initiale est une nouvelle fois mise en avant.

(a) (b) (c) (d)

Figure 2.26 – Iso-contours de temp´erature en surface libre `a t = 0.7 pour diff´erentes pertur-bations initiales de type gaussienne appliqu´ees en surface libre. (e = 30 mm, µ = 3500 mPa.s et A = 2.5.)

Conclusion : Afin d’´eviter ces effets de m´emoire, nous utiliserons dans la suite unique-ment des perturbations al´eatoires.