4.3 Méthode Asymptotique Numérique
4.4.5 Comportement mécanique
1.3.3.3 Prise en compte dans le modèle éléments finis
Outre la dépendance à la température et à la pulsation du module d’Young du maté-riau viscoélastique, une des difficultés pour la modélisation numérique des structures sandwich concerne la discrétisation par éléments finis. En effet, la modélisation choisie doit permettre une bonne représentation du cisaillement de la couche centrale, ce cisaillement étant à l’origine de l’amortissement. Il devient alors important de représenter correctement le comportement "zig-zag" entre les trois couches du matériau sandwich (cf. Figure 1.9(b)).
Éléments finis élastiques et éléments viscoélastiques La solution la plus simple consiste à discrétiser le solide en considérant des éléments finis élastiques et viscoélastiques. Ainsi, les trois couches de la structure sandwich sont discrétisées séparément (cf. Figure1.10(b)), et les éléments finis choisis doivent être compatibles au niveau des interfaces entre les trois couches de la structure.
L’inconvénient de cette modélisation est que la discrétisation doit être suffisamment fine pour permettre le déplacement longitudinal des couches les unes par rapport aux autres. Ceci implique un grand nombre de degrés de liberté, ce qui constitue une difficulté supplémentaire dans l’utilisation des méthodes numériques (mémoire, temps de calcul).
Élément fini sandwich Afin de diminuer le nombre de degrés de liberté tout en garantissant une bonne représentation de la cinématique, des éléments finis "sandwich" ont été développés pour étudier les problèmes de vibrations amorties. Le principe est d’assembler trois éléments dans l’épaisseur de la structure sandwich, puis de déterminer les degrés de liberté de l’élé-ment central en considérant des conditions de raccord aux interfaces entre les couches. Ainsi, l’épaisseur de la structure sandwich n’est pas discrétisée, l’élément fini discrétise seulement les dimensions transversales (cf. Figure 1.10(a)). La formulation par éléments finis est alors enrichie afin de tenir compte d’une épaisseur et de prendre en compte le comportement des différentes couches. De nombreux modèles ont été développés sur ce principe : modèle de Ki-lian (plaque/volume/plaque), modèle de Johnson (plaque/volume/plaque), modèle de Lezza A. Mignery (coque/ressort/coque), etc. (voir [Duigou-Kersulec, 2002] pour plus de détails).
Matériau élastique
Matériau élastique Matériau viscoélastique
Linéaire
Non linéaire
(a) Discrétisation par des éléments finis de type "sandwich". Matériau élastique Matériau élastique Matériau viscoélastique Linéaire Non linéaire
(b) Discrétisation par des éléments finis Q4.
Figure 1.10 – Illustration des différentes possibilités pour discrétiser la structure sandwich. Dans un premier temps, nous nous intéressons à un problème 2D [Bermúdez et Rodríguez, 1994]. La structure est donc discrétisée avec des éléments finis de type Q4, déjà disponibles dans le code Eve, auxquels nous assignerons un matériau élastique ou viscoélastique (cf. Fi-gure 1.10(b)). Afin d’éviter la programmation d’un élément d’interface, le domaine fluide est également discrétisé avec des éléments finis Q4. Dans le cadre de l’étude de problèmes en inter-action fluide-structure, nécessitant la prise en compte du couplage entre les deux domaines, un élément fini Q4 "2DFS" est implanté dans le code Eve. Basé sur l’élément Q4 solide, il permet
de modéliser à la fois un solide et un fluide acoustique en prenant en compte le couplage. Cet élément est détaillé en Section 1.5.
1.4 Choix d’une formulation pour les inconnues du problème
Le problème est entièrement discrétisé par la méthode des éléments finis [Zienkiewicz et al., 2013][Bathe, 2006][Dhatt et Touzot, 1984]. Classiquement, la variable utilisée pour décrire le comportement du domaine solide est le déplacement. Pour le domaine fluide en revanche, il existe diverses possibilités [Morand et Ohayon, 1992] : pression, potentiel des vitesses, dé-placement, pression et potentiel des déplacements... Les formulations les plus fréquentes sont rappelées afin de déterminer la formulation la plus adéquate pour notre problème.
1.4.1 Hypothèses et notations
Hypothèses Le problème étudié est une cavité acoustique, dans le domaine des basses fré-quences. Le domaine fluide occupe tout l’espace à l’intérieur du solide, il n’y a donc pas de surface libre à prendre en compte. Le fluide est stagnant, compressible et non pesant. Les ef-fets de la gravité ne sont donc pas pris en compte. De plus, on considère un fluide parfait, c’est-à-dire sans viscosité.
Le problème se place dans l’hypothèse des petites perturbations, seuls les petits mouvements autour de la position d’équilibre statique sont considérés.
Enfin, seul le régime permanent est étudié. Les inconnues sont donc cherchées sous forme harmonique.
∂ FS: interface de normale sortante nF ∂ SF: interface de normale sortante nS T effort imposé ∂ Sσ ud déplacement imposé ∂ Su interface ∂ FS = ∂ SF domaine fluide F nF nS domaine solide S
Figure 1.11 – Notations utilisées pour l’établissement des différentes formulations. Notations Toutes les notations introduites sont résumées Figure1.11. Les domaines solide et fluide sont notés respectivement ⌦S et ⌦F. L’interface fluide-structure de normale sortante nS est notée @⌦SF, tandis que l’interface de normale sortante nF est notée @⌦F S. Ces deux interfaces sont confondues, et les normales sont opposées (nF= nS). Un déplacement ud est imposé sur la frontière @⌦Su, et un effort T est imposé sur la frontière @⌦S .
Domaine solide Le solide est décrit par son déplacement uS. Dans le cadre des petites perturbations, la loi de conservation de la quantité de mouvement mène à l’équation suivante :
div( c) ⇢Su¨S+ fv= 0 dans ⌦S (1.10)
où c est le tenseur des contraintes de Cauchy, ¨u le vecteur accélération du domaine solide, fv le vecteur des forces volumiques s’appliquant sur le solide et ⇢S sa masse volumique.
Si l’on considère un problème harmonique, les variables de temps et d’espace peuvent être séparées. Le déplacement est alors cherché sous la forme : uS(x, t) = u(x)ei!t, et l’équation d’équilibre du domaine solide devient :
div( c) + ⇢S!2u + fv= 0 dans ⌦S (1.11)
La loi de comportement dépend du matériau considéré (élastique (1.7), ou viscoélastique (1.1)). Pour simplifier les démonstrations, on notera dans la suite c=H ⌦ ", avec H = D pour un matériau solide élastique et H = D(E(!)) pour un matériau viscoélastique.
Deux types de conditions limites peuvent être appliqués au domaine solide :
• D’une part les conditions de Dirichlet appliquées au déplacement u, qui correspondent à un mouvement imposé à la frontière du domaine solide ⌦Su :
u = ud sur @⌦Su (1.12)
avec @Su[ @⌦S = @⌦S et @⌦Su\ @⌦S = ?. On aura éventuellement ud = 0 sur une partie de @⌦Su pour éviter les mouvements de solide rigide.
• D’autre part les conditions de Neumann, traduisant les efforts appliqués sur les fron-tières du domaine solide :
cnS = Tsur @⌦S (1.13)
Domaine fluide Le domaine fluide est caractérisé par sa masse volumique ⇢F et la célérité des ondes dans le milieu, notée cF. La pression est notée p, le déplacement uF et la vitesse vF. Pour un fluide visqueux newtonien, l’expression du tenseur des contraintes est :
F = pI + ⌧ (1.14)
où ⌧ est le tenseur des contraintes visqueuses.
Dans le cas d’un fluide parfait, les effets visqueux sont négligés (⌧ = 0), et le tenseur des contraintes est sphérique :
F = pI (1.15)
Les équations d’équilibre et la loi de comportement du fluide sont précisées dans la suite, en fonction de la formulation retenue.
Couplage Les termes de couplage sont obtenus en exprimant les conditions de continuité à l’interface fluide-structure. Ces conditions sont de deux types :
• Une condition cinématique, exprimant la continuité des vitesses normales à l’interface. • Une condition dynamique, traduisant la continuité des contraintes entre le domaine
L’objectif est d’étudier le couplage fort entre les domaines solide et fluide. On cherche donc à résoudre simultanément les équations des deux domaines, en les regroupant dans un même système matriciel à travers ces conditions de couplage.
Nous présentons dans la suite quatre formulations, liées au choix des inconnues fluides, menant à quatre systèmes d’équilibre différents. L’inconnue pour le domaine solide est toujours le déplacement u.
1.4.2 Formulation pression/déplacement