Structure de Lie-Poisson sur le dual d’une algèbre de Lie

Lie

Soit (g, [· , ·]) une algèbre de Lie réelle ou complexe de dimension finie. A chaque élément e de g on associe la fonction linéaire sur g∗ suivante :

e∗ : g∗ → K

ξ 7→ hξ, ei = ξ(e).

L’espace des fonctions linéaires sur g∗, noté F_ℓin(g∗) est canoniquement isomorphe à g. Ceci permet de munir Fℓin(g∗) d’un crochet de Lie, noté {· , ·}, qui est donné par :

{e∗

1, e^∗₂} (ξ) := [e₁, e2]^∗(ξ) = hξ, [e1, e2]i , ∀e₁, e2 ∈ g et ∀ξ ∈ g∗. (2.5) Le crochet défini dans la formule (2.5) s’étend de manière unique à un crochet de Poisson sur l’algèbre de fonctions polynomiales F (g∗). On peut vérifier qu’il est donné, pour tous F, G ∈ F (g∗) et ξ ∈ g∗, par :

{F, G} (ξ) = hξ, [d_ξF, d_ξG]i . (2.6) Cette formule mérite quelques explications. On peut identifier canoniquement d_ξF et d_ξG, qui sont à priori dans Fℓin(g∗), à des éléments de g, ce qui autorise à considérer

leur crochet de Lie [dξF, dξG], qui appartient à g et qui, après appliquation de ξ, donne un élément de K.

La structure de Poisson définie dans (2.6) est appelée crochet de Lie-Poisson de g^∗. On peut faire apparaître le champ hamiltonien associé à G dans la relation (2.6) :

XG[F ](ξ) =

ξ, − add_ξGd_ξF =D

ad^∗d_ξGξ, dξFE .

Ceci signifie que l’équation de mouvement associée à l’hamiltonien G ∈ F (g∗) est la suivante :

X_G(ξ) = ad^∗d_ξGξ. (2.7) On note souvent ˙ξ := XG(ξ). La relation (2.7) permet de donner les Casimirs. On rappelle les définitions suivantes.

Définition 2.12. Soit G un groupe de Lie connexe d’algèbre de Lie g. (1) Une fonction F définie sur g est dite Ad-invariante si

F ◦ Ad_g(X) = F (X), ∀g ∈ G et ∀X ∈ g ; (2) Une fonction F définie sur g∗ est dite Ad∗-invariante si

F ◦ Ad^∗_g(ξ) = F (ξ), ∀g ∈ G et ∀ξ ∈ g∗. Notons F (g)G

(resp. F (g∗)G

) l’algèbre des fonctions Ad-invariantes sur g (resp. Ad^∗-invariantes sur g∗).

Soit F ∈ F (g∗). L’Ad^∗-invariance de F est équivalente à

ad^∗d_ξFξ = 0, ∀ξ ∈ g^∗. (2.8) Proposition 2.13. Les Casimirs de (g∗, {· , ·}) sont les fonctions Ad^∗-invariantes sur g∗.

Pour un sous-espace vectoriel, être une sous-variété de Poisson est une propriété qui se traduit en termes de l’algèbre de Lie.

Proposition 2.14. Soit (g∗, {· , ·}) le dual d’une l’algèbre de Lie (g, [· , ·]), muni du crochet de Lie-Poisson. Soit V un sous-espace vectoriel de g∗. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) V est une sous-variété de Poisson de g∗ pour le crochet de Poisson {· , ·} ; (ii) L’orthogonal V⊥ de V est un idéal de Lie.

De plus, si une des conditions (i) ou (ii) est satisfaite alors V est Poisson isomorphe à (g/V⊥)∗.

Pour un sous-espace affine, on a la propriété suivante.

Proposition 2.15. Soit (g∗, {· , ·}) le dual d’une l’algèbre de Lie (g, [· , ·]), muni du crochet de Lie-Poisson. Soit V un sous-espace vectoriel de g∗ et soit α ∈ g∗. On suppose que

(2) Pour tout x, y ∈ g, on a :

hα, [x, y]i = 0.

Alors l’espace affine α + V est aussi une sous-variété de Poisson de (g∗, {· , ·}). De plus, la translation par α est un isomorphisme de Poisson entre V et α + V .

Preuve:

Montrons que V + α est une sous-variété de Poisson revient à montrer que l’idéal I des fonctions nulles sur V + α est un idéal de Poisson. Soient F ∈ I, ξ + α ∈ V + α. Nous remarquons que dξ+αF est un élément de V^⊥, qui est d’après la première condition de cette proposition et d’après la proposition 2.14 un idéal de Lie. Donc, pour tout G ∈ F (g∗), on a [dξ+αF, dξ+αG] ∈ V⊥. Calculons maintenant le crochet de Poisson entre F et G ∈ F (g^∗) au point ξ + α.

{F, G} (ξ + α) = hξ + α, [d_ξ+αF, d_ξ+αG]i = hξ, [d_ξ+αF, d_ξ+αG]i = 0,

où on a utilisé la deuxième condition de la proposition pour passer de la première à la deuxième ligne et on a le résultat final car ξ ∈ V et [dξ+αF, dξ+αG] ∈ V⊥.

Montrons que la translation par α est un isomorphisme de Poisson entre g∗ et g^∗. Notons T_α la translation par α, définie pour tout ξ ∈ g∗, par T_α(ξ) = ξ + α. Pour tous F, G ∈ F (g∗) et ξ ∈ g∗, on a : {F ◦ Tα, G ◦ Tα} (ξ) = hξ, [dξ(F ◦ Tα), dξ(G ◦ Tα)]i = ξ, [d_Tα(ξ)F, d_Tα(ξ)G] = ξ + α, [d_Tα(ξ)F, d_Tα(ξ)G] = {F, G} (Tα(ξ)),

où on a utilisé la condition (2) pour aller de la deuxième à la troisième ligne. Comme V est une sous-variété de Poisson de (g∗, {· , ·}) alors la restriction de l’isomorphisme de Poisson Tα à V est aussi un isomorphisme de Poisson sur son image.  Remarque 2.16. Si on remplace la deuxième condition de la proposition 2.15 par ad^∗_yα = 0, pour tout y ∈ V⊥ le résultat de la proposition reste vraie (voir la preuve de cette proposition).

Soit g une algèbre de Lie, et soit ω ∈ ∧2g^∗. La bidérivation de F (g∗) définie par : {F, G}_ω(ξ) := hξ, [d_ξF, d_ξG]i + ω(d_ξF, d_ξG) (2.9) est un crochet de Poisson si et seulement si ω est un 2-cocycle, c’est-à-dire ω vérifie, pour tous x, y, z ∈ g

ω([x, y] , z) + ω([y, z] , x) + ω([z, x] , y) = 0.

Appelons ce crochet de Poisson le crochet de Lie-Poisson (associé à g) modifié par ω. Cette structure de Poisson est isomorphe à la structure de Lie-Poisson {· , ·} sur g^∗ si et seulement si ω est un cobord, c’est-à-dire si il existe α ∈ g∗ tel que

ω(x, y) = hα, [x, y]i , ∀x, y ∈ g.

La translation par α donne alors un isomorphisme de Poisson entre (g∗, {· , ·}) et (g∗, {· , ·}_ω).

Proposition 2.17. Soient g une algèbre de Lie, V un sous-espace vectoriel de g∗, α un élément de g∗ et W = α + V un sous-espace affine de g∗.

(1) Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) W est une sous-variété de Poisson de g∗; (ii) V⊥ est un idéal de Lie de g, et ad∗

yα = 0 pour tout y ∈ V⊥; (iii) V est une sous-variété de Poisson de g∗ et ad∗

yα = 0 pour tout y ∈ V⊥. (2) Si une des conditions (i), (ii) ou (iii) est satisfaite alors la structure de Poisson

obtenue sur W est isomorphe (via la translation par α) à la structure de Lie-Poisson de V modifiée par le 2-cocycle Ω donné, pour tous x, y ∈ g/V⊥, par :

Ω(x, y) = hα, [x, y]i ,

où x, y ∈ g sont deux éléments arbitraires de g dont la classe modulo V⊥ est x et y respectivement et elle est alors isomorphe à la structure de Lie-Poisson sur V si et seulement si Ω est un cobord, c’est-à-dire, s’il existe β ∈ V ≃ (g/V⊥)∗

tel que Ω(x, y) = hβ, [x, y]i, pour tous x, y ∈ g/V⊥. En ce cas, ξ 7→ α + β + ξ est un isomorphisme de Poisson entre V , muni du crochet de Lie-Poisson, et W .

Preuve:

Montrons le premier point de la proposition. D’après la proposition 2.14 les condi-tions (ii) et (iii) sont équivalentes et de plus on a montré dans la proposition 2.15 que (iii) implique (i). Donc il suffit de montrer que (i) implique (iii).

Supposons que W est une sous-variété de Poisson de g∗ (muni de sa structure de Lie-Poisson) alors, pour tout x ∈ g et tout ξ ∈ V , le champ hamiltonien de la fonction linéaire associée à x est tangent à W au point α + ξ, autrement dit :

ad^∗_x(α + ξ) ⊂ V.

Exprimons ceci d’une autre manière : pour tout ξ ∈ V , la relation suivante doit être satisfaite pour tout x ∈ g et tout y ∈ V⊥ :

hα + ξ, [x, y]i = 0. (2.10) En particulier, lorsque ξ = 0 l’équation (2.10) devient :

hα, [x, y]i = 0, ∀x ∈ g et ∀y ∈ V⊥. (2.11) Donc ad^∗_yα = 0 pour tout y ∈ V∗. De plus, les équations (2.10) et (2.11) impliquent que

hξ, [x, y]i = 0 ∀ξ ∈ V, ∀x ∈ g et ∀y ∈ V^⊥. (2.12) Ce qui signifie que V⊥ est un ideal de Lie de g.

Montrons maintenant (2). Si une des trois conditions de (1) est satisfaite on a V⊥ est un ideal de Lie de g. Ce qui permet de munir g/V⊥d’une structure d’algèbre de Lie, et munir son dual, qui est isomorphe à V , d’un crochet de Lie-Poisson. Ce qui signifie que la forme bilinéaire antisymétrique définie sur g par (x, y) 7→ hα, [x, y]i pour tout x, y ∈ g passe au quotient en une forme bilinéaire Ω sur g/V⊥. Notons que Ω est automatiquement un 2-cocycle, et que la translation ξ 7→ α + ξ donne

un isomorphisme entre V , muni du crochet de Lie-Poisson modifié par Ω, et W . Le troisième point de le proposition est une conséquence de deuxième point et du résultat donné juste avant cette proposition.  En identifiant g avec son dual, on peut transporter la structure de Poisson de g∗

à g, on parle alors de la structure de Lie-Poisson de g. Lorsque cette identification est faite vis-à-vis d’une forme h· |· i bilinéaire, symétrique, non-dégénérée sur g, on obtient un crochet de Poisson sur g donné par la proposition 2.18.

Donnons d’abord quelques propriétés, qui seront utliles dans cette thèse. Soit g une algèbre de Lie, munie d’une forme bilinéaire h· |· i et soit G un groupe de Lie d’algèbre de Lie g. On dit que h· |· i est Ad-invariante si, pour tous g ∈ G et x, y ∈ g, on a :

hAdgx | Adgyi = hx | yi (2.13) et que h· |· i est ad-invariante si, pour tous x, y, z ∈ g, on a :

hx | [y, z]i = h[x, y] | zi . (2.14) De plus, si G est connexe alors ces deux propriétés (l’Ad-invariance et ad-invariance de h· |· i) sont équivalentes (dans ce travail on se place toujours dans ce cas).

Proposition 2.18. Soit (g, [· , ·]) une algèbre de Lie de dimension finie, munie d’une forme h· |· i bilinéaire, symétrique, non-dégénérée sur g. La structure de Lie-Poisson de g est donnée, pour tous F, G ∈ F(g) et x ∈ g, par :

{F, G}(x) = hx | [∇_xF, ∇_xG]i , (2.15) où ∇xF est le gradient de F en x ∈ g, c’est-à-dire

h∇_xF | yi = hd_xF, yi , ∀y ∈ g.

En particulier, lorsque h· |· i est ad-invariante sur g, on a pour toute fonction H ∈ F (g), l’équation du champ hamiltonien XH est :

˙x = ad∇xH(x) = [∇xH, x], ∀x ∈ g. (2.16) Une équation de la forme ˙x := [F (x), x] sur une algèbre de Lie g ou sur une sous-variété de g, où F : g → g une application1

, est dite équation de Lax. Par exemple l’équation (2.16) est de Lax.

Proposition 2.19. Soit g une algèbre de Lie munie d’une forme h· |· i bilinéaire, sy-métrique, non-dégénérée. Si h· |· i est Ad-invariante sur g, les fonctions Ad-invariantes de g sont exactement les Casimirs de la structure de Lie-Poisson {· , ·}.

Que la forme bilinéaire h· |· i soit Ad-invariante ou non, la proposition 2.14 prend la forme suivante.

Proposition 2.20. Soit g une algèbre de Lie, munie d’une forme h· |· i bilinéaire, symétrique, non-dégénérée. Soit E un sous-espace de g. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) E est une sous-variété de Poisson de g pour le crochet de Poisson {· , ·} ; (ii) L’orthogonal2

E⊥ de E est un idéal de Lie de g. De plus, E est Poisson isomorphe à (g/E⊥)∗.

La proposition 2.15 admet quant à elle la traduction suivante.

Proposition 2.21. Soit g une algèbre de Lie, munie d’une forme h· |· i bilinéaire, symétrique, non-dégénérée. Soit a ∈ g et soit E un sous-espace de g. On suppose que

(1) E est une sous-variété de Poisson de g pour le crochet de Lie-Poisson {· , ·} ; (2) Pour tout x, y ∈ g, on a :

ha | [x, y]i = 0.

Alors a + E est sous-variété de Poisson de (g, {· , ·}) et l’application x 7→ a + x est un isomorphisme de Poisson.