Simulation et Conception du filtre décimateur
IV- 3- La structure 3 : le filtre sinus cardinal cascadé de deux filtres demi-bande
Cette structure consiste en la cascade du filtre sinc et de deux filtres demi-bandes. La figure IV-25 donne le diagramme de cette architecture. L'objectif est de concevoir un filtre à décimation à plusieurs étages où l'étage intermédiaire possède des spécifications plus souples, ce qui baisse les exigences au niveau implantation, comme il sera montré plus tard [Bou-01-03]. 1 D D2 x(n) Fe=1.024MHz Fe,1=32 kHz 3 D Fe,0=16 kHz y(m) 16:1 2:1 2:1 Fe,2=64 kHz Le Filtre Sinus Cardinal Le Filtre Correcteur HB1(z) HB2(z)
Figure IV- 25 : La structure 3, le filtre sinc suivit de deux demi-bande.
Le dernier filtre demi-bande HB2 a les spécifications les plus strictes avec une fréquence de coupure de la bande passante à 0.25 et une fréquence de bande atténuée égale à 0.27, les fréquences étant normalisées à 16kHz. La bande de transition étroite détermine l'ordre du dernier étage en appliquant (Eq IV-1) avec A=80 dB et ∆f=0.02. On donne N=38 le nombre de multiplicateurs pour mettre en oeuvre cet étage sera donc :
20 1 2 N M HB2 2 = + = Eq IV- 11
Nous obtenons une ondulation de la bande passante de 0.015 dB. La figure IV-30 montre la réponse en fréquence totale de ce filtre, tandis que la figure IV-31 représente la section relative à la bande passante du filtre. Le premier filtre demi-bande HB1 dans cette architecture présente une large bande de transition, il est soumis à une entrée échantillonnée à une fréquence Fe,2=64 kHz, sa bande de la transition s'étale de 0.125 jusqu'a 0.375 normalisée par rapport à Fe,2 . Pour réaliser une bande de transition étalée sur 0.25, un filtre FIR de 26 coefficients est exigé. Le nombre de multiplieurs nécessaires pour le premier filtre demi-bande est : 14 1 2 N M HB1 1 = + = Eq IV- 12
Avec cette configuration nous obtenons une ondulation de la bande passante de 0.005 dB. la figure IV-27 montre l’ondulation dans la bande passante de la réponse fréquentielle du premier filtre HB1, par contre, la figure IV-26 présente sa réponse fréquentielle totale. Les
figures IV-28 et IV-29 montrent, respectivement, la réponse impulsionelle du filtre HB1 et l’influence de la troncature de ces coefficients sur son gabarit.
Figure IV- 26 : Réponse en fréquence du premier filtre demi-bande HB1.
Figure IV- 27 : Ondulation dans la bande passante du filtre HB1.
Les coefficients du filtre HB1 sont calculés en utilisant l'algorithme McCllan et Parck pour filtre passe-bas possédant un ordre égal a 26. Les coefficients sont listés ci-dessous :
h(0) = h(26) = 0.000108960 h(1) = h(25) = 0 h(2) = h(24) = -0.00089237 h(3) = h(23) = 0 h(4) = h(22) = 0.003986700 h(5) = h(21) = 0 h(6) = h(20) = -0.01283400 h(7) = h(19) = 0 h(8) = h(18) = 0.033999000 h(9) = h(17) = 0 h(10) = h(16) = -0.08499200 h(11) = h(15) = 0 h(12) = h(14) = 0.310620000 h(13) = 0.500000000
Figure IV- 28 : Réponse impulsionelle du filtre HB1.
Figure IV- 29 : Effet de la troncature des coefficients du HB1.
Figure IV- 30 : Réponse en fréquences du deuxième filtre demi-bande HB2.
Figure IV- 31 : Ondulation dans la bande passante du filtre HB2.
Les figures IV-32 et IV-33 montrent, respectivement, la réponse impulsionelle du filtre HB2 et l’influence de la troncature de ces coefficients sur son gabarit. Les coefficients pour le second filtre demi bande ont été calculés en utilisant MATLAB et en appliquant l'algorithme d'échange de REMEZ pour un filtre d'ordre 38. Ces coefficients sont listés ci-dessous :
h(0) = h(38) = -0.0016444 h(1) = h(37) = 0 h(2) = h(36) = 0.00294210 h(3) = h(35) = 0 h(4) = h(34) = -0.0054183 h(5) = h(33) = 0 h(6) = h(32) = 0.00914450 h(7) = h(31) = 0 h(8) = h(30) = -0.0146020 h(9) = h(29) = 0 h(10) = h(28) = 0.02261300 h(11) = h(27) = 0 h(12) = h(26) = -0.0348560 h(13) = h(25) = 0 h(14) = h(24) = 0.05568000 h(15) = h(23) = 0 h(16) = h(22) = -0.1011500 h(17) = h(21) = 0 h(18) = h(20) = 0.31663000 h(19) = 0.50000000
Figure IV- 32 : Effet de la troncature des coefficients du HB2.
Figure IV- 33 : Réponse impulsionelle du filtre HB2.
La cascade proposée des filtres demi-bande n'est pas conçue pour corriger la perte dans la bande passante du filtre sinc. Par conséquent, un filtre de compensation est toujours nécessaire. Pour limiter l’ordre de ce filtre nous avons opté pour une structure symétrique. Les coefficients calculés sont :
h(0) = h(40) = 3.3187 e-5 h(1) = h(39) = 1.2077 e-5 h(2) = h(38) = -8.9823 e-5 h(3) = h(37) = -0.00028567 h(4) = h(36) = -0.00049294 h(5) = h(35) = -0.00048107 h(6) = h(34) = 2.5863 e-5 h(7) = h(33) = 0.001114600 h(8) = h(32) = 0.002460000 h(9) = h(31) = 0.003218000 h(10) = h(30) = 0.002315500 h(11) = h(29) = -0.00092134 h(12) = h(28) = -0.00604740 h(13) = h(27) = -0.01114600 h(14) = h(26) = -0.01323000 h(15) = h(25) = -0.00943340 h(16) = h(24) = 0.001466600 h(17) = h(23) = 0.017967000 h(18) = h(22) = 0.035895000 h(19) = h(21) = 0.049778000 h(20) = 0.8550100
Les figures IV-34 et IV-35 représentent, respectivement, la réponse fréquentielle du sinus cardinal dans la bande de Nyquist et la perte en amplitude par rapport au filtre compensateur.
Figure IV- 34 : Réponse en fréquences du filtre Sinc D=16, K=3.
Figure IV- 35 : Perte en amplitude du filtre Sinc D=16, K=3 et réponse du
Figure IV- 36 : Perte en amplitude par rapport au filtre compensateur après la
décimation.
Figure IV- 37 : Réponse en fréquence du filtre compensateur comparée avec la
réponse désirée.
Figure IV- 38 : Synthèse du premier filtre demi-bande HB1.
Figure IV- 39 : Réponse totale du Sinc compensée après décimation.
Figure IV- 40 : Réponse en fréquence composées après le filtre HB1.
Figure IV- 41 : Réponse en fréquence composée et normalisée après le filtre
Figure IV- 42 : Synthèse du deuxième demi-bande HB2.
Figure IV- 43 : Réponse en fréquence composée après le filtre HB2
Figure IV- 44 : Réponse en fréquence composée et normalisée après le filtre HB2.
Les figures IV-34 à IV-44 montrent les différentes réponses fréquentielles de chaque bloc de la structure 3 montrée sur la figure IV-25.
IV- 4- Conclusion
Dans ce paragraphe, plusieurs réalisations du filtre à décimation ont été proposées, en particulier :
La structure 1 : Cascade de deux filtres sinus cardinaux réalisant une décimation de D=64=8.8. Cette architecture présente un gros handicap du fait qu’elle nécessite un filtre compensateur dont l’ordre est très élevé.
La structure 2 : Cascade d’un filtre Sinc rectangularisé avec deux filtres FIR réalisant une décimation de D=64=16.2.2. Cette configuration présente un inconvénient du fait que le rectangularisé exige une architecture complexe.
La structure 3 : Cascade d’un filtre sinus cardinal avec deux filtres demi-bandes. Cette architecture nécessite un filtre compensateur vue l’atténuation dans la bande utile causée par la non-idéalité du Sinc.
Notre choix s’est porté sur la troisième structure vue sa simplicité d’un point de vue d’intégration. D’autre part, les filtres demi-bandes présentent l’avantage d’avoir un coefficient sur deux nul et une version polyphasée intéressante. En outre, lors de la conception on a réalisé une synthèse symétrique des coefficients du filtre compensateur ce qui diminue son ordre de moitié. Dans ce qui suit nous allons détailler la technologie employée pour mettre en oeuvre la structure choisie.