Structure des hormones thyroïdiennes

A função afim (não linear) é também um modelo muito usado para representar situações da realidade. O custo de algumas chamadas telefónicas, com um valor inicial ao qual acresce uma certa quantia por cada período de tempo é um bom exemplo. Embora estas situações se assemelhem àquelas em que existe proporcionalidade directa, devido à existência de uma taxa de variação constante, diferencia-as o facto de existir um valor inicial não nulo, cujo significado real depende da situação em causa. Os alunos não devem esquecer-se de que este valor inicial tem de ser tido em conta quando resol- vem problemas envolvendo este tipo de função.

Os alunos devem ter a oportunidade de trabalhar com funções afins (não linea- res) a partir das suas diversas representações, desenvolver a capacidade de extrair a informação relevante para a resolução de problemas e transformar essa informação nou- tro tipo de representação, caso seja útil.

Exemplo 10 – Serviço de limpeza. Os alunos devem reconhecer a função afim

(não linear) como modelo de uma situação descrita em linguagem natural. Devem, nomeadamente, reconhecer que há situações em que existe uma taxa de variação cons- tante para as quais a função de proporcionalidade directa não é um modelo adequado. É importante, quando analisam enunciados como o que se segue, que identifiquem que, além do preço por cada hora, existe um valor inicial de 20 euros que não pode ser menosprezado.

Uma empresa de prestação de serviços de limpeza cobra uma taxa de aluguer do seu equipamento, no valor de 20 euros, à qual acrescem 50 euros por cada hora de traba- lho dos empregados que efectuam o serviço.

Exemplo 11 – Ordenado do vendedor. Os alunos devem também trabalhar com a

função afim (não linear) dada por uma tabela. Neste exemplo, podem verificar que uma diferença de dois carros vendidos origina uma diferença de 500 euros no valor total recebido por um vendedor. Assim, o prémio por cada carro vendido é de 250 euros. Esta informação é útil para obter o valor do ordenado fixo: 1250 euros. Se dividirem os valo- res correspondentes das duas variáveis, verificam que não existe proporcionalidade directa. Esta conclusão pode também ser obtida por observação do gráfico da função. É importante promover a discussão sobre o significado das duas constantes, 250 e 1250, e da forma como essas constantes afectam o gráfico.

Um vendedor de automóveis recebe mensalmente, além do seu ordenado fixo, um prémio por cada carro vendido. A tabela que se segue contém o valor total, em euros, recebido pelo vendedor nos primeiros quatro meses deste ano.

N.º de carros vendidos 3 5 15 14

Valor total recebido 2000 2500 5000 4000

a) _{Determina qual é o valor do ordenado fixo do vendedor e o valor do prémio} que obtém por cada carro vendido.

b) _{Constrói um gráfico que represente os dados da tabela.} c) _{Existe proporcionalidade directa? Justifica.}

d) _{Escreve uma expressão algébrica que represente esta função.}

Em geral, a partir do conhecimento de dois objectos não nulos e das respectivas imagens, os alunos podem obter facilmente o valor destas constantes, associando-as ao significado real que têm no problema e podem escrever uma expressão algébrica que represente esta função.

Exemplo 12 – Vendas de uma empresa. Igualmente importante é ser capaz de

se determina o valor obtido pela venda de 200 processadores, obtém-se um valor nega- tivo. Este valor deve ser interpretado como o prejuízo que a empresa tem, se vender apenas esse número de processadores. Na discussão, os alunos devem compreender que os 50 euros correspondem ao valor de cada processador e salientar que os 30 000 euros constituem a despesa fixa no período considerado (por exemplo, gastos com o pessoal, com instalações). Uma vez que a despesa fixa é muito elevada, a venda de um número reduzido de processadores não é suficiente para gerar receita positiva. Esta função toma valores negativos para certos valores de x e valores positivos para outros valores de x, sendo nula num ponto.

A receita obtida por uma empresa que fabrica processadores para computadores, depende de x, o número de processadores vendidos, e é dada pela função

30000 50

)

(x = x−

f (valores em euros).

a) _{Que valor, em euros, obteve a empresa durante uma semana em que vendeu} 200 processadores. Explica o que significa este valor para a empresa.

b) Numa semana em que obteve uma receita de 3000 euros, quantos processado- res vendeu?

Exemplo 13 – Da função afim (não linear) para a realidade. Neste caso, a partir

da expressão algébrica, os alunos podem identificar o declive e a ordenada na origem, relativos a cada uma das funções, informação que devem incluir na situação que imagi- nam. No seu trabalho devem referir o significado do ponto A, de intersecção das duas rectas. As coordenadas deste ponto indicam que, para o mesmo valor da variável inde- pendente, as duas funções dão origem a uma mesma imagem.

Na figura encontram-se as representações gráficas de duas funções, a e b, definidas, respectivamente, por a(x)= x3 +1 e b(x)= x2 +5.

Imagina uma situação da realidade que estas funções possam representar. Explica o que significa o ponto de intersecção das duas rectas na situação que imaginaste.

Exemplo 14 – Influência da variação dos parâmetros m e b no gráfico de fun- ções do tipo y=mx+b, com m diferente de zero. A experiência dos alunos na resolu-

ção de problemas contextualizados envolvendo funções com diferentes expressões algé- bricas pode levá-los a compreender os conceitos de declive e ordenada na origem e a associar um significado real a cada um destes valores, em cada caso. Recorrendo ao

GeoGebra ou à calculadora gráfica, os alunos podem observar o efeito da variação des-

tes parâmetros no gráfico das funções, sintetizando as suas principais conclusões.

Recorrendo ao GeoGebra representa graficamente as funções que se seguem, do tipo,

b mx

y= + , com m diferente de zero:

x y= x y 2= x y=−3 x y 5= x y=−10 5 + = x y 2 − = x y 3 2 + = x y 4 2 − = x y 1 3 + − = x y

Esboça os gráficos destas funções na tua folha de papel, identificando cada uma atra- vés da sua expressão algébrica. Explica de que modo a alteração dos parâmetros m e

b influencia a aparência do gráfico que se obtém.

fessor estabelecer uma ligação com o estudo de equações e inequações ou retomá-las, caso já tenham sido estudadas. A consideração de equações e inequações podem facili- tar a resolução de um vasto conjunto de problemas. O exemplo que se segue ilustra esta situação.

A receita obtida por mês, por uma pastelaria, com a venda de bolos sem açúcar, em função da produção diária, em kg, é dada por p(x)=42x−900 (valores em euros).

a) _{Que quantidade de bolos é necessário vender para que o proprietário ganhe} 1200 euros?

b) Que quantidade de bolos é necessário vender para que não haja prejuízo?

Note-se que a resolução de ambas as questões pode envolver apenas estratégias informais, como o recurso a tabelas de valores que permitam determinar o que é pedido, a realização de operações inversas, ou o uso do gráfico da função obtido, por exemplo, com recurso ao computador. No entanto, estas questões podem também ser exploradas de modo formal usando, no primeiro caso, uma equação (42x−900=1200), e, no segundo caso, uma inequação (42x−900≥0).

Exemplo 16 – Temperatura em graus Celsius, Fahrenheit e Kelvin78_{. O trabalho}

com a função afim é também uma boa oportunidade para a resolução de equações lite- rais (do 1.º grau), como neste exemplo relativo a escalas de temperatura.

Existem várias escalas de temperatura, por exemplo, a Celsius (C), a Fahrenheit (F) e a Kelvin (K).

A conversão de graus Celsius para graus Fahrenheit pode ser feita da seguinte forma:

32 8 , 1 + = C F

Pelo seu lado, a conversão de graus Celsius para graus Kelvin é dada por: 273

+ = C

K

a) A água congela aos 0 ºC e entra em ebulição aos 100 ºC. Determina os valores correspondentes a estas temperaturas nas escalas Fahrenheit e Kelvin.

Celsius Fahrenheit Kelvin 0 100

c) _{Resolve ambas as equações em ordem a C.} d) Estabelece uma relação entre as variáveis F e K.