Cette technique de caractérisation diélectrique est basée sur la minimisation d’un critère de convergence Δ, donné en équation A.1. Un algorithme génétique d’optimisation globale est élaboré afin d’accélérer la convergence.
∆ =1 2[ ∑ √[|𝑆21(𝑓)|𝑚𝑒𝑠− |𝑆21(𝑓, 𝜀𝑟, 𝑡𝑎𝑛𝛿)|𝑠𝑖𝑚]2 𝑓 + 1 𝜋∑ √[𝜙21(𝑓)𝑚𝑒𝑠− 𝜙21(𝑓, 𝜀𝑟, 𝑡𝑎𝑛𝛿)𝑠𝑖𝑚]2 𝑓 ] (A.1)
Nous présentons sur la Figure A.1 l’organigramme de cette méthode de caractérisation. L’ajustement des courbes simulées aux courbes de mesures de S21 est totalement automatisé
sous Matlab. Une fonction principale gère les modules AG et Fonction coût ainsi que l’échange des données entre l’AG (sous Matlab) et HFSS. Le coût Δ est calculé pour chaque combinaison (εr, tanδ) pour une fréquence donnée. Si Δ n’est pas ramené en dessous d’un seuil, ou tolérance,
préalablement défini, le module AG génère une nouvelle combinaison de (εr, tanδ), le module
Fonction coût l’envoie vers HFSS pour calculer de nouveau le paramètre S21. Ce dernier est
récupéré pour évaluer à nouveau Δ. Le processus est effectué itérativement pour réduire globalement Δ et aboutir à une permittivité complexe assez précise. Pour chaque fréquence, les valeurs de εr et tanδ réduisant le critère de convergence Δ en dessous du seuil sont considérées
comme une approximation suffisamment précise de la permittivité complexe, l’application passe à une autre fréquence.
L’AG fait partie de la famille des algorithmes évolutionnaires, méthodes stochastiques d'optimisation globale, qui s'inspirent de l’évolution des populations biologiques. Le parallèle avec l’évolution naturelle a conduit à l’utilisation d’un vocabulaire spécifique lié à la génétique. Nous avons repris le principe d’un AG pour déterminer la permittivité complexer d’un matériau diélectrique en faisant évoluer une population6 de (εr, tanδ) jusqu’à vérification d’une condition
d’arrêt (cf. Figure A.1). En effet, une population initiale de permittivité complexe (εr, tanδ) est
générée aléatoirement permettant une bonne dispersion dans le domaine des solutions prédéfini
6 Population : ensemble de combinaisons (ε
A.2 Structure de la méthode et son fonctionnement
161
(cf. Figure A.2.a). Toutes les valeurs possibles de εr et tanδ sont préalablement codées en binaire
pour permettre des croisements entre les deux paramètres. Chaque paramètre codé est appelé gène dans le langage des AGs. Un gène εr et un gène tanδ forment une combinaison (εr, tanδ).
Pour chaque combinaison (εr, tanδ)i, i = 1, 2, …, M, où M est le nombre de combinaison dans
la population initiale, une valeur du critère Δ est associée. Un tri est ensuite effectué entre les différentes combinaisons, selon la valeur correspondante du critère Δ. Les mauvaises combinaisons, c’est-à-dire celles qui engendrent les paramètres S21sim les plus éloignés du
paramètre mesuré, sont écartées, les meilleures sont autorisées à se « reproduire » pour générer de nouvelles combinaisons (εr, tanδ), qui réduisent de plus en plus le coût Δ.
Figure A.1 – Organigramme de la méthode d’extraction de permittivités complexes des diélectriques basée sur une convergence entre les résultats de simulation et de mesure du coefficient de transmission S21. Un algorithme génétique est utilisé pour
accélérer la convergence.
Chaque combinaison écartée est remplacée par une nouvelle combinaison reproduite à partir d’un croisement7 entre une paire de combinaisons survivante de l’itération précédente, de sorte
à maintenir constant le nombre total de combinaisons après chaque itération. En plus, afin d’éviter la convergence vers un optimum local, des mutations8 sont effectuées sur des
combinaisons sélectionnées d’une manière aléatoire, permettant d’explorer toutes les zones du domaine de recherche prédéfini. Le coût Δ est réévalué pour les nouvelles combinaisons, issues de croisements ou de mutations, pour effectuer de nouveau un tri. Le processus se répète jusqu’à convergence (cf. Figure A.2.b).
La Figure A.3 montre la décroissance de la fonction coût Δ vers la combinaison optimale au cours des itérations. Les domaines prédéfinis des paramètres εr et tanδ contiennent 2H valeurs
chacun, où H est le nombre de bits d’un gène. La taille de la population M est choisie proportionnellement au nombre total des solutions possibles. Dans l’exemple de la Figure A.3, nous avons fixé M = 40 combinaisons, représentant 0,5% des 4096 combinaisons possibles dans le domaine prédéfini (les valeurs de εr sont distribuées entre 2,02 et 5,17 et celles de tanδ
7 Deux combinaisons s'échangent des parties de leurs codes, pour produire de nouvelles combinaisons. 8 De façon aléatoire, un gène peut, au sein d'une combinaison, être substitué à un autre.
Génération aléatoires de M combinaisons
Évaluation du critère de convergence Δ Tri des combinaisons Sélection Croisement Mutation Critère vérifié ? Passage à la fréquence suivante Oui Non
Codage des paramètres (gènes) possibles
Simulation numérique (HFSS)
Module Fonction coût
Module AG
(|S21|sim, ϕ21sim)
162
entre 5x10-4 et 3,2x10-2, c.-à-d., 26 valeurs possibles de εr et 26 valeurs possibles de tanδ). Le
programme converge rapidement après seulement 7 itérations. Le seuil de convergence est déterminé à partir d’un compromis entre précision et temps de calcul. D’après nos essais, la condition Δ < 0,02 permet une bonne précision (erreur inférieure à 2% pour εr et à 6% pour
tanδ) avec un temps de calcul d’environ 48 heures pour une caractérisation sur la bande 1,25 –
40 GHz. Après convergence de l’algorithme, une étape de décodage de la combinaison (εr, tanδ)
optimale doit être effectuée pour avoir les valeurs décimales correspondantes.
(a) (b)
Figure A.2 – Exemple de l’évolution par l’AG d’une population de 32 combinaisons dans le domaine prédéfini ; a) génération aléatoire des combinaisons initiales (carrés bleus) dans un domaine 2D où l’axe des abscisses est représenté par tanδ = (5x10-4
– 3,2x10-2) et l’axe des ordonnées est représenté par ε
r = (2,02 – 5,17) ; b)
convergence de la population de combinaisons vers la solution optimale représentée par une étoile rouge située au point (εr ; tanδ) = (3,5 ; 0,55x10-2) après 7 itérations.
Figure A.3 – Décroissance du coût Δ en fonction du nombre d'itérations. Dans cet exemple, le paramètre S21 est mesuré sur une ligne GCPW réalisée sur un substrat
en polymère BCB (cf. Figure A.4).
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 tan r x10-2 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 x10-2 r tan Solution optimale 2 4 6 8 10 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 Iterations Cri tè re d e co nv erg en ce Seuil de convergence