Structural, morphological and electrical characterization . 77

A ideia básica é fazer com que nem todos cortes sejam utilizados na resolução do problema de programação linear, pois como é utilizado o algoritmo simplex, o número de iterações necessárias para alcançar a solução pode ser muito alto devido ao grande número de vértices a serem avaliados. Assim, ao invés de utilizar todo o conjunto µ dos cortes ou hiperplanos obtidos, será utilizado um conjunto menor de cortes (—), cujos elementos são preenchidos iterativamente ao longo do processo.

De maneira a acelerar o processo, o conjunto — pode ser reaproveitado entre estados consecutivos com o objetivo de acelerar a convergência do algoritmo. Contudo, para que haja um ganho expressivo, deve-se limitar o número de elementos contidos em — para que ele seja reaproveitado. Assim, se o numero de elementos do conjunto for inferior a um parâmetro NumMaxCortes o conjunto é reaproveitado para a resolução do próximo estado; caso contrário, reinicia-se o processo com o conjunto — vazio.

Ressalta-se que a técnica não representa uma alteração muito drástica no algoritmo básico da programação dinâmica, pois há modificação somente no trecho que trata da

resolução do despacho sujeito a todos os cortes do conjunto µ, como pode ser observado na Figura 24. Desta forma, ao invés de realizar a solução direta do problema considerando todas as restrições da função de custo futuro, é utilizado um algoritmo iterativo para inserção dos cortes no problema, como mostrado na Figura 35.

Figura 35 – Algoritmo da inserção iterativa

Para a compreensão do algoritmo, relembra-se que µ é o conjunto de todos os cortes determinados para o estágio subsequente que compõem o termo –t+1. Definiu-se por — um

subconjunto de µ que contém os cortes inseridos no processo e são utilizados diretamente na resolução do PPL. Adicionalmente, o conjunto — é vazio no início de cada estágio, assim como é nula a variável NumCortes que conta o número de hiperplanos contidos em —.

Primeiramente, o problema relaxado é resolvido, ou seja, a FCF não é representada ainda porque o conjunto — é inicialmente vazio e obtém-se uma solução Xú com um valor de custo futuro –ú(Xú) nulo associado. Este valor não retrata, ainda, a função de custo futuro como desejado e, assim, verificam-se os valores de função associados à substituição

da solução relativa aos armazenamentos obtidos (Xú) em cada um dos componentes do conjunto µ. Através disso, é possível encontrar o corte de interpolação, que é o i-ésimo corte do conjunto µ tal que possua o maior valor de custo associado à solução Xú entre todos do conjunto e representa o valor de custo futuro esperado para o ponto em questão.

Este valor de custo interpolado equivale ao valor de custo futuro correto para o ponto Xúde acordo com o conjunto µ e é chamado de –

i(Xú) porque é associado ao

i-ésimo elemento do conjunto. Se –ú(Xú) e –

i(Xú) estiverem suficientemente próximos de

acordo com a tolerância adotada significa que houve a convergência do processo. Caso contrário o i-ésimo elemento do conjunto µ é inserido no conjunto — e resolve-se novamente o problema sujeito ao novo conjunto de hiperplanos —, obtendo-se um novo valor de Xú e consequentemente um novo valor de custo futuro –ú(Xú).

Desta forma, o processo é repetido até que o custo associado à função de custo futuro –ú(Xú) esteja próximo o suficiente do valor correto1_–

i(Xú)

2

, dado pelo maior valor obtido na substituição da solução em cada um dos cortes. Quando isto ocorre significa que a FCF está devidamente representada no problema, o que também implica que o valor do custo ótimo obtido estará de acordo com o que seria obtido quando da consideração direta dos cortes. Sendo assim, dentro da tolerância especificada o valor de z(Xt, At) é

invariante com a metodologia — direta ou iterativa — utilizada na consideração dos cortes nos problemas de programação linear.

Porém, como estados consecutivos podem ser próximos, torna-se interessante deixar que o conjunto — da última convergência possa ser utilizado no próximo estado avaliado, fazendo com que o algoritmo gaste menos iterações para alguma próxima convergência. Contudo, se o número de elementos do conjunto — (NumCortes) for muito alto o tempo gasto no algoritmo simplex passa a ser mais significativo, o que leva a uma redução no ganho quando se utiliza o algoritmo proposto. Este número máximo de elementos no conjunto — tal que forneça bom desempenho do algoritmo é dado pelo valor NumMaxCortes, cujo valor pode ser obtido de forma empírica.

Dada a resolução de um problema de programação linear em um estágio t, esta metodologia se baseia, então, em uma análise offline da função de custo futuro construída para o mesmo estágio de forma a considerar as relações de convexidade [94,105] tal que pode se verificar quão bem a função de custo futuro está sendo representada no problema de otimização de acordo com os cortes obtidos até então.

Assim, este procedimento pode ser utilizado tanto na PDE quanto na PDDE com eventos independentes e a eventos dependentes, em que se considera o modelo autorregressivo PAR(p). Como obtêm-se ganhos expressivos, o procedimento de inserção iterativa será utilizado nas implementações realizadas em todo o trabalho. Isto porque há diferenças mínimas na solução final [52,53] com ganhos computacionais ou speedups típicos na ordem de 10.0 quando aplicada à PDE e na ordem de 6.0 para a PDDE. De

fato, quanto maior o número de cortes a ser representado, maior o ganho esperado no uso da metodologia. No caso específico da PDE citado, há um o número elevado de cortes ou hiperplanos obtidos do algoritmo de convex hull, fazendo com que a utilização da inserção iterativa obtenha um ganho ainda maior.

TOCÁSTICA 7.1 INTRODUÇÃO

Como visto no Capítulo 3 a utilização de técnicas de programação dinâmica, mais especificamente a PDE, leva a altos custos computacionais na determinação do despacho hidrotérmico devido à maldição da dimensionalidade, que ocorre muito em função das diversas possibilidades de níveis de armazenamento em cada reservatório do sistema em estudo.

Avanços metodológicos consideráveis na utilização da PDE para o problema de planejamento energético do SIN foram alcançados através da PDE-CH [58]. A aplicação torna-se ainda mais viável quando aliada à inserção interativa de cortes como proposta em [52] e mostrada no Capítulo 6, permitindo a utilização da PDE para a resolução de sistemas reais. Contudo, a PDE-CH exige uma discretização prévia do espaço de estados e, além disso, essa discretização é uniforme. Ou seja, há um número preestabelecido de discretizações a serem realizadas e elas são uniformemente distribuídas na construção da função de custo futuro. Por isso, entende-se que a metodologia poderia ser ainda mais eficiente se a FCF pudesse ser bem descrita com a utilização de um número menor de discretizações.

A distribuição uniforme das discretizações não é a mais eficiente visto que algumas regiões podem necessitar de maior detalhamento enquanto outras podem ser bem descritas com poucas avaliações do problema real. Também em decorrência das discretizações preestabelecidas, é difícil analisar em tempo de execução a qualidade da função de custo futuro obtida.

Neste capítulo, propõe-se um algoritmo (Programação Dinâmica Estocástica Efici- ente — PDEE) para a discretização eficiente dos níveis de armazenamento na PDE com o intuito de melhorar a eficiência computacional do método e ainda ter um maior controle do erro cometido em função da aproximação da FCF por valores discretizados.