Strat´ egie de commande

La commande hybride

Nous nous focalisons ici sur une nouvelle strat´egie de commande qui permet d’aug- menter la plage de d´eplacement de l’actionneur tout en limitant la valeur de l’entr´ee de commande. Cette strat´egie peut ˆetre appliqu´ee avec la plupart des contrˆoleurs standards.

(a)

(b)

Fig. 5.8 – Point de vue ´energ´etique : (a) comportement quasi-statique, (b) comportement dynamique.

5.4 D´eveloppement d’une commande hybride 149

Nous avons choisi de mettre en place une boucle de commande avec un contrˆoleur de type PID r´egl´e grˆace `a une m´ethode d’essai-erreur. Nous utilisons celui-ci principalement pour sa simplicit´e de mise en œuvre, sachant qu’un autre type de contrˆoleur pourrait ˆ

etre utilis´e. Dans tout ce chapitre, les param`etres du contrˆoleur PID sont les mˆemes pour tous les essais afin de pouvoir comparer les performances de la nouvelle strat´egie.

Les r´esultats obtenus avec la structure de contrˆole standard PID sont pr´esent´es sur la figure5.10(a). Le rˆole de la strat´egie hybride sera donc d’´etendre la plage de d´eplacement au-dessus de 600 µm et en dessous de 110 µm en utilisant les propri´et´es sp´ecifiques de l’AMFM en dynamique comme nous l’avons vu dans les parties pr´ec´edentes.

L’id´ee de cette strat´egie de contrˆole en position est bas´ee sur le syst`eme d’initialisa- tion des pendules invers´es afin de les placer dans le demi-plan sup´erieur avec un couple limit´e (voir [˚Ast00] pour un exemple d’une telle application).

Fig. 5.9 – Strat´egie de commande.

Une loi de commande hybride est donc con¸cue en se basant sur l’utilisation d’un contrˆoleur PID. La figure 5.9 montre la loi de commande hybride sous la forme d’un r´eseau de Petri. `A la place p0, le contrˆoleur PID est utilis´e pour obtenir la loi de com- mande du courant i. Si la transition t1 est valid´ee, une s´equence de prise d’´elan est utilis´ee pour obtenir un plus grand d´eplacement : `a la place p1, une valeur de courant minimum est impos´ee dans le but de diminuer la valeur de d´eplacement rapidement et `

a la place p2, une valeur de courant maximale est appliqu´ee afin d’augmenter rapide- ment la valeur du d´eplacement. Lorsqu’une valeur de d´eplacement plus importante est atteinte, le contrˆoleur PID est `a nouveau utilis´e (place p0).

Pour le sens oppos´e, le mˆeme type de sch´ema est utilis´e pour obtenir un d´eplacement plus petit avec les places p3 et p4. Deux cas diff´erents sont discut´es pour obtenir les expressions des transitions t1, t2, t3, t4, t5 et t6. La premi`ere m´ethode est une m´ethode sans pr´ediction du mod`ele : si la valeur maximale ou minimale du courant n’est pas suffisante pour obtenir le d´eplacement d´esir´e, alors une s´equence de prise d’´elan est appliqu´ee. La seconde m´ethode utilise le mod`ele afin de pr´edire la plage de d´eplacement

atteignable, une s´equence de prise d’´elan peut ainsi ˆetre appliqu´ee si la position de consigne n’est pas dans cette plage.

Transitions sans pr´ediction

Principe : les transitions sont ´ecrites sans l’aide du mod`ele. Les donn´ees utilisables sont la valeur de la position mesur´ee x, la position de consigne xc, ainsi que la valeur de

la commande en courant ic. Une s´equence de prise d’´elan d´ebute si la commande sature

et que la valeur de consigne n’est pas atteinte apr`es un certain temps. Le recul de la s´equence de prise d’´elan dure pendant un temps fixe et la s´equence de prise d’´elan se termine enfin lorsque la valeur mesur´ee d´epasse la valeur de consigne pendant un certain temps.

t1 = (x < xc).(ic= imax) durant une temporisation d1

t4 = (x > xc).(ic= 0) durant une temporisation d1

t2 = temporisation d2 t5 = temporisation d2

t3 = (x > xc) durant une temporisation d3

t6 = (x < xc) durant une temporisation d3

(5.10)

Trois param`etres de temporisation sont pris en compte d1, d2 et d3 afin d’ajuster le comportement de la loi de commande :

– d1 est le temps requis par le contrˆoleur pour consid´erer qu’une s´equence de prise d’´elan est n´ecessaire. Une temporisation trop courte peut forcer une s´equence de prise d’´elan alors qu’elle n’est pas n´ecessaire et une temporisation trop longue aug- mente le temps de r´eponse du syst`eme en boucle ferm´ee. La valeur de ce param`etre d´epend du r´eglage du PID.

– d2 correspond au temps requis par le syst`eme pour reculer lors de la prise d’´elan. Un temps trop court g´en`ere un d´eplacement trop petit pour une prise d’´elan efficace et un temps trop long augmente le temps de r´eponse du syst`eme en boucle ferm´ee. – d3 est le temps requis par le syst`eme pour aller vers l’avant : un temps trop court ne g´en`ere pas assez de d´eplacement et un temps trop long augmente le temps de r´eponse du syst`eme en boucle ferm´ee.

R´esultats exp´erimentaux : une comparaison entre cette commande hybride et un correcteur PID standard est pr´esent´ee sur la figure5.10avec d1 = 50 ms, d2 = 20 ms et d3 = 20 ms. Le but est atteint : la plage de d´eplacement atteignable avec la commande hybride (Amax − Amin = 1067 µm) est plus du double de celle obtenue avec le PID

standard (490 µm).

Transitions avec pr´ediction

Principe : le mod`ele est utilis´e afin de pr´edire si la position de consigne est atteignable ou non en mode normal (utilisation du PID). Les param`etres du mod`ele sont alors utilis´es

5.4 D´eveloppement d’une commande hybride 151

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 0.5 1

Courant mesuré (A) _{Temps (s)}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Déplacements (µm) Temps (s) x x c (a) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.5 1

Courant mesuré (A) _{Temps (s)}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Déplacements (µm) Temps (s) x x c (b)

Fig. 5.10 – R´esultats exp´erimentaux : (a) avec le contrˆoleur PID standard, (b) avec le contrˆoleur hybride sans pr´ediction du mod`ele.

dans l’´ecriture des transitions :

t1 = (xc> xmax).( ˙xc> 0)

t4 = (xc< xmin).( ˙xc< 0)

t2 = (xmax> xc)

t5 = (xmin< xc)

t3 = (x > xc) durant une temporisation d3

t6 = (x < xc) durant une temporisation d3

(5.11)

xmin et xmax sont les valeurs de d´eplacement minimale et maximale atteignables

sans utiliser de prise d’´elan. Nous pouvons les d´eduire `a partir de la valeur mesur´ee du d´eplacement et des param`etres du mod`ele. Lorsque le d´eplacement mesur´e x est ´egal `

a xS_max, plus aucun d´eplacement suppl´ementaire n’est atteignable, alors xmax = xSmax.

Mais si x est ´egal `a sa valeur minimale absolue Amin, alors le d´eplacement maximal

Amax est atteignable, alors (xmax = Amax). Une fonction lin´eaire est alors choisie entre

ces deux points extrˆemes et une fonction similaire est obtenue pour xmin :

xmax =

xS_max(x − Amin) + Amax(xSmax− x)

xS

max− Amin

xmin =

xS_min(x − Amax) + Amin(xSmin− x)

xS

min− Amax

(5.12)

La temporisation d3 peut ˆetre ajust´ee pour augmenter la robustesse du contrˆoleur. Ici, la valeur d3 = 10 ms a ´et´e choisie.

R´esultats exp´erimentaux : la figure5.11pr´esente une ´evolution typique des places actives du contrˆoleur hybride avec pr´ediction du mod`ele. Les r´esultats g´en´eraux sont pr´esent´es sur la figure 5.12.

Le contrˆoleur hybride sans pr´ediction a des moins bonnes performances, en terme de temps de r´eponse, que le contrˆoleur hybride avec pr´ediction. N´eanmoins, en raison d’une mod´elisation simplifi´ee des boucles internes (par exemple `a t = 0.71 s), le contrˆoleur hybride sans pr´ediction atteint la valeur de consigne sans s´equence de prise d’´elan alors que le contrˆoleur avec pr´ediction force une s´equence de prise d’´elan inutile en raison des erreurs de mod´elisation. Le premier contrˆoleur est donc plus robuste aux erreurs de mod`ele, mais moins optimal que le second.

Il est ´evident que le formalisme math´ematique, `a mettre en œuvre pour ´etudier la stabilit´e et les performances de ce genre de commande, est cons´equent. C’est pourquoi ce travail n’a pu ˆetre conduit dans le cadre de cette th`ese, mais il reste un point d’´etude int´eressant `a poursuivre.