Duval (2004, p.175) defende que cada uma das operações relativas à modificação das figuras deve ser solicitada explícita e sistematicamente. É necessário propor exercícios que exijam tratamento figural, para isto é necessário levar em consideração três condições em relação à resolução dos exercícios propostos:
1) Não devem implicar nenhuma atividade de raciocínio que exija a utilização de definições ou teoremas.
2) Não devem implicar em mudança de dimensão na sequência de sub figuras. Ou seja, o trabalho com unidades de dimensão 2 deve preceder o tratamento sobre as unidades figurais de dimensão 1 e 0. A operação de reconfiguração permite esta condição.
3) A série de exercícios deve ser organizada em função de uma variação sistemática de fatores de visibilidade que facilitam e dificultam a apreensão operatória, reforçando a conduta de abdução.
São condições que pressupõe a classificação de diferentes tipos de figuras. Elas não se fundamentam em conceitos, mas sim em critérios semióticos e perceptivos da organização de unidades figurais elementares. (DUVAL, 2004, p. 176).
O exemplo a seguir, enunciado por Euclides, cumpre perfeitamente as duas primeiras condições.
Figura 18 – Atividade que requer a operação de reconfiguração.
Fonte: Duval (2004, p. 176)
Para “ver” a igualdade das áreas sombreadas, uma das maneiras é fazer a série de comparação das sub figuras complementares conforme a figura 19. A comparação é duvidosa perceptivelmente, pois como seus contornos são diferentes, não é possível sobrepor as duas sub figuras sombreadas.
Figura 19 – Desenvolvimento da apreensão do exercício
Fonte: Duval (2004, p.179)
É importante, para uma aprendizagem da apreensão operatória, o contato com diversos exercícios que exigem diferentes tipos de tratamento próprios ao registro das figuras, variando os fatores de visibilidade e uma classificação de todos os casos de figuras, de forma que contemple a terceira condição enunciada acima. (DUVAL, 2004, p. 178).
O exemplo a seguir exige uma modificação ótica que Duval (2012b, p. 289) chama de superposição em profundidade, que é característica das atividades de homotetia. Quando a figura objeto e a figura imagem estão superpostas, pode ser difícil percebê-las em perspectiva e mais difícil ainda ver os segmentos que definem os pontos homólogos (DUVAL, 2004, p. 179).
Figura 20 – Configuração homotética com superposição da figura objeto e da figura imagem.
Fonte: Duval (2004, p. 179)
As configurações homotéticas planas variam conforme três fatores (DUVAL, 2004, p. 180):
1) As posições respectivas das unidades figurais: separadas, adjacentes, recobertas parcialmente...
2) Existência ou não de simetria interna para as unidades figurais.
3) Centro de homotetia positivo ou negativo, interior ou exterior à relação entre figura objeto e figura imagem.
A figura 21 apresenta uma das diferentes configurações possíveis18, em que o centro de homotetia é exterior às unidades figurais, fazendo com que ressalte a percepção de um olhar em profundidade, diferente do que se percebe na figura 20 acima. E é negativa, projetando uma figura imagem invertida em relação à figura objeto. Figura 21– Configuração percebida em profundidade.
Fonte: Duval (2012b, p. 292)
Duval (2012b, p. 292) ressalta que certas configurações são percebidas, em um primeiro olhar, em profundidade, outras somente no plano e outras ainda são perceptivamente ambíguas, que podem ser muito bem vistas tanto em profundidade quanto no plano.
Para organizar uma aprendizagem de tipo tratamento figural para a operação de superposição em profundidade, é necessário levar em conta a variedade das configurações homotéticas planas que elas oferecem.
Em relação à aplicação do Teorema de Tales, Duval (2004, p. 181) apresenta duas configurações que cumprem diferentes condições de homotetia. Segundo o autor, os alunos têm mais êxito em problemas com a configuração I da figura 22. Isto porque a configuração II apresenta uma figura imagem invertida em relação à figura objeto. Figura 22 – Triângulos homotéticos.
Fonte: Duval (2004, p. 181)
Esta apropriação se mostra eficaz para a compreensão da homotetia, bem como para o seu ingresso em outras abordagens, como a noção de baricentro (LÉMONIDIS, 1990 apud DUVAL, 2012, p.203).
18Duval (2012b, 290) apresenta uma classificação sistemática dos diferentes casos de figuras na
representação de situações de homotetia no plano, extraída do trabalho de Lémonidis, E. C. Conceptio, Réalisationetrésultats d’une expérience d’enseignementdel’homothétie. Thèse ULP, Strasbourg, 1990, p.58,59.
A partir de exemplos como os que foram apresentados acima, Duval conclui que diversidade de operação para uma mesma figura constitui a riqueza e a complexidade heurística do registro das figuras geométricas. Para cada tipo de operação de modificação figural existem fatores específicos que fazem mais ou menos visível a possibilidade de operar sobre uma figura dada. Para que se compreendam as condições cognitivas de aprendizagem da Geometria, esses fatores são essenciais. (DUVAL, 2004, p. 182).
A partir de estudos dessas especificidades da aprendizagem da Geometria sob o ponto de vista cognitivo da Teoria dos Registros, o próximo passo é a organização desses elementos considerados por Duval indispensáveis no desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos, bem como a descrição metodológica dos tratamentos, análises e inferências realizadas a partir dos dados analisados nesta pesquisa.
4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DE COLETA E ORGANIZAÇÃO ANALÍTICA DOS DADOS – ANÁLISE DE CONTEÚDO
Trata-se de uma pesquisa qualitativa, cujos procedimentos sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das questões serão realizados com base em uma descrição analítica, em que os dados foram vistos sob um ponto de vista cognitivo, que leva em consideração gestos intelectuais específicos da atividade geométrica, e não de um ponto de vista matemático, que tem como foco de aprendizagem os conteúdos da Geometria. A fundamentação metodológica para o tratamento dos dados é sustentada pela Análise de Conteúdo de Laurence Bardin (2009). A escolha desta metodologia se dá por suas características que vão ao encontro dos objetivos da pesquisa a respeito de um desvendar crítico do conteúdo dos dados em questão. Permite fazer inferências por meio de análises, as quais procuram esclarecer as causas da mensagem ou as consequências que ela pode provocar. Os objetivos desta técnica, segundo Bardin (2009, p.29), são:
i) ultrapassagem da incerteza: o que se julga ver na mensagem (ou seja, na questão) estará lá efetivamente contido, podendo esta ‘visão’ muito pessoal, ser partilhada por outros?
ii) enriquecimento da leitura: se um olhar imediato, espontâneo, é já fecundo, não poderá uma leitura atenta, aumentar a produtividade e a pertinência?
Esses objetivos corroboram com os objetivos da pesquisa, no sentido de investigar que tipo de habilidade ou gestos intelectuais a atividade proposta exige do aluno, segundo uma análise cognitiva, além do conteúdo explícito no dado analisado. E ainda, apontar a relevância dos dados para o desenvolvimento das habilidades necessárias para o desenvolvimento do pensamento geométrico, ou seja, da aprendizagem da Geometria.
Segundo a autora, o foco de uma Análise de Conteúdo são as mensagens (comunicações), organizadas em categorias temáticas, com objetivo de manipulação de mensagens para confirmar os indicadores que permitam inferir sobre outra realidade que não a da mensagem (BARDIN, 2009, p. 24-46). As fases da análise de conteúdo se organizam em torno de três polos cronológicos: i) pré-análise; ii) exploração do material e descrição analítica; iii) tratamento dos resultados, inferência e interpretação.