Stratégie de commande

Dans ce chapitre nous allons présenter une synthèse H∞sur un écoulement profondément non-linéaire. La stratégie de contrôle est basée sur une structure de commande du type cascade implé-mentée itérativement. Comme il est possible de représenter les dynamiques principales de l'écoule-ment non-linéaire par une modélisation LTI basée sur les champs moyens, une synthèse LTI robuste dédiée, basée sur la synthèse H∞ structurée [3, 4, 2], a été développée. L'objectif est d'amener l'écoulement à ce que l'on appelle l'écoulement de base qui correspond à un écoulement linéaire autour du point xe stabilisé des équations de Navier-Stokes. Le problème est l'inuence de la non-linéarité qui devient prépondérante lorsque l'écoulement est loin de l'écoulement de base et donc du point xe. Tout d'abord il n'est pas facile de quantier facilement la notion de distance entre un écoulement de base que l'on cherche à atteindre et l'écoulement eectif pleinement développé

en boucle ouverte. On peut généralement constater que l'inuence des non-linéarités devient pré-pondérante au travers d'un comportement caractéristique d'un comportement non-linéaire, comme un équilibre dynamique basé sur une ou plusieurs fréquences fondamentales. Dans ce cas, il devient compliqué, voire impossible par un seul compensateur, d'amener cet écoulement vers le point xe. Un premier compensateur est alors synthétisé, mais en dépit de bonnes performances de celui-ci lorsqu'il est implémenté, on constate qu'il n'est pas capable de supprimer les oscillations de l'écoule-ment et que le nouvel écoulel'écoule-ment est attiré vers un nouvel équilibre dynamique. Cet autre équilibre dynamique est caractérisé par un modèle moyen diérent et il devient alors possible de synthétiser un second compensateur sur ce nouveau modèle. On peut ainsi procéder de façon itérative jusqu'à converger vers l'écoulement de base du point xe stabilisé par le compensateur. L'approche itérative est illustrée au travers d'un écoulement incompressible d'une cavité ouverte à Re = 7500, pour un écoulement initial quasi-périodique et donc profondément non-linéaire.

La seconde diculté est de traduire en langage linéaire par des pondérations sur les fonctions de transfert en boucle fermée les objectifs de la boucle fermée non-linéaire. Pour traiter ce problème il est nécessaire d'interpréter dans le domaine fréquentiel les deux principales spécications, à sa-voir la suppression des oscillations auto-entretenues dues aux non-linéarités et la convergence vers l'écoulement de base au point xe.

La troisième diculté est la convergence vers le point xe. En eet, initialement, l'écoulement non forcé est dans un état d'équilibre dynamique. Dans le même temps il est montré que le point xe des équations de Navier-Stokes est instable pour ce type d'écoulement. Si on souhaite converger vers le point xe, celui-ci doit être stable et donc stabilisé par le compensateur puisqu'il ne l'est pas initia-lement. Donc il est impératif de stabiliser ce point xe sans quoi aucune convergence vers ce dernier n'est possible. Donc il est attendu que par une atténuation des oscillations, le nouvel état d'équilibre se "rapproche" du point xe instable. Et que par robustesse de la loi, l'équilibre dynamique étant à proximité du point xe, le compensateur soit capable à la fois d'atténuer les oscillations mais aussi de stabiliser le point xe. Si ce dernier est stable on a donc un bassin d'attraction qui se crée autour, l'écoulement évoluant à proximité de ce dernier, il entre alors dans ce bassin pour converger vers le point xe stabilisé par le compensateur. On a atteint la dernière itération qui a permis de stabiliser notre écoulement. Il est fondamental de noter que si la stabilité du point xe est nécessaire elle n'est pas susante. En eet il est possible de synthétiser un compensateur qui stabilise le point xe mais qui ne permet absolument pas d'amener l'écoulement dans son bassin d'attraction. On a alors un nouvel équilibre dynamique qui se crée mais sans qu'il y ait convergence vers l'écoulement de base. Comme nous le verrons l'écoulement de base est atteint à l'issue de cinq itérations seulement. Nous allons détailler cette approche itérative. Supposons que nous ayons obtenu à l'issue de la 1ere itération un compensateur K1 capable de réduire l'amplitude des oscillations de l'écoulement. Malheureusement il n'a pas été capable de le stabiliser complètement, il est donc nécessaire de synthétiser un compensateur K0

2 tel que le compensateur K2 = K₁ + K0

2 soit capable d'amortir plus fortement les oscillations, voire de converger vers l'écoulement de base. On a donc dans le cas général une successions de lois de commande tel que :

K_m = ( 0, if m = 0, K0 1+ K0 2+· · · + K0 m, if m > 0, ^(3.11)

n n n n y + + y + + y + + y + + u (a) (b) (c) (d) w w K₁^′ u^′₁ u^′₁ w w K2 G⁰₀ G¹₁ G⁰₁ G¹₁ G⁰₁ G⁰₂ G²₂ + + t = t⁺₁ t = t⁻₂ t = t⁺₂ t = t⁻₃ K₁^′ K₁^′ u^′₂ u^′₂ K₁^′ =K1 K₂^′ K₂^′ u u = u^′₁ u = u^′_{1 G}1 0 G²₁

Figure 3.11  Représentation itérative sous forme de schémas blocs de la procédure de synthèse (a) A l'instant t = t+

1, K0

1 vient juste d'être inséré dans la boucle fermée. L'écoulement est encore décrit pas le modèle G0

0; (b) A t = t−

2 le nouvel écoulement avec le compensateur K1 := K₁⁰ a convergé vers le nouvel état moyen G1

1; (c) A t = t+ 2, K0

2 vient juste d'être inséré dans la boucle fermée. L'écoulement est encore décrit pas le modèle G1

1; (d) A t = t−

3 le nouvel écoulement avec le compensateur K2 := K₁⁰ + K₂⁰ a convergé vers le nouvel état moyen G2

2. L'objectif est alors de synthétiser une loi de commande K0

m+1 telle que Km+1 = Km+ K_m+1⁰ conduise à des oscillations plus faibles voire nulles. L'idée clé est de considérer l'écoulement de base interconnecté à un compensateur, interconnexion qui correspond donc à une fonction de transfert que l'on peut écrire GKm

q_m. Pour alléger cette écriture, on notera : G^j_i = G^Kj

q_i . (3.12)

A chaque étape m + 1, le modèle à contrôler est par conséquent noté Gm

m. L'objectif est alors de synthétiser un compensateur K0

m+1 telle que la boucle fermée objectif

G^m+1_m = ^G m m 1− Gm mK0 m+1 (3.13) satisfasse aux spécications, et donc plus concrètement, permettent de réduire voire de supprimer les oscillations sur la sortie y. Quand un compensateur K0

m+1 est inséré, l'écoulement tend vers un nouvel équilibre, caractérisé par un nouveau état moyen qm+1. Le nouveau compensateur est donc K_m+1 = K_m+K0

m+1. Le système a donc évolué de Gm+1

m à Gm+1

m+1. Le processus de synthèse itérative se poursuit jusqu'à la convergence vers le point xe stabilisé.

Cette approche peut ressembler à une synthèse auto-séquencée mais elle est à bien des égards très diérente [62] et [47]. Tout d'abord dans le cas de la synthèse LPV ou auto-séquencée, on est censé connaître l'évolution du système en fonction d'un paramètre que l'on mesure. On a donc une forme paramétrée du modèle. Ce qui n'est absolument pas le cas ici puisqu'on ne connaît pas par avance vers quel modèle moyen l'écoulement va converger. Il est à chaque fois nécessaire d'attendre le nouvel équilibre dynamique pour pouvoir l'identier. Autre diérence de taille, il s'agit d'une approche que l'on peut qualier de discrète ou pas à pas, ce qui n'est pas le cas de l'approche auto-séquencée classique. Et ceci pour la raison suivante. La notion de fonction de transfert entre n et y n'est pas appropriée pour décrire dans le cas général un comportement non-linéaire. La représentation linéaire que nous utilisons est basée sur les champs moyens et donc le modèle LTI moyen qui en découle. Or cette représentation par la moyenne des signaux n'a de sens que dans deux cas de gures suivants :

 Comme nous l'avions indiqué précédemment, la représentation par les champs moyens sup-pose la stationnarité de la moyenne temporelle. En bref cette moyenne ne doit plus évoluer au cours du temps. En théorie cela suppose t → ∞. En pratique il faut que t soit susam-ment grand pour que la valeur moyenne des signaux évoluent très peu donc soit proche de la valeur théorique qui correspond à l'espérance mathématique. Dans ce cas, on peut calculer un modèle moyen qui, idéalement, capture les dynamiques principales de notre écoulement non-linéaire ;

 L'autre cas où le modèle moyen est valide est le cas hors équilibre au moment où on insère le compensateur K0

m+1. A ce moment là, et pendant quelques secondes où l'écoulement n'évolue pas, qm reste valide durant ce laps de temps relativement court. Mais entre le moment où l'écoulement commence à évoluer vers un nouvel état d'équilibre suite à l'ajout du compensateur et le moment où ce nouvel état est atteint il n'est pas possible d'utiliser une approche par les champs moyens pour caractériser ce transitoire. Donc on n'a pas à notre disposition par les champs moyens de paramétrisation du type LPV pour décrire le transitoire. On peut toujours utiliser une formulation LPV mais celle-ci n'a aucune chance de capturer la dynamique du transitoire de l'écoulement non-linéaire et n'aurait donc pas de sens physique.

Finalement chaque fonction transfert Gj

i peut se réécrire sous la forme suivante :

G^j_i = ^G 0 i 1− G0 i(K₁⁰ +· · · + K0 j) (3.14) G0

i représente l'écoulement moyen seul et donc non forcé et les compensateurs K0 1à K0

j implémentées en cascade ou parallèle.

Maintenant que nous avons explicité la stratégie globale il est important de dénir plus précisé-ment ce que l'on cherche à faire à chaque itération. Nous avons deux spécications essentielles :

 Pour atténuer les oscillations auto-entretenues l'idée est de procéder à du contrôle actif sur les modes résonnants. Par rapport aux paragraphe précédents seule la terminologie change. En eet, précédemment pour les modes structuraux de faible amortissement, on parlait de modes souples ou exibles. Ici on appelle ces modes des modes résonnants, car ils correspondent à de pics d'amplication très étroits dans le domaine fréquentiel. Ces modes ont des niveaux d'amortissement très faibles et ils sont généralement placés proches de l'axe imaginaire.

Comme nous l'avons expliqué auparavant un contrôle actif permet à la fois de réduire ces pics et de les éloigner de l'axe imaginaire en augmentant leur amortissement, permettant ainsi une certaine robustesse de ces modes en boucle fermée. C'est ce que l'on appelle un contrôle actif ou en phase ;

 Il a été montré dans [65] que pour garantir que l'écoulement converge bien vers un le point xe stabilisé il est nécessaire d'avoir K(0) ≈ 0 ou idéalement K(0) = 0. Sans quoi on n'a pas de certitude sur l'unicité du point xe et sur la convergence vers ce dernier.