Le troisième standard utilisé pour modéliser l’impact des pollutions et des
compensa-tions des auto-interférences, est le standard LTE basé sur une modulation OFDM, dont
le paradigme repose sur la transmission d’un bloc constitué d’informations modulées sur
des porteuses orthogonales, et espacées d’un écart fréquentiel ∆f. On considère alorsnRe
le nombre de porteuses d’informations en parallèle. La mise en forme OFDM est
carac-térisée par le nombre de porteuses totales, nFFT qui est supérieur ou égal au nombre de
porteuses d’information. La différence entre ces deux paramètres induit le nombre de
por-teuses remplies de 0. Par convention, les porpor-teuses nulles sont placées de chaque côté du
spectre (permettant de garantir un bas niveau de puissance émis en dehors de la bande
d’intérêt) ainsi qu’à la porteuse centrale, qui est à la fréquence nulle en bande de base.
Chacune des porteuses est constituée d’une séquence binaire mise en forme par une
modulation quelconque (dans notre cas, on considère une modulation QPSK classique),
et l’opération qui consiste à placer les séquences QPSK sur les porteuses orthogonales se
fait par l’intermédiaire d’une étape de FFT inverse. En conséquence, un symbole OFDM,
constitué des symboles QPSK ak (valant 0 si la porteuse n’est pas allouée) aura la forme
discrète suivante :
x(m, q) =
n
FFT−1
X
k=0
ak(m)e2jπ
nFFTkq, q= [0· · ·nFFT−1], (A.3)
oùm désigne l’indice du symbole OFDM considéré, constitué denFFT points indexés par
la variable q.
L’étape inverse, qui permet à partir du symbole QPSK de récupérer les nRe symboles
QPSK utiles, est réalisée par une étape de FFT. Cette opération est bijective et permet
la récupération des symboles initiaux (en absence d’influence du canal ou d’interférences).
Par ailleurs, dans l’objectif de ne pas avoir d’interférences entre deux symboles OFDM
successifs, et de conserver l’orthogonalité entre les porteuses (en maintenant une
convo-lution circulaire), on ajoute un préfixe cyclique à chaque symbole OFDM, qui consiste à
recopier la fin du symbole au début. Le synoptique global de la chaîne est représenté sur
la figure A.7.
NC symboles
QAM Zero-padding
IFFT sur
N points
Insertion
Préfixe
Cyclique
Symbole
LTE
Symbole
LTE
Retrait
Préfixe
Cyclique
FFT sur
N points
Retrait du
zéro-padding
NC symboles
QAM
Figure A.7 – Synoptique de la mise en forme et du décodage d’un signal OFDM
En conséquence, la mise en forme d’un signal selon le standard LTE est paramétrée
par les différentes grandeurs suivantes :
Le nombre de porteuses d’information, noté nRe,
La taille de la FFT, notée nFFT. Cette taille est supérieure ou égale au nombre de
porteuses d’information, et les porteuses non allouées (si nFFT > nRe) sont remplies
de 0. Par convention, dans notre cas, on aura toujours nFFT > nRe et la porteuse
située à la fréquence nulle n’est pas allouée.
La taille du préfixe cyclique, nommé nCp
Dans le cadre de cette thèse, on sera amené à travailler sur des signaux OFDM de
paramètres variables, dont les valeurs sont issues de la norme LTE qui a donné lieu
au standard de communication de quatrième génération. Si on considère uniquement ici
les paramètres de la couche physique, on présente les valeurs prises par les différents
paramètres pour les 6 différentes bandes des signaux LTE dans le tableau A.1.
Bande
Passante
20
MHz
15
MHz
10
MHz 5 MHz 3 MHz
1.4
MHz
Fréquence
d’échantillonnage
(MHz)
Fe 30.72 23.04 15.36 7.68 3.84 1.92
Taille FFT nFFT 2048 1536 1024 512 256 128
Nombre de
sous-porteuses nRe 1200 900 600 300 180 72
Taille
préfixe-cyclique ncp 144 108 72 36 18 9
Démonstrations associées au
suppresseur de Spur
B.1 Performance asymptotique en présence de
déca-lage de fréquence et de bruit de phase
Cette appendice a pour objectif de démontrer l’expression théorique de la performance
du suppresseur numérique de spur, en présence d’imperfections (décalage de fréquence, et
bruit de phase modélisé par un modèle Brownien). Les performances sont présentées en
(3.19).
On rappelle que les performances asymptotiques sont définies par le Rapport Signal
plus Bruit sur Interférence (RSBI), qui permet de définir uniquement les performances
de l’étage de compensation, sans prendre en compte les contributions annexes (tel que
le bruit additif par exemple). Il s’exprime comme le rapport entre l’erreur quadratique
moyenne [définie à partir de (3.7)]Pǫ
spuret la puissance du signal bruité σ2
x
b(xb(n)centré),
comme le stipule (3.8) :
RSBIcomp=−10 log10
Pǫ
spurσ2
x
b. (B.1)
Le calcul des performances nécessite l’introduction de deux grandeurs associée à
l’al-gorithme LMS :
– Le coefficient optimal wopt(n) qui annule parfaitement la spur à chaque instant,
introduit dans (3.10),
– Le désalignement qui exprime l’écart entre le coefficient récursif estimé par
l’algo-rithme LMSw(n), et la solution optimale. Ce coefficient est notév(n)et est introduit
dans (3.15).
Le problème du calcul de la performance asymptotique de l’algorithme LMS est alors
équivalent au calcul du désalignement quadratique moyenPv via l’expression (3.18), dont
on rappelle l’expression ci-dessous :
RSBIcomp=−10 log10
B2Pv
σ2
x
b. (B.2)
On rappelle les hypothèses réalisées dans la partie 3.2.3.1 :
161
⋆ Le décalage de fréquence δω ≪1,
⋆ La variance du bruit d’état du bruit de phase σ2
ξ ≪1,
⋆ Le signal utile bruité xb(n) est supposé blanc, gaussien, et de variance σ2
x
b, et de
moyenne nulle.
Au vu de ces hypothèses, l’expression récursive du coefficient optimal wopt(n), introduite
dans (3.11), peut être approchée par
wopt(n+ 1)≈wopt(n) +wopt(n)[jξ(n) +jδω]. (B.3)
Le calcul du désalignement quadratique moyen se fait par l’intermédiaire de son
ex-pression récursive. En effet, du fait de la définition dev(n)(3.15), de l’expression récursive
de la mise à jour du coefficient w(n) (3.23), et de (B.3), on a
v(n+ 1) = w(n+ 1)−wopt(n+ 1)
= w(n) +µu∗(n)xb(n)−µB2v(n)−wopt(n)
−wopt(n)[jξ(n) +jδω]
= [w(n)−wopt(n)] +µu∗(n)xb(n)]
−µB2v(n)−wopt(n)[jξ(n) +jδω]
= (1−µB2)v(n) +µu∗(n)xb(n)−wopt(n)[jξ(n) +jδω] . (B.4)
La mise à jour du LMS qui est une méthode de gradient stochastique implique que la
séquence des v(n)est une séquence blanche. En supposant la décorrélation entre le
désali-gnementv(n), le signal bruité xb(n), et le bruit d’état du bruit de phase ξ(n), l’expression
du désalignement quadratique moyen montre une dépendance entre le désalignement et
l’évolution du coefficient optimalwopt(n). Par ailleurs, via (3.11), on a|wopt(n)|2 = AB
22, et
on obtient donc
E[|v(n+ 1)|2] = (1−µB2)2E[|v(n)|2] +µ2B2σx2
b+ A
2
B2(σ2ξ+δω2) +δω(1−µB2)E[|v(n)wopt(n)|] . (B.5)
Par construction, le désalignement quadratique moyen s’exprime à partir deE[|v(n)|2],
et asymptotiquement on a Pv =E[|v(n)|2] =E[|v(n+ 1)|2]. En conséquence,
Pv = (1−µB2)2Pv+µ2B2σx2
b+ A
2
B2(σ2ξ +δω2) +δω(1−µB2)E[|v(n)wopt(n)|]. (B.6)
Elle est donc fonction des différents paramètres du problème, et notamment des
para-mètres des imperfections, et fonction du terme E[|v(n)wopt(n)|]exprimant la dépendance
entre le filtre optimal et le désalignement qu’il faut exprimer analytiquement.
Il est nécessaire à cet endroit de procéder à une séparation entre la partie réelle et la
partie imaginaire, ce qui alourdit les notations. On peut alors montrer que l’expression
du coefficient E[|v(n)wopt(n)|]se met sous la forme
E[|v(n)wopt(n)|] = 2δωA
2(µB2δ2
ω−δ2
ω+µB2)
B2(µ2B4δ2
ω−2µB2δ2
ω+µ2B4) . (B.7)
Pour arriver à ce résultat, il faut exprimer le module en linéarisant le produitv(n)wopt(n).
On montre alors que le terme s’exprime à partir de E[|vQ(n)woptI(n)|]E[|vQ(n)woptQ(n)|]
et de (ou •I et •Q dénotent respectivement la partie réelle et imaginaire de la grandeur
considérée). En utilisant les relations de récurrence ( à partir des expressions associée à la
partie réelle et la partie imaginaire de v(n)), et de wopt(n)), on obtient alors un système
d’équations linéaires dont la solution donne (B.7).
Dans le document
Méthodes de traitement numérique du signal pour l'annulation d'auto-interférences dans un terminal mobile
(Page 184-188)