Le point d’´equilibre x(t) est exponentiellement stable s’il existe δ >0, ε > 0 et λ tels que :
||x0 −x∗ ||6λ =⇒||x(t)−x∗ ||6ε||x∗−x0 ||e−δ(t−t0), ∀t>t0. (3.4) Dans ce cas, l’´etat x(t)converge vers le point d’´equilibre d’une mani`ere exponen-tielle et la variable δ caract´erise la vitesse de cette convergence.
D´efinition 3.3.6 (Stabilit´e globale [26])
Le point d’´equilibre est globalement (asymptotiquement ou exponentiellement) stable, si les conditions de stabilit´e pr´ec´edentes sont v´erifi´ees pour n’importe quelle condition initiale dans Rn.
Figure 3.1 – Stabilit´e par la fonction de Lyapunov.
3.3.2 La th´ eorie de Lyapunov
La th´eorie de base de Lyapunov comprend deux m´ethodes introduites par Lya-punov, la m´ethode indirecte et la m´ethode directe.
( La m´ethode indirecte, ou m´ethode de lin´earisation, affirme que les propri´et´es de stabilit´e d’un syst`eme non lin´eaire au voisinage imm´ediat d’un point d’´equilibre
sont essentiellement les mˆemes que celles de son approximation lin´earis´ee. La m´ethode sert de justification th´eorique `a l’utilisation du contrˆole lin´eaire pour les syst`emes physiques, qui sont toujours intrins`equement non lin´eaires.
( La m´ethode directe est un outil puissant pour l’analyse des syst`emes non li-n´eaires, et c’est pourquoi l’analyse dite de Lyapunov fait souvent r´ef´erence `a la m´ethode directe. La m´ethode directe est une g´en´eralisation des concepts
´energ´etiques associ´es `a un syst`eme m´ecanique : le mouvement d’un syst`eme m´ecanique est stable si son ´energie m´ecanique totale diminue en permanence [27].
En utilisant la m´ethode directe pour analyser la stabilit´e d’un syst`eme non lin´eaire, l’id´ee est de construire une fonction ´energ´etique scalaire (une fonction de Lyapunov) pour le syst`eme, et de voir si elle diminue. La puissance de cette m´ethode vient de sa g´en´eralit´e : elle est applicable `a tous les types de syst`emes de contrˆole, qu’ils soient variables ou non dans le temps, `a dimension finie ou `a dimension infinie. `A l’inverse, la limite de la m´ethode r´eside dans le fait qu’il est souvent difficile de trouver une fonction de Lyapunov pour un syst`eme.
3.3.3 Stabilit´ e au sens de Lyapunov
Bien que la m´ethode directe de Lyapunov soit `a l’origine une m´ethode d’ana-lyse de stabilit´e, elle peut ˆetre utilis´ee pour d’autres probl`emes de contrˆole non lin´eaire. Une application importante est la conception de contrˆoleurs non lin´eaires.
L’id´ee est de formuler d’une mani`ere ou d’une autre une fonction scalaire positive des ´etats du syst`eme, puis de choisir une loi de contrˆole pour faire diminuer cette fonction[28]. Un syst`eme de contrˆole non-lin´eaire ainsi con¸cu sera garanti d’ˆetre stable. Une telle approche de conception a ´et´e utilis´ee pour r´esoudre de nombreux probl`emes de conception complexes, par exemple en robotique et en contrˆole adap-tatif. La m´ethode directe peut ´egalement ˆetre utilis´ee pour estimer la performance d’un syst`eme de contrˆole et ´etudier sa robustesse.
Th´eor`eme 3.3.1 (Stabilit´e au sens de Lyapunov [26])
Soit x∗ = 0 un point d’´equilibre du syst`eme (3.1) et D ∈Rn contenant x∗ = 0.
s’il existe une fonction V de classe C1 telle que :
V(0) = 0 et V(x)>0 dans D\ {0} (3.5)
alors x∗ = 0 est asymptotiquement stable.
3.4 Principe de la commande non-lin´ eaire par P D
La repr´esentation par quaternion est bas´ee sur le fait que toute rotation d’un corps rigide peut ˆetre d´ecrite par une seule rotation autour d’un axe fixe. Cette repr´esentation globalement non singuli`ere de l’orientation est donn´ee par le vecteur (q, q0)T avec [23] :
q= ˆksin(γ
2), q0 =cos(γ
2) (3.8)
o`u γ est l’angle de rotation ´equivalent autour de l’axe d´ecrit par le vecteur unit´e ˆk = (ˆk1,kˆ2,kˆ3), soumis `a la contrainte :
qTq+q02 = 1 (3.9)
La repr´esentation par quaternion contient une ambigu¨ıt´e de signe (c’est-`a-dire(q, q0) et (−q,−q0) conduisent `a la mˆeme orientation) qui peut ˆetre r´esolue en choisissant les ´equations diff´erentielles suivantes :
S(q) : est une matrice antisym´etrique.
S(q) =
Notre objectif est de stabiliser le point d’´equilibre(φ, θ, ψ,Ω) = 0, ouR =I,Ω = 0. Cela peut ˆetre r´ealis´e en stabilisant les deux points d’´equilibres (q = 0, q0 =
±1,Ω = 0) de (2.40)et (3.10).
Puisque q0 = ±1 correspond `a γ = (0,2π) il est clair que c’est le mˆeme point physique. Ainsi, les deux points d’´equilibre (q= 0, q0 =±1,Ω = 0), en r´ealit´e est un point d’´equilibre physique unique correspondant `a (R=I,Ω = 0).
La figure (3.2) est une illustration de la commande non lin´eaire dont l’erreur est en quaternion.
Figure 3.2 – Illustration de la commande par quaternion.
Dans la suite, les angles d’Euler et l’angle de rotation ´equivalent γ sont prises entre −π etπ, ce qui implique que 0≤q0 ≤1.
Nous consid´eronsτacomme une entr´ee de commande `a concevoir pour la stabilisation du Quanser.
V =q q+ (q0−1) + 2
Ω˜ Γ3 JΩ˜ (3.11)
Pour assurer les conditions de Lyapunov, on consid`ere la loi de commande sui-vante :
τa = Ω∧JΩ +Mgh+JΩ˙¯ −Γ2Ω˜−Γ3q (3.12) o`u
Ω˜ = Ω−Ω,¯ Ω=−Γ¯ 1q et Ω=˙¯ −Γ1q˙ =−1
2Γ1(q0I +S(q))Ω avec :
( Γ1 est une matrice3×3 sym´etrique d´efinie positive ;
( Γ2,Γ3 sont des matrices 3×3diagonales d´efinies positives dans le cas o`uJ est diagonale ;
( Γ2 est une matrice 3×3 sym´etrique d´efinie positive et Γ3 = αI, o`u α est un scalaire positif, dans le cas o`u J n’est pas diagonale.
Dont la d´eriv´ee temporelle de V˙, en prenant en consid´eration les points (2.40), (3.9), et (3.12) est donn´ee par :
V˙ =−qTΓ1q−Ω˜TΓ−13 Γ2Ω˜ (3.13) ce qui implique que les variables d’´etat (2.40)et(3.10)sont Born´ees et lim
t→+∞
Ω(t)˜ =
t→+∞lim q(t)=0. Cela implique que lim
t→+∞Ω(t)= lim
t→+∞
Ω(t)¯ =0. Ainsi, de(3.9)on peut conclure que lim
t→+∞q0(t) = ±1 (`a noter que q0 = −1 est exclue puisque les angles sont pris de telle sorte que 0≤q0 ≤1).
Maintenant, montrons la stabilit´e exponentielle. Du fait que 0 ≤ q0 ≤ 1 et (3.9), nous avons
kqk2 = 1−q02 ≥1−q0 (3.14) Par cons´equent,V peut ˆetre born´e comme suit :
V ≤max{2,λmax(Γ−13 J)
2 }(kqk2+kΩk˜ 2) (3.15) V˙ peut ˆetre born´ee comme suit :
V˙ ≤ −min{λmin(Γ1), λmin(Γ−13 Γ2)}(kqk2+kΩk˜ 2) (3.16)
Ainsi, `a partir des ´equations(3.15) et(3.16), on peut conclure que V˙ ≤ −βV, o`u
β = min{λmin(Γ1), λmin(Γ−13 Γ2)}
max{2,0.5λmax(Γ−13 J)} (3.17) avec λmin(∗) etλmax(∗) sont respectivement, les valeurs propres minimale et maxi-male de (∗).
Donc le point d’´equilibre (R=I,Ω = 0) est exponentiellement stable.
Remarque 1
Si l’on consid`ere le syst`eme tel que Ω est suffisamment petit et R proche de l’identit´e, les termes de Coriolis et de gyroscopique peuvent ˆetre n´eglig´es dans la loi de contrˆole (3.12) pour obtenir le contrˆoleur stabilisateur local et moins complexe suivant :
τa =JΩ˙¯ −Γ2Ω˜ −Γ3q (3.18) Notez que la loi de contrˆole (3.12) exige la compensation des couples de Coriolis et des couples gyroscopiques impliquant l’inertie du Quanser J et l’inertie du rotor Jr.