Stabilit´e des solutions

La d´efinition de stabilit´e est historiquement charg´ee de nombreuses contributions, les plus notoires ´etant associ´ees `a Lyapunov et Poincar´e.

On ´evoquera une premi`ere d´efinition intuitive, dite stabilit´e born´ee, ´enon¸cant qu’une so-lution x(t) est stable si et seulement si :

∃L ∈ R⁺ tq ∀t ∈ R ||x(t)|| ≤ L . (1.14)

Peu ´evidente `a utiliser en pratique, on lui pr´ef´erera la d´efinition locale donn´ee par Lyapunov. La stabilit´e d’une solution x(t) selon Lyapunov s’exprime de la mani`ere suivante :

∀ε > 0 ∃η > 0 tq ∀y(t) solution, [ ||x(t0) − y(t0)|| ≤ η ⇒ ∀t ≥ t0 ||x(t) − y(t)|| < ε ] . (1.15) Ainsi, toute solution y(t) suffisamment proche `a l’instant t<sub>0</sub> d’une solution stable au sens de Lyapunov x(t) restera dans son voisinage. Si l’on consid`ere y(t) comme une perturbation de la solution stable x(t), on en d´eduit qu’elle reste confin´ee dans un tube de ligne moyenne x(t) et de rayon ε.

On d´efinira une solution x(t) comme ´etant asymptotiquement stable si elle est stable au sens de Lyapunov et que lim

t→∞ ||x(t) − y(t)|| = 0. Cette d´efinition fait tendre toute perturbation de la solution stable x(t) vers z´ero. C’est cette approche perturbative qui sera pr´ef´erentiellement exploit´ee pour le calcul num´erique de la stabilit´e de points fixes ou de solutions p´eriodiques.

Stabilit´e de Poincar´e Les notions de stabilit´e jusqu’ici introduites pr´esentent certaines la-cunes vis-`a-vis du cas des solutions p´eriodiques d’un syst`eme dynamique. Des contre-exemples physiques classiques sont les solutions p´eriodiques de syst`emes libres non amortis, pr´esentant une relation de d´ependance fr´equence-amplitude. Pour des conditions initiales proches, la variation de fr´equence entre deux solutions p´eriodiques x(t) et y(t) permet d’exhiber des temps t_k tels qu’elles ne sont plus “voisines”, i.e. ∀ε ∃tk ||x(tk) − y(tk)|| ≥ ε.

Ce constat a amen´e Poincar´e `a d´efinir une stabilit´e dite orbitale, li´ee aux propri´et´es g´eo-m´etriques des trajectoires suivies par les solutions dans l’espace des phases. En reprenant les notations pr´ec´edentes, la stabilit´e orbitale de x(t) se d´efinit de la mani`ere suivante :

∀ε > 0 ∃η > 0 tq ∀y(t) solution [ ||x(0)−y(t1)|| ≤ η ⇒ ∃t2, t₃tq ||x(t2)−y(t3)|| < ε ] . (1.16) La recherche pratique de la stabilit´e au sens de Poincar´e requiert l’utilisation des outils de visualisation des trajectoires des solutions que peuvent ˆetre les portraits de phase ou les sections de Poincar´e.

1.4.2.a Stabilit´e des points fixes

Nous avons vu que les points fixes, `a l’instar des cycles limites, sont des objets essentiels `

a la d´etermination du comportement du syst`eme en r´egime permanent. Par exemple, on pourra chercher `a visualiser des bassins d’attraction, qui sont l’ensemble des conditions initiales conver-geant vers une solution stable. Une telle investigation n´ecessite une d´efinition de la stabilit´e des points fixes.

On n’abordera pas dans ce manuscrit l’analyse de stabilit´e via l’obtention et l’utilisation de fonctions de Lyapunov. On pourra se r´ef´erer `a l’ouvrage [48] pour aller plus loin.

La d´etermination pratique et exploitable num´eriquement de la stabilit´e des points fixes est centr´ee autour d’une approche perturbative de l’´equilibre. Soit y₀ solution de type point fixe pr´ealablement d´etermin´ee. On consid`ere une solution perturb´ee y(t) = y0+ z(t) inject´ee dans le syst`eme non lin´eaire de l’Eq. (1.1), avec z(t) = o(y(t)). En d´eveloppant `a l’ordre 1 par rapport `

a z, on obtient alors le syst`eme tangent suivant : ˙z = ^∂F

∂y^{(y0, t)z = Az , (1.17)}

avec A matrice jacobienne ´evalu´ee au point fixe y₀. En diagonalisant cette matrice, et en notant A = P DP−1 avec D diagonale, on peut ´ecrire la solution du syst`eme tangent (1.17) passant par z<sub>0</sub> `a t = t₀ :

z(t) = e^A(t−t0) z₀ = P e^D(t−t0)P⁻¹ z₀. (1.18) La matrice eD(t−t0) est une matrice diagonale dont les valeurs sont eλi(t−t0), avec λi ieme valeur propre de A. Le comportement asymptotique de la perturbation est r´egi par le signe de la partie r´eelle des valeurs propres λi. Les vecteurs propres issus de la diagonalisation pr´ec´edente formant une base de RN, on peut d´ecomposer l’espace suivant la stabilit´e des sous-espaces propres en une somme directe E_s⊕ Ei⊕ Ec. Le sous-espace stable E_sest appel´e vari´et´e stable, le sous-espace instable Ei est appel´e vari´et´e instable, tandis que Ec est appel´e vari´et´e centr´ee, chacun des sous-espaces ´etant g´en´er´e respectivement par les vecteurs propres associ´es `a une partie r´eelle de valeur propre n´egative, positive, ou nulle.

Les vari´et´es stable et instable permettent de statuer sur la stabilit´e du point fixe. Une solution dont la vari´et´e instable est non vide sera instable. On appellera solution hyperbolique une solution dont la vari´et´e centr´ee est vide (Ec = ∅). En gardant `a l’esprit les consid´erations pr´ec´edentes, la Fig.1.7 illustre l’ensemble des cas de stabilit´e de points fixes.

E_c = ∅ E_c 6= ∅

E_c

Point non hyperbolique

marginalement stable/instable

(Si ∃i tq Im(λi) 6= 0 focus sinon nœud) Centre E_i= ∅ et Es= ∅ E_i6= ∅ et Es6= ∅ Point selle instable E_i E_s Cas Ei= ∅ Cas Ei6= ∅ Nœudstable/instable

Foyerstable/instable

∀ i I m (λ i ) = 0 ∃ i I m (λ i ) 6= 0

Figure1.7 – Sch´ema des portraits de phase des points fixes. Sens des fl`eches : temps croissant.

1.4.2.b Stabilit´e d’une solution p´eriodique – Th´eorie de Floquet

La d´etermination de la stabilit´e des solutions p´eriodiques part d’une d´emarche perturbative analogue `a celle utilis´ee pour les points fixes. On s’int´eresse `a une solution perturb´ee y(t) = y_p(t) + z(t) du syst`eme r´egi par l’Eq. (1.1), avec yp(t) solution T -p´eriodique de ladite ´equation et z(t) = o(yp(t)). Le d´eveloppement `a l’ordre 1 aboutit `a l’´equation lin´earis´ee suivante :

˙z = ^∂F

∂y^{(yp(t), t)z = A(t)z , (1.19)}

avec A(t) matrice jacobienne ´evalu´ee en y_p(t). L’Eq. (1.19) constitue un syst`eme diff´erentiel lin´eaire `a coefficients p´eriodiques, de p´eriode T . Sa r´esolution rentre dans le cadre de la th´eorie de Floquet, dont nous allons donner quelques ´el´ements utiles `a la d´etermination de la stabilit´e. Ce syst`eme diff´erentiel lin´eaire poss`ede N solutions ind´ependantes zi compil´ees dans une matrice Z(t) = [z₁(t), · · · , zN(t)], avec Z(t) lui-mˆeme solution de l’Eq. (1.19). Or, par T -p´eriodicit´e de Z(t), la matrice Z(t + T ) est ´egalement solution, et doit donc s’exprimer comme combinaison lin´eaire de la base de solution qu’est Z(t), via une matrice constante not´ee ΦF. Ainsi :

Z(t + T ) = Z(t)Φ_F. (1.20)

ΦF est appel´ee matrice de monodromie. Cette derni`ere n’est pas unique car d´ependante du choix de syst`eme fondamental de solutions Z(t). On peut ainsi poser Z(0) = I_N identit´e d’ordre

N , et obtenir Z(T ) = ΦF. La matrice de monodromie peut alors ˆetre obtenue par int´egration

temporelle sur une seule p´eriode T , `a partir de N conditions initiales lin´eairement ind´ependantes que sont les z<sub>i</sub>(0) = [0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0]T (avec le “1” `a la ieme position).

En diagonalisant ensuite ΦF (ΦF = P DFP⁻¹, avec DF matrice diagonale de termes ρi) et en appliquant le changement de variable Z(t) = V (t)P−1, on obtient V (t + T ) = V (t)D_F, ou encore ∀ 1 ≤ i ≤ N vi(t + T ) = ρiv_i(t). Par r´ecurrence, on en d´eduit :

∀m ≥ 0 ∀ 1 ≤ i ≤ N vi(mT ) = ρ^m_i v_i(0) . (1.21) L’´etude de stabilit´e est donc ramen´ee `a l’analyse des normes des valeurs propres |ρi| de la matrice de monodromie. On nomme ces valeurs propres des multiplicateurs de Floquet. Une direction propre i appartiendra au sous-espace stable ou au sous-espace instable respectivement si |ρi| < 1 ( lim

t→∞ v_i(t) = 0) ou si |ρi| > 1 ( lim_t→∞ v_i(t) = +∞). Le sous-espace centr´e est g´en´er´e par le vecteur propre dont le module de la valeur propre |ρi| vaut 1. On peut montrer que dans le cadre des syst`emes autonomes, la vari´et´e centr´ee contient toujours le vecteur propre associ´e `a la valeur propre 1 [58]. Cette valeur sera donc exclue de l’analyse pratique de stabilit´e.

On notera que si ρi = 1, la solution vi(t) est T -p´eriodique, et que si ρi = −1, la solution v_i(t) est 2T -p´eriodique (doublement de p´eriode).