Stabilité structurale de l'état de référence

sont donc, si les modules G et K sont nis,

−1 < ν < 1 2

Il est à noter que les corps élastiques connus vérient tous ν ≥ 0, bien que des valeurs négatives ne soient pas absurdes sur le plan énergétique. Le cas extrême K = ∞se rencontre dans les corps incompressibles, au rang desquels on classe généralement le caoutchouc. Le fait que K soit inni entraîne quelques parti- cularités qui nécessitent, dans les méthodes numériques, un traitement spécial [37, 13, 16, 15].

4.4 Stabilité structurale de l'état de référence

Il faut se garder de croire que la stabilité locale dénie ci-dessus implique la stabilité structurale dans le cas général [36]. Ceci n'est vrai que dans le cas de la linéarisation géométrique (petits déplacements). Dans le cadre des grands déplacements, la non-linéarité des déformations en termes des déplacements peut être source d'instabilité. L'étude générale de la stabilité fera l'objet d'un chapitre spécial. On pourra d'ailleurs consulter à ce sujet des ouvrages spécialisés [58, 86]. Nous remarquerons cependant, que, le plus souvent, la conguration de ré- férence est un état d'équilibre stable. Il faut entendre par là que

U (δu) − U0≥ 0 (4.23)

l'égalité ne pouvant avoir lieu que si δui représente un déplacement de corps ri-

gide. Cette situation implique un certain nombre de faits que nous allons mettre en évidence. A cette n, développons la densité d'énergie de déformation sous la forme

W (δu) = W0+ δW +

1 2δ

2_{W + ...}

où apparaissent la variation première et la variation seconde. Par intégration, on obtiendra U (δu) = U0+ δU + 1 2δ 2 U + ... La condition d'équilibre, en l'absence de charge, s'écrit

64 CHAPITRE 4. CORPS HYPERÉLASTIQUES La condition de stabilité, déduite de (4.23), sera, au troisième ordre près,

δ2U ≥ 0 _(4.25)

l'égalité n'ayant lieu que si δui est un déplacement de corps rigide.

Calculons explicitement la variation première. On a, dans le cas général, δW = s0_ijδγij+ Cijklγijδγkl

et, l'état de référence étant déni par γij= 0, il vient

δU = Z

V

s0_ijδγijdV = 0 (4.26)

quel que soit le champ de déplacements virtuels. On reconnaît l'équation des travaux virtuels en l'absence de charge, ce qui signie que les contraintes rési- duelles sont nécessairement auto-équilibrées. On dit encore que ce sont des états d'autocontrainte.

Venons-en à la variation seconde. Dans l'expression générale δ2W = s0_ijδ2γij+ Cijklδγijδγkl+ Cijklγijδ2γkl

on note que, pour la position de référence, γij = 0

δγij =

1

2(Diδuj+ Djδui) δ2γij = DiδumDjδum

ce qui mène à l'expression δ2U =

Z

V

[s0_ijDiδumDjδum+

1

4Cijkl(Diδuj+ Djδui)(Dkδul+ Dlδuk)]dV ≥ 0 (4.27) Cette condition montre que si, en chaque point, les trois valeurs principales des contraintes résiduelles sont positives, la stabilité est assurée, puisque les mo- dules sont dénis positifs. Mais cette circonstance est rare et en réalité, il existe presque toujours des zones où les contraintes résiduelles principales sont néga- tives. Lorsque ces contraintes résiduelles sont susamment grandes, la stabilité peut être compromise. La gure 4.1 donne un exemple d'une telle situation. La barre centrale, très élancée, peut être comprimée à l'aide d'une vis, ce qui pro- voque un état d'autocontrainte dans lequel les deux colonnes sont tendues et la

4.4. STABILITÉ STRUCTURALE DE L'ÉTAT DE RÉFÉRENCE 65

Figure 4.1  Une structure pouvant être instable dans son état de référence barre centrale, comprimée. L'équilibre exige que la sommes des eorts dans les colonnes égale l'eort dans la barre centrale. Pour un eort de compression égal à la charge d'Euler, la barre ambe, ce qui constitue une instabilité. Dans ce cas, l'état de référence (barre rectiligne précomprimée) n'est pas stable, car la moindre perturbation du déplacement transversal de la barre mène à un nouvel état d'équilibre (ambé).

En conclusion, l'état de référence ne peut être stable que si les contraintes résiduelles de compression sont susamment modérées.

Passons à présent à la question de la relaxation des contraintes résiduelles : peut-on trouver un champ de déplacements u0

i qui relaxe, c'est-à-dire annule to-

talement les tensions résiduelles ? Il est clair que si un tel champ de déplacements existe, les déformations γ0

ij qui en dérivent doivent vérier la condition

sij(γ0kl) = s 0

66 CHAPITRE 4. CORPS HYPERÉLASTIQUES soit s0_ij = −Cijklγkl0 ce qui entraîne U (u0 i) = U0+ Z V s0_ijγ_ij0dV +1 2 Z V Cijklγij0γ 0 kldV = U0− 1 2 Z V Cijklγij0γ 0 kldV < U0 (4.28)

Or, la stabilité de l'équilibre de référence implique que cette inégalité n'est pas possible dans le voisinage de cet état, car l'énergie n'y peut qu'augmenter. Ceci ne signie pas que la relaxation soit nécessairement impossible, mais seulement qu'elle ne peut avoir lieu dans une conguration très voisine de l'état de réfé- rence. La stabilité de cet état équivaut en eet à dire qu'il se trouve au fond d'un puits de potentiel. Mais on peut très bien imaginer (g 4.2) de passer

Figure 4.2  Relaxation par passage d'une instabilité

d'abord au sommet d'une  montagne (point d'équilibre instable) pour redes- cendre au fond d'un nouveau puits plus profond que le précédent, dans lequel les contraintes résiduelles seraient relaxées.

4.4. STABILITÉ STRUCTURALE DE L'ÉTAT DE RÉFÉRENCE 67 Ainsi, la relaxation des contraintes résiduelles, quand elle est possible, sup- pose toujours le passage d'une instabilité. Par ailleurs, il ressort de (4.28) que l'état relaxé correspond à un minimum absolu d'énergie2_.

Il est du reste assez aisé de trouver un exemple de relaxation par passage d'une instabilité. Le système à deux barres de la gure 4.3 a étant supposé

Figure 4.3  Le système ci-dessus peut être relaxé par passage d'une instabilité monté sans contraintes résiduelles, on peut faire passer les deux barres à gauche de leur leur ligne d'appui, moyennant une instabilité dite par claquage (snap through) après quoi le système se retrouve dans une position d'équilibre sous autocontrainte, représentée en b sur la même gure. Dans cette position, les deux barres sont comprimées, et le ressort est tendu. Cet état étant pris comme référence, il ne peut y avoir de relaxation à gauche de la ligne d'appui des barres. Pour annuler les contraintes, il faut nécessairement repasser l'instabilité en sens inverse.

2. Ce problème a été étudié dans le cadre des petits déplacements par Fraeijs de Veubeke [36]. Comme il n'existe pas, en théorie linéaire, d'instabilités, la relaxation est alors totalement impossible.

68 CHAPITRE 4. CORPS HYPERÉLASTIQUES