(y1, y2)∈R2, f2(y1, y2) f1(y1, y2) =α
. L’utilité de ces ensembles provient du résultat suivant :
SiCest l’image d’une solution du système dans le plan de phase(y1, y2)qui coupe l’isoclineIαen un pointy∗, alors la tangente à la courbeCen ce point est de penteα. Les deux cas très utiles en pratique sont :
— l’isoclineI0: une trajectoire qui coupe l’isocline a une tangente horizontale en ce point.
— l’isoclineI∞: une trajectoire qui coupe cette isocline a une tangente verticale en ce point.
— Les isoclinesI0etI∞se “coupent” (pas tout à fait en réalité ...) en les points d’équilibre du système et délimitent des régions du plan ou la trajectoire est monotone :
Q++={y∈R2, f1(y)>0, f2(y)>0}, Q+−={y∈R2, f1(y)>0, f2(y)<0}, Q−+={y∈R2, f1(y)<0, f2(y)>0}, Q−−={y∈R2, f1(y)<0, f2(y)<0}.
Dans chacune de ces régions, les composantesy1ety2des solutions sont monotones (en particulier on peut déter-miner aisément le sens de parcours des solutions).
5.2 Stabilité des points d’équilibre
Soity∗ un point d’équilibre du système, c’est-à-dire un point tel queF(y∗) = 0. On sait que quet 7→ y∗ est une solution constante du système. La question de la stabilité consiste à essayer de comprendre le comportement du système pour une donnée initiale au voisinage dey∗.
Définition I.5.34
On dit que l’équilibrey∗ est asymptotiquement stable (sous entenduen temps long) s’il existe ε >0tel que pour toute donnée initialey0∈B(y∗, ε), on a
— La solutionydu problème de Cauchy pour la donnée(0, y0)est définie sur[0,+∞[.
— La solution converge en temps long versy∗: lim
t→+∞y(t) =y∗.
On peut également définir la notion destabilité(pas asymptotique) qui est un peu plus faible : on demande juste que les solutionst7→y(t)restent proches dey∗siy0est assez proche dey∗.
Etudier la stabilité d’un point d’équilibre est un problème difficile en général et donne lieu à de nombreux développe-ments mathématiques très importants. On ne donnera ici qu’un seul exemple de tel résultat (voir l’exercice 35 pour le cas linéaire et l’exercice 34 pour un exemple non linéaire).
Théorème I.5.35 (Th. de Lyapounov, [Dem91, Sch91])
Soity∗un point d’équilibre deF. Si la matrice Jacobienne deF eny∗a toutes ses valeurs propres de parties réelles strictement négatives, alors le point d’équilibrey∗est asymptotiquement stable.
La morale de l’histoire, sous les hypothèses du théorème, c’est que le comportement des solutions au voisinage dey∗ est entièrement décrit par le système linéaire obtenu en remplaçantF(y)par son linéariséDF(y∗)y.
Remarque I.5.36
La condition du théorème est suffisante mais non nécessaire. Dans les cas où cette condition n’est pas vérifiée, l’analyse peut-être beaucoup plus délicate et demander des outils plus puissants.
Pour information, il existe des résultats un peu plus précis (mais plus difficiles !) : Théorème I.5.37 (Hartmann-Grobman)
Soity∗un point d’équilibre de F. On suppose que la matrice jacobienne deF eny∗, notéeA, n’a aucune valeur propre imaginaire pure (on dit queA est hyperbolique). Alors il existe un homéomorphismeϕd’un voisinage de0dans un voisinageUdey∗tel que les solutions du systèmey0=F(y)dansU sont données par
y(t) =ϕ(etAϕ−1(y0)).
Autrement dit, les trajectoires du système non linéaire sont homéomorphes à celles du système linéaire.
En général ϕn’est pas un difféomorphisme ! De plus dans le cas où la matrice n’est pas hyperbolique, le résultat tombe en défaut. C’est le cas par exemple du système
(x0=±x(x2+y2), y0=±y(x2+y2).
6 Les équations d’ordre supérieur
Une équation différentielle scalaire d’ordrek≥2est une équation différentielle de la forme
y(k)=F(t, y, y0, . . . , y(k−1)), (I.20) ou cette fois on cherche une fonctionkfois dérivable sur son intervalle de définition.
Toutes les définitions précédemment introduites (solutions maximales, globales, etc ...) s’adaptent dans changement au cas présent
L’étude de ces équations est assez simple dès lors qu’on constate qu’elles sont équivalentes à des systèmes d’ordre1 dansRk.
Proposition I.6.38
Un couple(J, y)est solution de (I.20) si et seulement si le couple
On constate alors queFest continue et localement (resp. globalement) Lipschitzienne par rapport à sa variable d’état (i.e. la deuxième variable) si et seulement si la fonctionFest continue et localement (resp. globalement) Lipschitzienne par rapport à ses variables d’état (i.e. sesk−1dernières variables).
On peut ainsi appliquer toute la théorie de Cauchy-Lipschitz et traiter le cas des équations linéaires comme on l’a fait précédemment en utilisant la transformation à un système d’ordre1de tailled.
Dans le cas linéaire
y(n)=an−1(t)y(n−1)+...+a0(t)y+b(t), le système du premier ordre de taillenéquivalent est donné par
Y0=
6. Les équations d’ordre supérieur 29 La matriceA(t)a la forme d’une matrice compagnon. L’équation différentielle vérifiée par le Wronskienw(t)d’une famille de solutions est donc donnée par
w0(t) =an−1(t)w(t), soit encore
w(t) =w(t0) exp Z t
t0
an−1(s)ds
. En particulier, sian−1= 0, le wronskien est constant au cours du temps !
Dans le cas de coefficientsaiconstants, la matriceAest exactement la matrice compagnon du polynôme P(X) =Xn−an−1Xn−1− · · · −a0.
C’est la raison pour laquelle vous avez sans doute appris dans les petites classes à résoudre “l’équation caractéristique”
associée à l’équation différentielle (il s’agit juste de trouver les valeurs propres deA) et d’en déduire la forme générale des solutions. En fait, il s’agit de calculer l’exponentielle detAsans le savoir ...
Si vous n’en avez pas l’habitude, la méthode de la variation de la constante doitabsolumentêtre faite en passant aux systèmes, sous peine de graves erreurs :
— Soit en utilisant directement la formule de Duhamel si vous vous en souvenez sans erreur ...
— Soit en faisantvarier les constantessous la forme suivante: siy1, ..., yn est une base de solutions de l’équation homogène, on forme les fonctions
Yi=
yi
y0i ...
y(n−1)i
,
et on cherche une solution particulière de l’équation complète sous la forme Y(t) =α1(t)Y1(t) +· · ·+αn(t)Yn(t),
où αi : I → Rsont des fonctions à déterminer. On voit alors queY est solution de l’équation souhaitée si et seulement si
α01(t)y1(t) +· · ·+αn(t)0yn(t) = 0, α01(t)y10(t) +· · ·+αn0(t)y0n(t) = 0, et ainsi de suite jusqu’à
α01(t)y1(n−2)(t) +· · ·+α0n(t)y(n−2)n (t) = 0, α01(t)y1(n−1)(t) +· · ·+α0n(t)y(n−1)n (t) =b(t).
Les dérivées desαivérifient doncnéquations, ce qui permet de les déterminer. Sous forme compacte, on écrit W(t)α0(t) =B(t),
oùα0(t)est le vecteur desαi0(t). Cette approche est bien sûr complètement équivalente à la formule de Duhamel mais permet de mener les calculs sans se souvenir de la formule générale.
31
Chapitre II
Les méthodes numériques à un pas
On s’intéresse dans cette section à l’étude de schémas numériques permettant d’obtenir des solutions approchées du
problème de Cauchy (
y0=F(t, y), sur[0, T],
y(0) =y0. (II.1)
Pour simplifier l’étude, on va supposer queFest globalement lipschitzienne par rapport à la variable d’état, sur[0, T]×Rd. On noteraLsa constante de Lipscthitz, i.e. un nombre tel que
kF(t, y1)−F(t, y2)k ≤Lky1−y2k, ∀t∈[0, T],∀y1, y2∈Rd.
On supposera également queFest de classeC1de sorte que la solutionydu problème ci-dessus est globalement bien définie et de classeC2.