Nous présentons ici le calcul des paramètres de stabilité pour les schémas des diérences nies avec les formulations de l'amortissement utilisées. L'objectif de ces calculs est d'obtenir les conditions des stabilité pour le schéma mixte, dont les résultats en précision sont les meilleurs.
C.6.1 Stabilité des diérences nies pour les barres viscoélastiques
Nous présentons l'étude des eets de l'amortissement uide et viscoélastique sur la stabilité des schémas des diérences nies avec la méthode de Fourier. L'équation continue de la barre avec ces amortissements est présentée au 3.3. Pour la réalisation de ces calculs, l'utilisation de Mapple a été une aide très importante. Initialement, nous nous intéressons au cas simple du schéma 2-2. L'équation de récurrence des diérences nies pour ce problème (6.41) est donnée au
6.6.1. Avec la décomposition du déplacement par transformée de Fourier d'espace,yn` =Ynejkxi, et après quelques manipulations algébriques, on obtient :
Yn+1− Pour que le schéma soit stable, le discriminant∆de (C.54) doit être négatif, c.a.d. :
∆ =¡
Et on obtient la condition de stabilité en fonction der suivante : r≤
1 + q
1− γFBs −γBη
4(1 +ηFs)X2 (C.56)
Cette condition doit être vériée pour n'importe quelle valeur de k. Alors, on substitue X par sa valeur maximaleXmax = 1, et on obtient nalement :
r≤ 1 + la stabilité était négligée : (C.57) nous conrme que la contribution deγB sur le seuil de stabilité der est eectivement négligeable.
Nous présentons le calcul de la stabilité En procédant de la même façon pour le schéma 2-4, et avec la même approximation décentrée pour la dérivée première temporelle, on obtient l'équation :
Yn+1−
Le discriminant∆de (C.58), qui doit être négatif pour garantir la stabilité, est :
∆ = 162
ANNEXE C. Calculs de l'analyse des schémas des diérences nies
La condition de stabilité du schéma est alors : r≤ 3 + 3
q
1−γFBs −γBη
16(1 +ηFs) (C.60)
Le même raisonnement pour le schéma 2-8 nous conduit à la même équation que pour le schéma 2-4 (C.58) mais avec un polynômeP(X) diérent :
Yn+1−
En imposant un discriminant négatif à cette équation, le critère de stabilité obtenu est :
r≤
Finalement, à partir des polynômesP(X)24 etP(X)28 nous pouvons calculer le polynôme équi-valent pour le schéma mixte en fonction du paramètreα :
P(X)m =αP(X)24+ (1−α)P(X)28 (C.63)
Et l'équation dont nous étudions le signe du discriminant est (C.58) avec le polynômeP(X)m à la place deP(X)24. La condition de discriminant négatif aboutit alors à la condition de stabilité surr pour le schéma mixte, qui est fonction deα,γB etη :
C.6.2 Stabilité des diérences nies pour la modélisation ne de l'amortis-sement
Nous allons ici rappeler les résultats obtenus dans [16] concernant la stabilité du schéma des dierences nies 2-4 pour la modélisation des amortissements thermoélastique et par rayonne-ment présentée au 3.5 et au 3.4. Pour ces formulations de l'amortisserayonne-ment, le module d'Young complexeE(s)˜ équivalent peut s'exprimer sous la forme :
E(s) =˜ E1 +PN
r=1prsr 1 +PN
r=1qrsr (C.65)
Alors, la condition de stabilité "faible" du schéma 2-4 amorti est celle du schéma 2-4 non-amorti après avoir eectué le changement de variable [16] :
E→EpN
qN (C.66)
Pour le cas de la barre avec amortissement thermoélastique, le changement de variable (C.66) est :
E →E(1 +R ) (C.67)
ANNEXE C. Calculs de l'analyse des schémas des diérences nies
Et pour le cas de la barre avec les amortissements thermoélastique et par rayonnement, le chan-gement de variable (C.66) est :
E →E µ
1 +R1+ b3ρaca a3wcρh
¶
(C.68) . Ces conditions de stabilité présentées à partir du module d'Young complexe assurent une stabilité "faible" du schéma numérique 2-4 [16]. Néanmoins, nous avons pu constater expérimen-talement que les schémas numériques correspondant à des modèles continus physiquement bien posés (c'est à dire dissipatifs) étaient fortement stables. Nous avons aussi pu constater que le changement de variable (C.66) permet d'assurer la stabilité du schéma mixte présenté.
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