Squelettisation

Cette première étape consiste donc à extraire un squelette à partir du masque binaire de l’image.

La notion de squelette a été introduite par Blum en 1967 [9]. L’objectif est de représenter un objet en minimisant la quantité d’information, sous une forme simple à extraire et à manipuler. Pour présenter cette méthode, Blum fait l’analogie avec le feu de prairie : "Soit une prairie couverte de manière homogène par de l’herbe sèche et X un

ensemble de points de cette prairie. Au départ, tous les point du contour de X sont enflammés simultanément. Le feu se propage de manière homogène et s’étend à travers la prairie à une vitesse constante. le squelette de l’ensemble de points X est défini comme le lieu des points ou les fronts enflammés se sont rencontrés."

Le squelette peut également être défini comme l’axe médian de l’objet. La squelettisation répond à certaines contraintes : elle doit conserver la topologie, préserver la géométrie de l’objet et avoir une épaisseur nulle en tout point.

FIG. 3.7 : Exemple de squelette, les cercles représentent les disques maximaux en deux points.

Certaines propriétés sont également souhaitées : la méthode doit être insensible aux rotations et aux redimen-sionnement. Le squelette doit permettre de reconstituer la forme originale.

Définition - Elément structurant : un élément structurant B_kest un ensemble possédant une forme géométrique de taille k.Définition - Boule géodésique : une boule géodésique est un élément structurant de forme circulaire.Définition

- Squelette : Serra [77] définit le squelette de la manière suivante : le squelette d’un objet X , S_k(X)est l’union des centres des boules géodésiques maximales B contenues dans X (figure 3.7).

Le squelette peut être obtenu de différentes manières : – amincissements successifs,

– calcul d’une carte de distance, – ouverture et conservation des résidus.

Dans le premier cas, nous allons opérer de façon successive un amincissement de l’objet, jusqu’à obtenir un squelette correspondant aux propriétés citées ci-dessus. Dans le deuxième cas, nous calculons tout d’abord une carte de distance qui permet de donner la distance euclidienne de chaque pixel de l’objet par rapport à la frontière de l’objet. Le squelette est obtenu en cherchant les maxima locaux.

Le dernier cas correspond à la définition du squelette par Lantuéjoul [53]. Le squelette S(X)d’un objet X est défini par l’union des différences entre l’érosion de X par un élément structurant de taille k et de l’ouverture adjointe de l’érosion de X :

S(X) =∪_k[E(X,B_k)−O(E(X,B_k),B_k))] (3.2)

l’ouver-50 3.1. MÉTHODE DE GRAPHE

ture de X par un élément structurant B.

La définition d’un squelette s’appuie sur les résidus. Cette méthode n’est cependant pas optimale, car elle ne préserve pas la topologie de l’objet. Nous étudierons donc la squelettisation par amincissements successifs et calcul de la carte de distance.

3.1.4.1.1 Amincissements successifs Tout d’abord, nous présentons un squelette obtenu par amincissements successifs (figure 3.9). L’amincissementη est le résidu de la transformation tout ou rien de la translationϕ de l’objet par un élément structurant donné :

η(X) =X−ϕ(X) (3.3)

Cette opération est accomplie jusqu’à obtenir l’idempotence du squelette, c’est à dire que l’objet original est son propre amincissement. 1 1 1 x 1 x 0 0 0 x 1 1 0 1 1 0 0 x a b

FIG. 3.8 : Valeur des pixels du voisinage de l’elément structurant original (a) , et pivoté de 45˚(b). x = 0,1.

Les éléments structurants doivent préserver l’homotopie de l’objet. Deux objets sont homotopes si une trans-formation continue permet de passer de l’un à l’autre. La figure 3.8 montre un exemple d’élément structurant. Afin d’effectuer l’amincissement dans toutes les directions possibles, il faut composer une famille d’éléments à partir de celui-ci. Cette famille est ainsi constituée par les éléments provenant de la rotation de l’élément original.

FIG. 3.9 : Exemple de squelette obtenu par amincissements successifs.

Sur la figure 3.9 nous présentons ainsi le résultat d’une squelettisation par amincissements successifs.

3.1.4.1.2 Carte de distance La deuxième méthode de squelettisation que nous étudions utilise le calcul d’une carte de distance. Elle utilise notamment la formulation de Hamilton pour mesurer les flux, issus de la propagation du feu de prairie dans la formulation de Blum. Les points de rencontre des différents flux de propagation sont ainsi les points du squelette.

Dans [25], il est démontré que ce flux peut être approximé par la distance euclidienne entre chaque pixel de l’objet et le bord de l’objet (figure 3.10). Nous calculons donc tout d’abord la carte de distance C.

Pour déterminer les points du squelette, il faut ensuite calculer la divergence du flux (figure 3.10). Le but étant de déterminer les points ne répondant pas à la contrainte de conservation de l’énergie.

a b

FIG. 3.10 : Distance euclidienne pour chaque pixel de l’objet (a) et image de la divergence du gradient de l’image de distance obtenue (b).

La divergence permet ainsi de mesurer la tendance du flux à converger ou diverger en un point. Elle est obtenue en calculant le gradient de C, en x et en y.

div(C) =^∂Cx

∂x ⁺

∂C_y

∂y ^{, (3.4)}

avec x et y les coordonnées cartésiennes de l’espace 2D.

Un flux négatif correspond à une perte d’énergie, c’est à dire lorsque le gradient du voisinage d’un pixel est défini selon des directions différentes. En utilisant l’analogie avec le feu de prairie, il s’agit du point de rencontre de plusieurs fronts de flammes. Ce pixel est alors un point du squelette.

Un simple seuillage permettrait donc d’extraire le squelette. Cependant, comme le montre la figure 3.11, la valeur du seuil est difficile à fixer. Si le seuil est trop faible, le squelette sera non-connecté, et inversement, lorsque le seuil est trop élevé, le squelette contiendra trop de points.

a b

FIG. 3.11 : Seuillage de la divergence. Pour un seuil trop faible (a), le squelette obtenu est non-connexe, pour un seuil trop élevé (b), l’épaisseur du squelette est trop importante.

L’idée proposée par Siddiqi et al. [25, 79], consiste donc à utiliser un seuil faible, mais en ajoutant des contraintes pour conserver la connexité du squelette. Pour cela, il faut considérer localement chaque point de l’objet qui est supérieur à ce seuil et vérifier que sa suppression ne conduit pas à la non-connexion du squelette.

52 3.1. MÉTHODE DE GRAPHE

Pour chaque pixel, dont la valeur de divergence est négative, un graphe local est établi entre les pixels voisins (fi-gure 3.12). Sur cette fi(fi-gure, la suppression du pixel central conduirait par exemple à la non-connexion du squelette. Nous conservons donc ce pixel en tant que pixel du squelette.

0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 a b

FIG. 3.12 : Exemple de voisinage. Dans le cas (a), la mise à zéro du pixel central conserve la connexité du graphe de voisinage, dans le cas (b), la mise à zéro du pixel central ne conserve pas la connexité du graphe de

voisinage.

La figure 3.13, montre le résultat obtenu pour cette méthode de squelettisation. Comme nous pouvons le consta-ter, la structure comporte globalement moins de branches, le squelette permet donc de représenter la forme de l’objet, sans être perturbé par du bruit contenu dans les contours de l’objet.

FIG. 3.13 : Squelette obtenu avec la méthode de carte de distance.