Dans ce chapitre une m´ethode alternative `a DSSF en 2D, d´enomm´ee split-step wavelet (SSW), est introduite. Elle est bas´ee sur la transform´ee discr`ete en ondelettes 1D [94]. En effet les ondelettes ont deux avantages. Tout d’abord la transform´ee en ondelettes rapide (fast wavelet transform, FWT) est de complexit´e plus faible que la transform´ee de Fourier rapide (fast Fourier transform, FFT). Ceci permettrait donc de gagner du temps. De plus, la repr´esentation en ondelettes est en g´en´eral parcimonieuse, permettant de gagner en taille m´emoire et en temps de calcul. Ainsi, une m´ethode de propagation plus efficace en temps de calcul et taille m´emoire est introduite en 2D pour ensuite ˆetre g´en´eralis´ee `a la 3D.
La configuration est la discr´etisation est la mˆeme qu’en Section 3.2.1.a.
C.3.1 Principe g´en´erale de la m´ethode
La m´ethode SSW est bas´ee sur le mˆeme principe que DSSF. Le champ est calcul´e it´erativement de plus en plus loin de la source. Ainsi le sch´ema de propagation entre
x et x + ∆x est le suivant
1. Le vecteur creux de coefficients d’ondelettes de ux est obtenu avec une transform´ee en ondelettes (W) et une compression de seuil Vs (C)
Ux = CWux. (C.36)
2. Les coefficients d’ondelettes propag´es Ux+∆x sont obtenus `a l’aide de du propagateur d’ondelettes-`a-ondelettes P
Ux+∆x= P Ux. (C.37) Cette op´erateur correspond `a la propagation en espace libre des ondelettes. Deux m´ethodes sont possibles pour cette propagation. Une premi`ere en utilisant une matrice de propagation P dans laquelle toutes les propagations d’ondelettes-`a-ondelettes sont stock´ees. Dans ce cas la propagation est un produit matrice-vecteur et la m´ethode est not´ee mSSW [57]. Une seconde m´ethode avec une biblioth`eque d’op´erateurs P , o`u seules les propagations essentielles sont stock´ees et utilis´ees pour
C.3 Split-step wavelet en 2D 135
propager chaque coefficient non nul de Ux. Dans ce cas la propagation se fait pour chaque coefficient et la m´ethode est not´ee lSSW [107].
3. La propagation en espace libre du champ est obtenue avec une transform´ee en ondelettes inverse
ufs
x+∆x= W−1Ux+∆x. (C.38) 4. La r´efraction et le relief sont pris en compte comme avec DSSF et une fenˆetre
d’apodisation est appliqu´ee en haut du domaine pour obtenir le champ propag´e
ux+∆x = HRLufs
x+∆x. (C.39) Pour la prise en compte du sol la m´ethode des images locale a ´et´e mise au point par Zhou et al. [57]. Celle-ci permet de prendre en compte le sol sur un petit nombre de points en utilisant le caract`ere local des ondelettes.
C.3.2 Propagation en espace libre
Pour construire la matrice ou la biblioth`eque, deux propri´et´es des ondelettes sont utilis´ees: l’invariance par translation et la taille r´eduite du support des ondelettes (not´ee Nlp). Le niveau 0 correspondant `a la fonction d’´echelle est trait´ee comme le niveau L.
Tout d’abord une ondelette centr´ee χl′,0[pz] de chaque niveau l′ ∈ [1, L] est propag´ee avec DSSF pour obtenir χl′,∆x[pz]. La propagation par DSSF se fait sur le support des ondelettes Nlp, car Nlp≪ Nz. Ensuite, en utilisant la propri´et´e d’invariance par translation des ondelettes, les ondelettes sont translat´ees de pt ∈ [0, 2L−l[ selon z afin d’obtenir les propagations n´ecessaires χl′,∆x[pz+pt]. Ces derni`eres sont d´ecompos´ees en ondelettes (W) et compress´ees avec un seuil Vp (C), r´esultant sur la propagation d’ondelettes-`a-ondelettes
Pl,pt.
Pour la matrice ces vecteurs d’ondelettes ´el´ementaires sont stock´es dans P(l,p)(l′,pt) pour chaque l. Les autres ´el´ements de la matrice sont obtenus en r´epliquant ces ´el´ements. Ainsi une matrice de taille Nz × Nz est obtenue. La propagation s’effectue par un produit matrice-vecteur. Le calcul et la sauvegarde de cette matrice deviennent donc probl´ematiques quand Nz augmente et cette m´ethode n’est donc pas ad´equate pour la 3D.
Pour la biblioth`eque seulement les ´el´ements Pl,pt sont stock´es. Celle-ci correspond donc au sous-ensemble minimale de la matrice n´ecessaire `a la propagation. La taille m´emoire est ainsi grandement diminu´ee, rendant la m´ethode g´en´eralisable `a la 3D. La propaga-tion s’effectue en sommant les propagapropaga-tions ´el´ementaires associ´ees `a chaque coefficient d’ondelette non nul du champ.
Cette m´ethode permet en utilisant les avantages des ondelettes d’ˆetre th´eoriquement plus rapide que DSSF et de limiter les besoins en taille m´emoire.
C.3.3 Borne de l’erreur de compression
Comme nous l’avons vu deux param`etres de plus sont n´ecessaires avec SSW compar´e `a DSSF : les seuils de compression Vs et Vp. Ces derniers permettent d’avoir une bonne
136 Appendix D Summary in French
repr´esentation parcimonieuse. Cependant ces compressions introduisent une erreur qui s’accumule avec les it´erations et dont la valeur d´epend des param`etres de compression. Une formule th´eorique a donc ´et´e calcul´ee pour pr´evoir ´evolution de l’erreur de compres-sion avec ces seuils et avec le nombre d’it´erations. Ceci afin de maitriser l’erreur finale maximale en choisissant de bons seuils de compression.
Nous d´efinissons l’erreur comme
δNx = k ˜UNx − UNxk2
kU0k2
, (C.40)
o`u UNx correspond aux coefficients d’ondelettes propag´es sans compression `a l’it´eration
Nx, ˜UNx `a ceux propag´es avec compression, et U0 aux coefficients du champ initial. Dans ce cas nous avons montr´e que l’erreur ´evolue selon
δNx = (vs+ vp)Nx, (C.41) avec vs et vp les deux seuils normalis´es tels que
Vs = vsmax (|U0|) et Vp = vpmax (|P|) . (C.42) De plus comme les erreurs sur le champ et sur le propagateur sont ind´ependantes, pour une erreur donn´ee δmax
Nx , les seuils sont calcul´es comme suit
Vs= δ max Nx 2Nx max (|U0|) et Vp = δ max Nx 2Nx max (|P|) . (C.43) Ainsi les seuils peuvent ˆetre choisis automatiquement pour une pr´ecision voulus sur un sc´enario donn´es.
C.3.4 Tests num´eriques
Dans cette partie, des tests num´eriques pour valider la m´ethode et montrer son efficacit´e sont effectu´es.
3.3.4.a Propagation en espace libre
Tout d’abord la m´ethode et la borne de l’erreur de compression sont valid´ees sur un sc´enario de propagation du champ d’un CSP en espace libre. La fr´equence est 300 MHz pour ce test. Le domaine est de taille xmax = 2 km et zmax = 2048 m avec des pas de 20 m et 0.5 m. La source est plac´ee en xs =−50 m et zs = 1024 m avec une largeur de
W0 = 5 m.
Pour les param`etres d’ondelettes, les symlet 6 avec L = 3 sont utilis´ees. Les seuils sont calcul´es pour une erreur de −30 dB `a la derni`ere it´eration.
Dans ce cas le champ obtenu avec SSW est repr´esent´e en Figure C.4 (a). L’´evolution de l’erreur RMS entre SSW et DSSF avec le nombre d’it´erations est pr´esent´ee en Figure (b). Cette derni`ere montre que l’erreur est bien born´ee par la formule th´eorique, comme at-tendu. De plus, l’erreur de compression est n´egligeable. La m´ethode SSW est donc valid´ee dans ce cas.
C.3 Split-step wavelet en 2D 137 0 500 1000 1500 2000 Distance (m) 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 Alti tud e ( m)
Field (dBV/m) with local SSW
50 40 30 20 10 0
(a) Champ obtenu avec SSW.
0 20 40 60 80 100 N_x −80 −70 −60 −50 −40 −30 R M S er ro r (d B) SSW NxVp+ VsNx
(b) ´Evolution de l’erreur RMS avec le nombre d’it´eration.
Figure C.4: Propagation d’un point source complexe en espace libre avec SSW.
3.3.4.b Propagation en environnement complexe
Dans ce test nous comparons mSSW et lSSW pour montrer les avantages de cette derni`ere dans un environnement complexe.
La fr´equence pour ce test est 3 GHz. Nous souhaitons mod´eliser la propagation entre Pau et Toulouse. Le relief entre les deux villes est pris en compte. De plus, un conduit atmosph´erique est pr´esent. La source est un CSP plac´e en xs = −50 m et zs = 50 m au dessus du sol, de largeur W0 = 1 m. Le domaine est de taille xmax = 150 km et
zmax = 1024 m avec des pas de 20 m et 0.1 m.
Pour les ondelettes les mˆemes param`etres sont utilis´es et les seuils sont calcul´es pour une erreur attendue de −30 dB.
Les r´esultats de la Figure C.5 sont obtenus. En (a) le champ ´electrique obtenu avec lSSW est trac´e. En (b), l’´evolution de l’erreur RMS entre mSSW et DSSF, et lSSW et DSSF est pr´esent´ee.
(a) Champ ´electrique (dBV/m) obtenu avec SSW. 0 200 400 600 N_x −105 −100 −95 −90 −85 −80 −75 −70 RM S d iffe ren ce (d B) lSSW mSSW
(b) ´Evolution de l’erreur RMS avec lSSW et
mSSW.
Figure C.5: Propagation d’un point source complexe entre Pau et Toulouse.
138 Appendix D Summary in French
plus, elle est n´egligeable. Enfin, comme attendu l’´evolution de l’erreur avec mSSW et lSSW est la mˆeme.
En terme de temps de calcul et taille m´emoire, les r´esultats sont pr´esent´es sur le tableau C.1.
Table C.1: Temps de calcul et taille m´emoire n´ecessaire `a mSSW et lSSW. M´ethode mSSW lSSW
Initialisation (s) 585 0.017 Propagation (s) 374 466
Total (s) 959 466
Taille m´emoire du propagateur 759 Mo 42 ko
On peut conclure que lSSW permet de gagner fortement en taille m´emoire et en temps de calcul pour le propagateur. De plus, mˆeme si la propagation est un peu plus longue, le temps total est bien inf´erieur avec lSSW.
C.3.5 Conclusion
Dans cette section, nous avons rappel´e la m´ethode mSSW. Ensuite, nous avons introduit la m´ethode lSSW dans le but d’am´eliorer mSSW en temps de calcul et taille m´emoire n´ecessaire.
Une formule pour calculer les seuils pour une erreur choisie a aussi ´et´e introduite, perme-ttant de g´erer la pr´ecision de la m´ethode.
Des tests num´eriques ont permis de valider SSW avec DSSF. De plus ces tests montrent que lSSW est beaucoup plus efficace que mSSW en terme de taille m´emoire. Ainsi lSSW peut ˆetre g´en´eralis´e `a la 3D.