Spectres de singularit´ es

x∈φ⁻1({x}) ˙ y∈φ⁻1({y})

kx˙ −y˙k. (2.5)

Cela permet de consid´erer des mesures de Hausdorff sur le tore et d’attribuer une

di-mension de Hausdorff `a tout sous-ensemble de T^d. Les propri´et´es de taille d’une tel

sous-ensemble sont tr`es proches de celles de son rel`evement dans R^d puisqu’il existe un r´eel

κ≥1 tel que pour toute jauge g deD et toute partie F deT^d,

H^g(F)≤ H^g(φ⁻¹(F)∩[0,1[^d)≤κH^g(F). (2.6)

Terminons cette partie par une remarque. Consid´erons une fonction de jauge g ∈ D

et supposons que g(r)/rd ne tend pas vers l’infini quand r tend vers 0. La mesureHg est

alors une mesure bor´elienne invariante par translation qui attribue une masse finie aux

compacts de R^d (resp. T^d). Elle est donc ´egale, `a une constante multiplicative pr`es, `a la

mesure de Lebesgue Ld sur la tribu bor´elienne de R^d (resp. T^d). Si l’espace R^d est muni

de la norme euclidienne et si g = Id^d, cette constante vaut (4/π)d/2Γ(1 + d/2) comme

l’indique le th´eor`eme 30 de [137]. En particulier, la mesure de Hausdorff H1 et la mesure

de Lebesgue L1 co¨ıncident sur la tribu bor´elienne deR.

III.2 Spectres de singularit´es

Consid´erons une fonction f born´ee sur le tore Td. Rappelons que les ensembles

isoh¨old´e-riens Eh, d´efinis par (2.1), regroupent les points du tore dont l’exposant de H¨older est

´egal `a un certain h∈[0,∞] fix´e. Afin de rendre compte de la taille de ces ensembles, on

s’int´eresse `a la fonction

d_f : [0,∞] → {−∞} ∪[0, d]

h 7→ dimEh.

Cette fonction se nomme le spectre de singularit´es def et constitue une des fins de

l’ana-lyse multifractale : en effet, faire l’anal’ana-lyse multifractale de la fonctionf, c’est calculer son

spectre df. L’ensemble des h ∈[0,∞] tels que df(h)>−∞ (ou, de mani`ere ´equivalente,

tels que Eh 6=∅) est le support de df. Quand ce dernier contient un intervalle non r´eduit

`a un point, la fonction f est qualifi´ee de multifractale. D´eterminer le spectre de

singula-rit´es d’une fonction multifractale se ram`ene donc au probl`eme souvent d´elicat d’´evaluer

simultan´ement la dimension de Hausdorff de plusieurs sous-ensembles du tore.

La d´ecomposition (2.3) des ensembles isoh¨old´eriens conduit `a consid´erer de surcroˆıt,

pour h ∈ [0,∞[ et β ∈ [0,∞], la collection Eh,β des points du tore dont l’exposant de

H¨older est ´egal `a h et dont l’exposant d’oscillation est ´egal `a β. On peut alors aussi

s’int´eresser au spectre de singularit´es oscillantes de f. Il s’agit de la fonction

dosc

f : [0,∞[×[0,∞] → {−∞} ∪[0, d]

(h, β) 7→ dimEh,β.

Observons que l’union apparaissant dans l’´egalit´e (2.3) porte a priori sur un nombre

ind´enombrable d’ensembles. Par cons´equent,

df(h)≥ sup

β∈[0,∞]

d^osc_f (h, β)

pour tout h ∈[0,∞[, sans n´ecessairement qu’il y ait ´egalit´e (mˆeme si elle a souvent lieu

en pratique). Le spectre de singularit´es oscillantesdosc

f fournit une information plus riche

que celle port´ee par df. Signalons cependant que la simple connaissance du spectre de

singularit´esdf est d’ordinaire suffisante.

Ensembles `a grande intersection et

ubiquit´e homog`ene

Contenu du chapitre

I Introduction . . . . 29

II Ensembles `a grande intersection . . . . 33

III Ubiquit´e homog`ene . . . . 36

IV Applications `a l’approximation diophantienne . . . . 39

IV.1 Approximation diophantienne simultan´ee homog`ene . . . . 40

IV.2 Approximation diophantienne simultan´ee inhomog`ene . . . . . 46

IV.3 Approximation diophantienne avec restrictions . . . . 47

IV.4 Approximation par des nombres alg´ebriques et classification de

Koksma des r´eels transcendants . . . . 50

IV.5 Approximation de z´ero par des valeurs de polynˆomes et

classifi-cation de Mahler des r´eels transcendants . . . . 54

V Preuves des r´esultats de la section II . . . . 56

V.1 R´esultats pr´eliminaires . . . . 57

V.2 Preuve du th´eor`eme 3.1 . . . . 66

V.3 Preuve de la proposition 3.2 . . . . 69

VI Preuve du th´eor`eme 3.2 . . . . 69

I Introduction

Dans la th´eorie de l’approximation diophantienne, on souhaite tr`es souvent d´eterminer la

taille d’un sous-ensemble de R^d (avec d∈N^∗) de la forme

Fϕ =

x∈R^d

kx−xik< ϕ(ri) pour une infinit´e de i∈I (3.1)

o`uk·kd´esigne une norme arbitraire,I un ensemble infini d´enombrable d’indices, (xi, ri)i∈I

une famille d’´el´ements de Rd×]0,∞[ et ϕ une fonction positive et croissante sur [0,∞[.

Lorsque l’ensembleF_ϕ est de mesure de Lebesgue nulle, on cherche en g´en´eral `a calculer

sa dimension de Hausdorff. Si une information plus pr´ecise sur sa taille est requise, on

peut en outre s’int´eresser `a la valeur de sag-mesure de HausdorffHg pour toute fonction

de jauge g, c’est-`a-dire pour toute fonction g appartenant `a l’ensemble D d´efini dans la

section III du chapitre 2. Nous proposons de montrer que, sous une hypoth`ese simple

concernant la famille (xi, ri)i∈I, l’ensemble Fϕ v´erifie une propri´et´e degrande intersection.

Cela fournit en particulier une condition suffisante sur g ∈ D pour que la g-mesure de

Hausdorff d’une intersection d´enombrable d’ensembles de la forme (3.1) soit infinie.

Donnons un premier exemple d’ensemble de la forme (3.1). Il s’agit pour tout r´eel

strictement positif τ de l’ensemble

Jτ =

(

x∈R

^x−

p

q

^{< q−τ pour une infinit´e de (p, q)∈Z×N∗}

)

des r´eels τ-approchables par des rationnels. Un c´el`ebre th´eor`eme de Dirichlet assure que

J_τ = R si τ ≤ 2, cf. [81]. Dans le cas contraire, J_τ est de mesure de Lebesgue nulle et

Jarn´ık et Besicovitch ont ind´ependamment ´etabli que sa dimension de Hausdorff est ´egale

`a 2/τ, cf. [29, 99]. De surcroˆıt, K. Falconer [63] a prouv´e que Jτ v´erifie une propri´et´e

de grande intersection, au sens qu’il appartient `a la classe G2/τ(R). Rappelons que la

classe Gs(R^d) des ensembles `a grande intersection de dimension de Hausdorff sup´erieure

`a s∈ ]0, d] est la collection des ensembles F qui sont des Gδ de R^d et qui v´erifient

dim

∞

\

n=0

fn(F)≥s (3.2)

pour toute suite (f_n)_n∈Nde similitudes deR^d. Il s’agit de la plus grande collection possible

deGδ deR^dde dimension sup´erieure `a s`a ˆetre stable par intersection d´enombrable et par

les similitudes de Rd. K. Falconer l’a introduite afin de fournir un cadre g´en´eral `a l’´etude

de toute une vari´et´e de familles d’ensembles de dimension au moins s, apparues dans

la th´eorie de l’approximation diophantienne et dans celle des syst`emes dynamiques, qui

v´erifient la propri´et´e que la dimension d’une intersection d´enombrable de leurs membres

est encore au moins s, cf. [63]. Signalons que cette propri´et´e peut paraˆıtre paradoxale

´etant donn´e qu’on s’attend en g´en´eral `a ce que l’intersection de deux parties de R^d de

dimensions respectives d1 et d2 soit de dimension d1 +d2−d, conform´ement `a ce qui se

passe dans le cas de deux sous-espaces affines, cf. [64, ch. 8].

L’ensemble Jτ des r´eels τ-approchables par des rationnels peut se g´en´eraliser de la

mani`ere suivante. Prenons une suite d´ecroissante ψ = (ψ(q))q∈N

∗

de r´eels strictement

positifs qui converge vers 0 et portons notre attention sur l’ensemble

Kd,ψ =

(

x∈R^d

^x−p_q

^{< ψ(q) pour une infinit´e de (p, q)∈Zd×N∗}

)

des points ψ-approchables par des rationnels, qui est encore de la forme (3.1).

Khint-chine [105] a ´etabli que sa mesure de Lebesgue est pleine ou nulle dansR^dsuivant

respecti-vement que la s´erieP

qψ(q)dqddiverge ou converge. Jarn´ık [100] a d´ecrit plus pr´ecis´ement

les propri´et´es de taille de l’ensemble Kd,ψ en d´eterminant sa g-mesure de Hausdorff pour

certaines jaugesg appartenant au sous-ensemble D_d de D qui est d´efini comme suit.

D´efinition

On note D_d l’ensemble des jauges g ∈D pour lesquelles la fonction r7→g(r)/rd est

d´ecroissante et strictement positive sur un voisinage `a droite strict de l’origine.

On observe ais´ement que toute fonction de D_d est continue au voisinage de l’origine.

En outre, pour toutes fonctions g et g de D_d, on ´ecrit g ≺ g si la fonction g/g d´ecroˆıt

au voisinage de 0 et admet l’infini pour limite en ce point. D´esignons par Id la fonction

identit´e. Le r´esultat de Jarn´ık, am´elior´e par V. Beresnevich, D. Dickinson et S. Velani [19],

s’´enonce ainsi : pour toute jaugeg ∈D_dv´erifiantg ≺Id^d, lag-mesure de Hausdorff deKd,ψ

est infinie ou nulle selon respectivement que la s´erie P

qg(ψ(q))qd diverge ou converge.

Ce crit`ere permet en particulier de d´eterminer la dimension de Hausdorff sd,ψ de Kd,ψ.

Grˆace aux r´esultats de la section IV, on peut de plus ´etablir que Kd,ψ appartient `a la

classe d’ensembles `a grande intersectionGs

d,ψ

(Rd) quandsd,ψ est strictement positif. Cette

derni`ere propri´et´e ne nous satisfait toutefois pas totalement pour les raisons suivantes.

Alors queψ peut se voir comme un raffinement de la suite (q−τ)q∈N

∗

, la classe Gs

d,ψ

(R^d)

de K. Falconer qui contient Kd,ψ ne rend pas compte de la complexit´e ´eventuelle de ψ.

Plus g´en´eralement, pours∈]0, d], l’appartenance d’un ensemble `a la classeGs(R^d) indique

qu’il v´erifie une propri´et´e de grande intersection et qu’il est de dimension au moinss, mais

ne donne aucune information plus pr´ecise concernant la taille de cet ensemble.

C’est notamment pour r´epondre `a ce probl`eme que nous introduisons dans la section II

de nouvelles classes d’ensembles `a grande intersection qui sont plus fines que celles de

K. Falconer. Ainsi, `a toute fonction de jauge g appartenant `a D_d et `a tout ouvert non

vide V de R^d, nous associons une classe Gg(V) d’ensembles `a grande intersection dans

l’ouvert V relativement `a la jauge g. La classe Gg(V) pr´esente la propri´et´e remarquable

d’ˆetre stable par intersection d´enombrable. De plus, tout ensemble appartenant `a Gg(V)

est de g-mesure de Hausdorff infinie, pour toute jauge g de D_d telle que g ≺ g. Enfin,

les classes Gg(V) sont bien adapt´ees `a l’´etude de Kd,ψ. Le th´eor`eme 3.5 ´etabli dans la

section IV montre en effet que, pour toute jauge g ∈ D_d et tout ouvert non vide V de

R^d, l’ensemble K_d,ψ appartient `a la classe Gg(V) si et seulement si la s´erie P

qg(ψ(q))qd

diverge. Ce r´esultat d´ecrit en outre de fa¸con exhaustive les propri´et´es de taille de Kd,ψ :

pour toute jaugeg ∈D et tout ouvert V de R^d, on a Hg(Kd,ψ ∩V) =Hg(V) (resp. = 0)

siP

qg_d(ψ(q))qd=∞ (resp.<∞), avec

gd:r7→r^d inf

ρ∈]0,r]

g(ρ)

ρd . (3.3)

Nous ´etendons ainsi le th´eor`eme de Jarn´ık qui, rappelons-le, ne concerne que les jaugesg

appartenant `aD_d et v´erifiant g ≺Id^d.

Par ailleurs, comme l’ensemble des nombres de Liouville peut s’exprimer comme une

intersection d´enombrable d’ensembles de la forme K_1,ψ, nous pouvons en d´eduire ses

propri´et´es de taille et de grande intersection, ce qui permet de retrouver un r´esultat de

L. Olsen et D. Renfro [131, 132]. Notons que les classes de K. Falconer ne permettent pas

d’´etudier les propri´et´es de grande intersection de l’ensemble des nombres de Liouville car

il est de dimension nulle.

A. Baker et W. Schmidt [7] puis V. Beresnevich [15] et Y. Bugeaud [35, 38] se sont

int´eress´es aux propri´et´es de taille d’une autre g´en´eralisation de l’ensembleJ_τ, o`u les r´eels

ne sont pas approch´es uniquement par des rationnels, mais plus g´en´eralement par des r´eels

alg´ebriques. Pour n ∈ N^∗, notons An l’ensemble des nombres r´eels alg´ebriques de degr´e

au plus n. La hauteur H(a) d’un r´eela ∈A_n est la plus grande des valeurs absolues des

coefficients de son polynˆome minimal surZ. Fixons une suite d´ecroissante ψ = (ψ(q))q∈N

∗

de r´eels strictement positifs qui converge vers 0 et consid´erons l’ensemble

A_n,ψ =

x∈R

des r´eels ψ-approchables par des r´eels alg´ebriques de degr´e au plusn. V. Beresnevich [15]

a fourni un analogue du th´eor`eme de Khintchine en ´etablissant que An,ψ est de mesure

de Lebesgue pleine ou nulle dans R selon respectivement que la s´erie P

hψ(h)hn diverge

ou converge. De plus, Y. Bugeaud [35] a fourni un analogue du th´eor`eme de Jarn´ık en

prouvant que, pour toute jaugeg ∈D₁ v´erifiantg ≺Id, lag-mesure de Hausdorff deAn,ψ

est infinie ou nulle suivant respectivement que la s´erieP

hg(ψ(h))hn diverge ou converge.

Dans [38], il a aussi montr´e que An,ψ v´erifie une propri´et´e de grande intersection lorsque

ψ est, pour ω ≥ n, le produit de la suite (h−ω−1)h∈N

∗

et d’une correction logarithmique.

Le th´eor`eme 3.9 ´etabli dans la section IV compl`ete ces r´esultats en indiquant que, pour

toute jauge g ∈ D₁ et tout ouvert non vide V de R, l’ensemble An,ψ appartient `a la

classe Gg(V) si et seulement si la s´erie P

hg(ψ(h))hn diverge. Cela conduit `a plusieurs

r´esultats nouveaux concernant la classification de Koksma [109] des r´eels transcendants.

Ce th´eor`eme montre de surcroˆıt que, pour toute jaugeg ∈Det tout ouvert V deR, on a

Hg(An,ψ∩V) = Hg(V) (resp. = 0) si P

hg1(ψ(h))hn=∞ (resp. <∞), o`u la fonction g1

est d´efinie par (3.3).

La section IV revient en d´etails sur les exemples que nous venons de citer. Dans cette

derni`ere, nous nous int´eressons ´egalement aux probl`emes de l’approximation

diophan-tienne simultan´ee inhomog`ene, de l’approximation diophandiophan-tienne avec restrictions et de

l’approximation de 0 par les valeurs en un point fix´e des polynˆomes `a coefficients entiers de

degr´e born´e. Ce dernier probl`eme pr´esente des liens avec la classification de Mahler [118]

des r´eels transcendants.

Revenons au cas g´en´eral de l’ensembleF_ϕ d´efini par (3.1). En consid´erant un

recouvre-ment bien choisi, il est d’ordinaire trivial de donner une condition suffisante sur une jauge

g ∈ D pour que la g-mesure de Hausdorff de Fϕ soit nulle. En particulier, si Id^d v´erifie

cette condition, l’ensembleFϕ est de mesure de Lebesgue nulle. `A l’inverse, il est souvent

beaucoup plus difficile de donner une condition suffisante sur g pour que la g-mesure de

Fϕ soit infinie. Ce probl`eme a essentiellement ´et´e r´esolu par Y. Bugeaud [37] dans le cas

o`u la famille (xi, ri)i∈I provient d’un syst`eme r´egulier optimal de points. En dimension

d= 1, Y. Bugeaud a mˆeme prouv´e dans [38] que Fϕ v´erifie une propri´et´e de grande

inter-section. Sous la mˆeme hypoth`ese, A. Baker et W. Schmidt [7] avaient auparavant donn´e

une minoration pr´ecise de la dimension de Haudorff deFϕ. Le probl`eme a par ailleurs ´et´e

r´esolu par V. Beresnevich, D. Dickinson et S. Velani [19] lorsque (xi, ri)i∈I constitue un

syst`eme d’ubiquit´e. Une notion similaire avait ´et´e introduite par M. Dodson, B. Rynne et

J. Vickers [49] afin de minorer la dimension de Hausdorff deFϕ. Ajoutons que J.-M. Aubry

et S. Jaffard [6, 94] ont aussi ´etudi´e le probl`eme afin de proc´eder `a l’analyse multifractale

de certains processus al´eatoires. L’inconv´enient est que les notions de syst`eme r´egulier

optimal et de syst`eme d’ubiquit´e au sens de [19] sont tr`es techniques. Par ailleurs, les

propri´et´es de grande intersection de Fϕ ont ´et´e mises en ´evidence dans des cas

particu-liers, comme le cas de l’ensemble Jτ des r´eels τ-approchables par des rationnels [63] ou

de l’ensemble des r´eels approch´es par les points d’un syst`eme r´egulier optimal [38], mais

n’ont jamais ´et´e ´etudi´ees de mani`ere syst´ematique.

Notre but dans ce chapitre est de montrer que sous des hypoth`eses tr`es simples sur

la famille (x_i, r_i)_i∈I, l’ensembleF_ϕ appartient toujours `a une certaine classe Gg(V)

d’en-sembles `a grande intersection. Cela fournit d’une part une condition suffisante optimale

sur g ∈Dpour que lag-mesure de Hausdorff deFϕ soit infinie. D’autre part, cela permet

de s’int´eresser aux propri´et´es de taille d’une intersection d´enombrable d’ensembles de la

forme (3.1). L’hypoth`ese que nous faisons sur (xi, ri)i∈I est la suivante : l’ensemble

FId=

x∈R^d

kx−xik< ri pour une infinit´e de i∈I

est de mesure de Lebesgue pleine dans un ouvert non videV deRd. Dans ce cas, on dit que

(xi, ri)i∈I est un syst`eme d’ubiquit´e homog`ene dans V. On peut mettre en ´evidence cette

propri´et´e d`es qu’on dispose d’un r´esultat analogue au cas de divergence du th´eor`eme de

Khintchine, ce qui est vrai dans tous les probl`emes classiques d’approximation

diophan-tienne. Par exemple, la famille (p/q, ψ(q))_(p,q)∈Z

d

×N

∗

est un syst`eme d’ubiquit´e homog`ene

dansR^dsi la s´erieP

qψ(q)dqddiverge, en vertu du th´eor`eme de Khintchine. Dans la mˆeme

veine, la famille (a, ψ(H(a)))a∈A

_n

est un syst`eme d’ubiquit´e homog`ene dans R si la s´erie

P

hψ(h)hndiverge. Plus g´en´eralement, un r´esultat de V. Beresnevich [16] permet de

prou-ver qu’un syst`eme r´egulier optimal de points conduit `a un syst`eme d’ubiquit´e homog`ene.

Par cons´equent, les r´esultats de ce chapitre s’appliquent dans toutes les situations o`u des

syst`emes r´eguliers optimaux de points de R^d interviennent.

Le th´eor`eme 3.2 ´enonc´e dans la section III indique que si (xi, ri)i∈I est un syst`eme

d’ubiquit´e homog`ene dans un ouvert non vide V de Rd, pour toute jauge g de D_d,

l’en-semble Fϕ appartient `a la classe Gg(V) lorsque ϕ co¨ıncide au voisinage de l’origine avec

la pseudo-inverse deg1/d. Ce th´eor`eme permet donc de transformer syst´ematiquement un

r´esultat de type Khintchine dans le cas de divergence en un r´esultat d’appartenance `a

une classe d’ensembles `a grande intersection. C’est ainsi par exemple que nous pouvons

montrer queKd,ψ ∈Gg(V) si la s´erie P

qg(ψ(q))qd diverge. En pratique, le th´eor`eme 3.2

permet aussi de transformer automatiquement un r´esultat de type Khintchine en un

r´e-sultat de type Jarn´ık. De la sorte, nous prouvons queHg(Kd,ψ ∩V) =Hg(V) pour toute

jaugeg ∈D telle que la s´erieP

qgd(ψ(q))qd diverge. Nous renvoyons `a la section IV pour

de nombreuses autres applications du th´eor`eme 3.2.

La suite de ce chapitre s’organise comme suit. Dans la section II, nous d´efinissons

la classe Gg(V) des ensembles `a grande intersection dans un ouvert non vide V de R^d

relativement `a une fonction de jaugegdeD_det nous fournissons ses principales propri´et´es.

C’est l’objet de la proposition 3.1 et du th´eor`eme 3.1. Dans la section III, nous introduisons

pr´ecis´ement la notion de syst`eme d’ubiquit´e homog`ene dans un ouvert non videV deR^det

nous ´enon¸cons le th´eor`eme 3.2 qui d´ecrit les propri´et´es de grande intersection de l’ensemble

Fϕ d´efini par (3.1) lorsque la famille (xi, ri)i∈I est un syst`eme d’ubiquit´e homog`ene. La

section IV propose de nombreuses applications qui rel`event toutes de l’approximation

diophantienne. Nous nous int´eressons aux propri´et´es de taille et de grande intersection de

l’ensemble des points de l’espace R^d qui sont ψ-approchables d’abord par des rationnels

(dans le cas homog`ene comme dans le cas inhomog`ene), ensuite par des rationnels sujets

`a certaines restrictions et enfin par des nombres alg´ebriques dans le cas unidimensionnel.

Nous consid´erons en outre le probl`eme de l’approximation de 0 par les valeurs en un point

fix´e des polynˆomes `a coefficients entiers de degr´e born´e. Nous en d´eduisons des r´esultats

concernant les classifications de Mahler et Koksma des r´eels transcendants. Enfin, les

sections V et VI sont principalement consacr´ees aux preuves des th´eor`emes 3.1 et 3.2.

II Ensembles `a grande intersection

Les classes d’ensembles `a grande intersection consid´er´ees par K. Falconer dans [63] sont

associ´ees uniquement aux fonctions Id^s pours∈ ]0, d]. Celles que nous introduisons dans

cette section sont associ´ees aux fonctions appartenant `a l’ensemble D_d d´efini dans la

section I. De plus, les classes de K. Falconer traduisent n´ecessairement une propri´et´e

de grande intersection dans Rd tout entier car leur d´efinition fait intervenir toutes les

similitudes. Cependant, il arrive souvent qu’on ´etudie des propri´et´es de grande intersection

sur un sous-ensemble de R^d, cf. sections III et IV. C’est pourquoi les classes que nous

introduisons ne sont pas d´efinies en faisant appel aux similitudes. `A la place, nous utilisons

des mesures ext´erieures analogues `a celles qui interviennent dans l’´etude des suites Ms

∞

-denses [60, 139] et dans la caract´erisation des classesGs(R^d) de K. Falconer qui fait l’objet

du th´eor`eme B de [63].

Un entier naturel csup´erieur `a 2 ´etant fix´e, notons Λc l’ensemble des cubes c-adiques

de l’espace R^d, c’est-`a-dire des ensembles de la forme λ = c−j(k + [0,1[d), o`u j et k

appartiennent respectivement aux ensemblesZetZ^d. L’entierj s’appelle la g´en´eration de

λ et se note hλic. Soit g une jauge de D_d. L’ensemble des r´eels ε ∈ ]0,1] tels que g croˆıt

sur [0, ε] et r 7→g(r)/rd d´ecroˆıt sur ]0, ε] est non vide. Notons ε_g son supremum. Notons

en outre Λc,g l’ensemble des cubes λ ∈ Λc dont le diam`etre |λ| est strictement inf´erieur

`a εg. Soit F une partie de R^d. D´esignons par Rc,g(F) la collection des recouvrements de

F par des cubes c-adiques de diam`etre strictement inf´erieur `a ε_g, c’est-`a-dire des suites

(λp)p∈N d’´el´ements de Λc,g∪ {∅} telles que F ⊂^Spλp. Notons alors

Mg

∞(F) = inf

(λ

p

)

p∈N

∈R

c,g

(F)

∞

X

p=0

g(|λp|). (3.4)

De la sorte, on d´efinit sur l’espace R^d une mesure ext´erieure Mg

∞ qui pr´esente certains

liens avec la mesure de Hausdorff Hg, cf. [137, th. 4, th. 49]. En particulier, si la mesure

ext´erieure Mg

∞ attribue une masse non nulle `a un certain sous-ensemble de R^d, ce

sous-ensemble est deg-mesure de Hausdorff non nulle. Les mesuresMg

∞ permettent de d´efinir

les classes d’ensembles `a grande intersection comme suit.

D´efinition (ensemble `a grande intersection)

Soientg une jauge appartenant `aD_detV un ouvert non vide deR^d. La classe Gg(V)

des ensembles de R^d `a grande intersection dans l’ouvert V relativement `a la jauge g

est la collection des sous-ensembles F de Rd qui sont des Gδ (i.e. des intersections

d´enombrables d’ouverts) et qui v´erifient Mg

∞(F ∩U) = Mg

∞(U) pour toute jauge g

de D_d telle queg ≺g et tout ouvert U deR^d inclus dans V.

Remarques : • La proposition 3.7, ´enonc´ee et prouv´ee dans la section V, indique que la

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