Dans cette section, nous allons considérer le PES sur la géométrie du tore. Le spectre d’intrication orbitale pour la géométrie torique a été étudié dans la référence [93]. Comme notée dans la section 2.2.1 du chapitre 1, les orbitales sur le tore dans la jauge de Landau forment aussi une partition naturelle du tore en anneau le long d’une des axes de celui-ci. Ainsi, effectuer l’OES sur cette géométrie introduit deux bords distant spatialement. L’OES reflète dans ce cas l’existence de deux modes de bords contra-propageants. Mais à cause de la présence de ces deux modes, on obtient des structures pyramidales qui saturent le comptage trivial de la matrice densité réduite, i.e. le rang de la matrice densité réduite est égal à la dimension de l’espace de Hilbert. En revanche, nous allons voir que le PES sur le tore ne souffre pas de cette limitation et donne une signature plus claire que sur la sphère. La géométrie du tore est particulièrement importante car elle constitue la limite des problèmes sur réseau avec conditions aux bords périodiques que nous allons considérer dans la section 2 et au chapitre 4.
Contrairement à la sphère, les états d’EHQF sur le tore possèdent une dégénérescence liée aux translations du centre de masse [94]. De plus, les états non-abéliens possèdent une dégénérescence additionnelle. Cette dégénérescence des états fondamentaux sur les surfaces de genre non nulle est une signature des phases topologiques. Dans cette situation, la définition de la matrice densité réduite peut être ambiguë. Dans la référence [93], l’OES fut calculé par secteur de moment. Pour le PES, la définition qui permet de retrouver les mêmes propriétés que sur la sphère est celle où l’on somme de manière incohérente tous les secteurs :
ρ = 1 d d X i=1 |Ψii hΨi| ! (3.2)
(a) (b) (c) (d)
6 8 10 12 14 16 18 0 5 10 15 20 25ξ
L
A(e)
Figure3.2 – Panneau supérieur : description schématique de la construc-tion de l’état de Jain à ν = 2/5 et de ses états de quasitrous. Fig. (a) : L’état fondamental pour 4 particules. Dans le PES obtenu en enlevant deux fermions composites, les deux fermions composites restants sont en présence de 4 quanta de flux additionnels. Fig. (b) : La configuration de plus basse énergie dans ce cas n’utilise que le niveau Λ le plus bas. Figs. (c) and (d) : Deux autres configurations ayant la même énergie cinétique (mais pas la plus faible possible). À l’exception de dégénérescence accidentelle quand les états projetés à trois niveaux Λ sont inclus dans les états à deux niveaux Λ, seuls les états impliquant que les deux niveaux Λ les plus bas tel celui montré en (c) sont présents dans le PES. Panneau inférieur : PES pour l’état de Jain fermionique à ν = 2/5 pour N = 8 et NA = 4. Le comptage est identique à celui attendu pour NA= 4 CFs avec N∗
Φ,A = 10 quanta de flux quand on considère toutes les configurations à deux niveaux Λ. Cependant, les comptages des états pour les grandes valeurs de Lz,A obtenues ici (2, 3, 6) sont différents de ceux attendus à la limite thermodynamique (2, 4, 12) à cause d’effets de taille finie.
où |Ψii avec i = 1, ..., d forment une base orthogonale de l’espace des états fondamentaux dégénérés (d est la dégénérescence totale du fondamental). Ainsi définie, ρ commute avec les opérateurs de translations magnétiques et ne dépend pas d’un choix particulier de base. Dans nos calculs, nous utilisons la symétrie de translation suivant une seule direction. Les états seront donc indicés par le moment Ky, comme introduit dans la section 2.2.1 du chapitre 1. Nous avons vérifié que le PES pour l’état de Laughlin bosonique à ν = 1/2 et pour l’état de Moore-Read possède les mêmes propriétés que sur la sphère. La figure 3.3a montre un exemple de PES sur le tore pour l’état de Moore-Read. Le découpage à NA = N/2 possède les mêmes caractéristiques que celles mentionnées pour la figure 3.1 : un “état fondamental” doublement dégénéré à cause de la dégénérescence du centre de masse qui est proche de l’état de Laughlin et clairement séparé des autres états de quasitrous. La figure 3.3b montre le PES de l’état coulombien à ν = 1/3. Ce spectre présente un gap d’intrication qui montre une séparation très nette entre la partie basse énergie dont le comptage est le même que le comptage du PES de l’état de Laughlin et la partie haute énergie. Si l’on compare les figures 3.1b et 3.3b qui présentent le PES de l’état coulombien sur la sphère et sur le tore, on remarque que, dans le cas de la sphère, le gap d’intrication est beaucoup moins visible que dans celui du tore. Ainsi, le gap d’intrication dans le cas du PES comme dans celui de l’OES dépend fortement de la géométrie.
2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ξ Ky,A (a) 6 8 10 12 14 16 18 20 0 5 10 15 20 ξ Ky,A (b)
Figure 3.3 – (a) : PES de l’état de MR pour N = 8 bosons avec NA = 4 sur le tore. À cause de la dégénérescence du centre de masse, le spectre se répète après le secteur KA
y = 3. Comme souligné pour la géométrie de la sphère, “l’état fondamental” du PES est clairement séparé des autres états de quasitrous et est proche de l’état de Laughlin aussi bien en terme de recouvrement que de son propre PES. (b) : PES de l’état coulombien pour N = 8 fermions à ν = 1/3 sur le tore. Un gap d’intrication, matérialisé par la ligne verte, est bien visible. Il sépare la partie basse énergie dont le comptage est identique à celui du PES de l’état de Laughlin, de la partie haute énergie.
2 Application du spectre d’intrication par
parti-cule : caractérisation des phases de bosons dans
un réseau optique
Dans les sections précédentes, nous avons vu que le spectre d’intrication par particule donnait accès, de manière très simple, aux états de quasitrous pour les états d’EHQF. Dans cette section, nous allons déterminer l’utilité de cet outil quand on l’applique à un système plus compliqué qui peut présenter des phases assez différentes de celles de l’effet Hall quantique [23]. Ainsi, nous allons nous intéresser à un gaz de bosons piégés dans un réseau optique et soumis à une densité homogène de quanta de flux. Ce modèle, exposé dans la section 3.6.2 du chapitre 1, est intéressant à double titre : il fait le lien entre l’effet Hall quantique dans le continu et les isolants de Chern fractionnaires. Ces derniers sont obtenus quand une bande qui possède un nombre de Chern non nul est partiellement remplie et seront étudiés dans le chapitre 4. De plus, il sert de modèle pour la réalisation expérimentale de l’EHQF dans les gaz d’atomes froids, comme nous l’avons vu au chapitre 1.