Sous-suites

Examinons plus en détail la suite(x_n) = (−1)ⁿ

n∈N dont on a vu (page 25) qu’elle ne convergeait pas. D’après la figure I.26, on a envie de dire que les limites de la suite sont +1 et−1. Dire cela cependant est malheureux car on sait que la limite est unique... En fait, si on y regarde de plus près, ce n’est pas la suite(x_n)qui converge mais des parties de celle-ci : les nombres d’indices pairsx_2nconvergent vers 1 tandis que ceux d’indices impairs x_2n+1 convergent vers −1. Les suites (x_2n)_n∈N et (x_2n+1)_n∈N sont des exemples de ce qu’on appelle des sous-suites.

Essayons maintenant de définir cette notion avec plus de précision.

Comme on vient de le voir, une sous-suite consiste à choisir certains éléments de la suite de départ. Pas n’importe comment cependant. En effet, si on part de la suite(x_n)_n>1= (1/n)_n>1, on pourrait vouloir choisir uniquement l’élémentx₁ pour former la suite constante(x₁)_n∈N= (1,1,1, . . .). Cependant, ce qui nous in-téresse ici est que les limites des sous-suites, lorsqu’elles existent, disent quelque chose sur la limite éventuelle de la suite de départ. Il faut donc une manière d’ex-primer que les éléments choisis disent quelque chose sur la « fin » de celle-ci.

Choisir des éléments dans une suite(x_n)_n∈I revient à sélectionner des indicesn.

Supposons que l’on ait décidé de prendre les indices n₀,n₁,n₂, . . . si bien que la nouvelle suite formée soit (x_nk)_k∈N. Pour que (x_nk)_k∈N parle de la « fin » de (x_n)_n∈I, il faut avoir sélectionné des éléments d’indices assez grands ou, plus pré-cisément, il faut que les n_k deviennent de plus en plus grands. Pour voir cette propriété, nous allons imposer¹⁴ que la suite des n_k soit strictement croissante.

Graphiquement, cela donne

(x_n)_n∈N : x₀ x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₈ x₉ x₁₀ x₁₁ x₁₂. . .

(x_nk)_k∈N: x_n0 x_n1 x_n2 x_n3 x_n4. . .

Ces considérations mènent à la définition suivante où la fonctionk7→n_kest appe-léeϕ.

Définition I.16. Soient(x_n)_n∈I et(x⁰_m)_m∈Jdeux suites. On dit que(x⁰_m)_m∈Jest une sous-suitede(x_n)_n∈I s’il existe une fonction strictement croissanteϕ:J→Itelle que, pour toutm∈J, x⁰_m=x_ϕ(m). On emploie la (l’abus de) notation(x⁰_m)_m∈J ⊆ (x_n)_n∈I.

14. C’est en effet plus restrictif que les idées intuitives qui précèdent. Celles-ci se traduisent exactementn_k−−−→

k→∞ +∞.

Remarquez que cette définition insiste sur le fait qu’une sous-suite est elle-même une suite. Rappelons qu’une fonctionϕ:J→Iest strictement croissante si

∀m₁,m₂∈J, m₁<m₂⇒ϕ(m₁)<ϕ(m₂). Ici, puisqueJest de la forme{m₀,m₀+ 1,m₀+2,m₀+3, . . .}pour un certainm₀∈N, il faut et il suffit de vérifier (voyez-vous pourquoi ?) que∀m∈J, ϕ(m)<ϕ(m+1).

Les sous-suites ont la propriété intéressante suivante.

Proposition I.17. Soit(x⁰_m)_m∈J une sous-suite de(x_n)_n∈I. Si(x_n)_n∈I converge vers a, alors(x⁰_m)_m∈J aussi.

On peut reformuler cette propriété en disant que, si une suite converge, toutes ses sous-suites convergent vers la même limite.

Démonstration. Par définition de sous-suite, il existe une fonction strictement croissante ϕ : J →I telle que ∀m∈J, x⁰_m =x_ϕ(m). Nous savons que I ={n ∈ N:n>n₀}etJ={m∈N:m>m₀}pour certainsn₀,m₀∈N. Commençons par montrer que

∀m∈N, ϕ(m+m₀)>m+n₀. (I.14) Faisons le par récurrence. Pour m =0, il est évident que ϕ(m₀)>n₀ puisque ϕ(m₀) ∈ I. Prouvons le maintenant pour m+1 en supposant que ce soit vrai pourm. En utilisant la croissance stricte deϕ, on obtientϕ(m+1+m₀)>ϕ(m+ m₀)>m+n₀et donc queϕ(m+1+m₀)>m+n₀+1 comme désiré.

Supposons maintenant que x_n→aet prouvons que x⁰_m→a, c’est-à-dire que

∀ε >0, ∃m₁∈N, ∀m>m₁, |x_m⁰ −a|6ε. Soit ε>0. Par définition de x_n→a avec ceε, on obtient

∃n₁, ∀n>n₁, |x_n−a|6ε. (I.15) Choisissonsm₁:=max{n₁−n₀,0}+m₀∈N. Si m>m₁, m−m₀∈Net (I.14) impliquent que ϕ(m) =ϕ(m−m₀+m₀)>m−m₀+n₀ >n₁ et donc, au vu de (I.15), on a|x⁰_m−a|=|x_ϕ(m)−a|6ε.

Grâce à ce résultat, nous pouvons donner une preuve simple de la divergence de(x_n)_n∈N= (−1)ⁿ

n∈N. En effet, les sous-suites(x_2n)_n∈Net(x_2n+1)_n∈N(à quels ϕ correspondent-elles ?) sont les suites constantes (1)_n∈N et (−1)_n∈N et donc convergent vers 1 et−1 respectivement. En conséquence(x_n)ne peut converger, sinon les limites des deux sous-suites seraient égales.

Notons que la réciproque de la proposition I.17 est vraie : si toute sous-suite converge vers la même limite, alors la suite de départ converge vers cette limite.

Nous allons en fait prouver une équivalence un peu plus forte qui est plus utile dans la pratique.

Proposition I.18. Soit(x_n)_n∈I une suite de nombres réels et a∈R. On a l’équiva-lence suivante : x_n→a si et seulement si, de toute sous-suite de (x_n)_n∈I, on peut extraire une sous-sous-suite qui converge vers a.

Notez que la limite des sous-sous-suites est a et est donc indépendante de celles-ci.

Démonstration. Condition nécessaire : Il suffit de montrer qu’une sous-sous-suite de (x_n) est une sous-suite de (x_n) car on peut alors appliquer la propo-sition I.17. Soit (x⁰_m)_m∈J ⊆(x_n)_n∈I et (x⁰⁰_p)_p∈K ⊆ (x⁰_m)_m∈J. Il faut montrer que (x⁰⁰_p)_p∈K⊆(x_n)_n∈I. Par définition, il existe des applications strictement croissantes ϕ:J→Ietψ:K→J telles que

∀m∈J, x⁰_m=x_ϕ(m) et ∀p∈K, x⁰⁰_p=x⁰

ψ(p). Dès lors, il s’ensuit que

∀p∈K, x⁰⁰_p=x_ϕ(ψ(p))=x_ϕ◦ψ(p)

et il reste à montrer que ϕ◦ψ :K→I est strictement croissante. Il s’agit d’un exercice (facile) laissé au lecteur.

Condition suffisante : Supposons au contraire que x_n 6→a et obtenons une contradiction. On sait queI={n∈N:n>n₀}pour un certainn₀∈N. En niant la définition dex_n→a, on a

∃ε >0, ∀n₁∈N, ∃n>n₁, |x_n−a|>ε. (I.16) Posonsν0:=max{n₀,n₁}. On sait que|x_ν0−a|>ε. En utilisant (I.16) avecn₁= ν0+1, on déduit l’existence d’unν1>ν0tel que|x_ν1−1|>ε. En répétant cette opération, on a l’existence d’une suiteν0<ν1<ν2<ν3<· · ·telle que|x_νk−a|>

ε pour toutk∈N. Puisque(ν_k)est une suite strictement croissante,(x_νk)_n∈N est une sous-suite de(x_n). Par hypothèse, il existe une sous-suite(x⁰_m)_m∈J⊆(x_νk)_k∈N

qui converge vers a. Donc |x_m⁰ −a| →0. Comme d’autre part, chaque x⁰_m est un x_νkpour un certaink, on a

∀m∈J, |x⁰_m−a|>ε.

La proposition I.14 nous permet de passer à la limite sur cette inégalité, ce qui donne

0= lim

n→∞|x⁰_m−a|>ε.

Ceci contredit la stricte positivité deε.

I.3 Limites au sens large

Nous nous sommes intéressés précédemment à la convergence d’une suite vers un nombre réel. Il y a cependant d’autres situations où l’on a envie de parler de convergence. Par exemple, la suite(x_n)_n∈N= (n)_n∈Nfinit par dépasser n’importe quel nombre réel pour n suffisament grand, ce qui peut être interprété comme le fait que la suite se rapproche de +∞. Cependant la définition I.2 ne peut être utilisée dans ce cas car elle implique que la suite est bornée.

Proposition I.19. Soit (x_n)_n∈I une suite de nombres réels. Si (x_n)_n∈I converge vers un réel a alors(x_n)_n∈I est bornée, c’est-à-dire∃ρ ∈R, ∀n∈I, |x_n|6ρ. Démonstration. En prenantε=1 dans la définition dex_n→a, on a

∃n₀∈N, ∀n>n₀, |x_n−a|61. (I.17) Posonsρ :=max{1+|a|,|x_n|:n∈I, n<n₀}. Soit n∈I. Sin<n₀, clairement

|x_n| 6ρ. Si n> n₀, (I.17) implique que |x_n|=|x_n−a+a| 6|x_n−a|+|a| 6 1+|a|6ρ. Dans tous les cas, on a bien|x_n|6ρ.

Par conséquent, il faut donner une nouvelle définition pour exprimer qu’une suite se rapproche de+∞. Les idées sont les mêmes que pour la convergence vers un réelasauf que « se rapprocher dea» est remplacé par « devenir grand ».

Définition I.20. Soit(x_n)_n∈I ⊆R. On dit que(x_n)_n∈I converge vers+∞si

∀ρ∈R, ∃n₀∈N, ∀n∈I, n>n₀⇒x_n>ρ

ce qu’on notex_n−−−→_n→∞ +∞. Pour la convergence vers−∞, on remplacex_n>ρ par x_n6ρ.

Remarquez que si une suite converge vers +∞ ou −∞, elle est nécessaire-ment non-bornée. Il n’y a donc pas de conflit avec la définition I.2 et la propriété d’unicité de la limite subsiste. On peut donc sans risque de confusion employer la notation « lim ».

Pour insister sur le fait qu’on accepte±∞comme limites, on dira qu’une suite converge au sens largesi elle converge vers un nombre réel, vers+∞ou vers−∞

et qu’elleconvergeouconverge au sens strictsi elle converge vers un nombre réel (mais pas vers±∞). Dans la pratique, il arrive qu’on emploie le verbe « conver-ger » au lieu de l’expression « converconver-ger au sens large », le contexte permettant de le comprendre. Dans ces notes cependant, nous nous efforcerons de ne pas faire usage de cet abus.

Puisque nous venons d’étendre la notion de convergence, il serait bon de pas-ser en revue les diverses propriétés que nous avons vues précédemment et de voir comment elles s’adaptent. Commençons par les analogues des propositions I.7 et I.9. Nous aurons besoin pour celà du concept suivant.

Définition I.21. Soit(x_n)_n∈I⊆R. On dit que(x_n)_n∈I estmajoréeoubornée supé-rieurement(resp.minoréeoubornée inférieurement) s’il existe unR∈Rtel que, pour tout n∈I, x_n6R (resp. x_n>R). Un tel R est appelé un majorant ou une borne supérieure(resp. unminorantou uneborne inférieure) de(x_n)_n∈I.

Proposition I.22. Soit(x_n)_n∈I et(y_n)_n∈J deux suites de nombres réels.

(i) Si x_n→+∞et y_n→+∞, alors x_n+y_n→+∞.

(ii) Si x_n→+∞et(y_n)est bornée inférieurement, alors x_n+y_n→+∞.

(iii) Si x_n→+∞et∃ε >0, ∃n^∗∈N, ∀n>n^∗, y_n>ε (en particulier si(y_n) converge au sens large etlimy_n>0), alors x_ny_n→+∞.

(iv) Si x_n→+∞et∃ε>0, ∃n^∗∈N, ∀n>n^∗, y_n6−ε (en particulier si(y_n) converge au sens large etlimy_n<0), alors x_ny_n→ −∞.

Ces quatres propriétés restent vraies si on échange «+∞» et «−∞» et remplace

« bornée inférieurement » par « bornée supérieurement ».

(v) Si x_n→+∞ou x_n→ −∞, alors1/x_n→0.

(vi) Si x_n→0et∃n^∗∈N, ∀n>n^∗, x_n>0(resp. x_n<0) alors1/x_n→+∞(resp.

1/x_n→ −∞).

Proposition I.23.Soit(x_n)_n∈Iet(y_n)_n∈Jdeux suites de nombres réels. Si x_n→+∞

(resp. x_n→ −∞) et

∀n∈I∩J, x_n6y_n(resp. x_n>y_n) alors y_n→+∞(resp. y_n→ −∞).

Démonstration de la proposition I.23. Il faut prouver que∀ρ∈R, ∃n₀, ∀n>n₀, y_n>ρ. Soitρ ∈R. Par définition dex_n→+∞avec ceρ, on déduit qu’il existe unn₁∈Ntel que

∀n>n₁, x_n>ρ. (I.18) Prenonsn₀:=n₁. Soitn>n₁. De (I.18), on déduit quey_n>x_n>ρcomme désiré.

Démonstration de la proposition I.22. (i) Montrons que siy_n→+∞alors(y_n) est bornée inférieurement — il suffira alors d’établir (ii). Par définition de y_n→ +∞avecρ=0, on obtient l’existence d’unn₀∈Ntel que

∀n>n₀, y_n>0.

Dès lors, en prenantR:=min{0,y_n:n∈J, n<n₀}, on obtient que∀n∈J,y_n>R.

(ii) Le fait que(y_n)soit bornée inférieurement dit que∃R∈R, ∀n∈J, R6y_n. Dès lorsx_n+y_n>x_n+Rpour toutn. Il est facile de prouverx_n+R→+∞ (faites-le !). Doncx_n+y_n→+∞en vertu de la proposition I.23.

(iii) Il faut prouver que∀ρ∈R, ∃n₀∈N, ∀n>n₀, x_ny_n>ρ. Soitρ∈R. De la définition dex_n→+∞, il vient que

∃n₁∈N, ∀n>n₁, x_n>ρ/ε.

Prenonsn₀:=max{n₁,n^∗}. Sin>n₀, on a quex_n>ρ/ε ety_n>ε>0 et donc quex_ny_n>(ρ/ε)ε =ρ comme désiré.

(iv) Laissé au lecteur.

Pour l’échange de « +∞ » et « −∞ », il suffit de remarquer que x_n →+∞⇔

−x_n→ −∞.

(v) Supposons quex_n→+∞— l’autre cas étant similaire. Nous devons montrer que∀ε>0, ∃n₀, ∀n>n₀, |1/x_n|6ε. Soitε>0. Par définition dex_n→+∞avec ρ=1/ε, on sait qu’il existe unn₁∈Ntel que

∀n>n₁, x_n>ρ.

Prenonsn₀:=n₁. Sin>n₀, on a quex_n>ρ>0 d’où il vient que 1/x_n61/ρ=ε.

(vi) Nous ne ferons que le cas x_n>0 — l’autre étant analogue. Nous devons vérifier que ∀ρ ∈R, ∃n₀, ∀n>n₀, 1/x_n>ρ. Soit ρ ∈R. Si ρ 60, il suffit de prendren₀:=n^∗car alors, pour toutn>n₀, 1/x_n>0>ρ. Siρ>0, nous utilisons la définition dex_n→0 avecε=1/ρ>0 pour obtenir

∃n₁, ∀n>n₁, |x_n|6ε.

Prenonsn₀:=max{n₁,n^∗}. Sin>n₀, on ax_n>0 et donc|x_n|6ε implique que 1/x_n=1/|x_n|>1/ε =ρ.

Comme d’habitude, il est intéressant de considérer les suites constantes : les points (ii) et (iii) de la proposition I.22 impliquent respectivement que, sic∈R,

x_n→+∞⇒x_n+c→+∞ x_n→ −∞⇒x_n+c→ −∞

x_n→+∞⇒cx_n→

(+∞ sic>0

−∞ sic<0 x_n→ −∞⇒cx_n→

(−∞ sic>0 +∞ sic<0 C’est cette proposition aussi qui motive les règles de calcul sur les infinis. Par exemple, on pose(+∞)+(+∞) = +∞parce que (i) est vrai pour n’importe quelles suites. On justifie (ne restez pas les bras croisés...) de la même manière les règles suivantes :

(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) =−∞,

∀c∈R, +∞+c= +∞ et −∞+c=−∞,

(+∞)(+∞) = (−∞)(−∞) = +∞, (+∞)(−∞) = (−∞)(+∞) =−∞

∀c>0, c(+∞) = +∞ et c(−∞) =−∞,

∀c<0, c(+∞) =−∞ et c(−∞) = +∞.

Certaines opérations ne sont pas définies parce qu’on n’a pas de raison de leur attribuer une valeur plutôt qu’une autre. Par exemple, pour 0(+∞), on peut trouver des suites(x_n)et(y_n)telles quex_n→0,y_n→+∞et limxny_npeut valoir n’importe quel réel,+∞,−∞, ou même peut ne pas exister. Donnons des exemples de suites pour ces quatres cas :

sic∈R,x_n:=c/n→0,y_n:=n→+∞etx_ny_n=c→c; x_n:=1/n→0,y_n:=n²→+∞etx_ny_n=n→+∞;

x_n:=−1/n→0,y_n:=n²→+∞etx_ny_n=−n→ −∞;

x_n:= (−1)ⁿ/n→0, y_n:=n→+∞et x_ny_n= (−1)ⁿ ne converge pas (même pas au sens large).

De la même manière, les propriétés des limites ne permettent pas d’attribuer une valeur à 0(−∞), (+∞)−(+∞), (+∞) + (−∞),(−∞)−(−∞), +∞/+∞,+∞/−

∞, −∞/−∞qui sont par conséquent laissés indéterminés. (Pouvez-vous faire le même travail que pour 0(+∞): pour chaque opération, déterminer l’ensemble des limites possibles et donner un exemple de suite pour chacune d’entre elles ?)

Finissons notre passage en revue des propriétés vues pour la convergence stricte et de leur adaptation à la convergence au sens large. La proposition I.14 continue d’être valable si les suites(x_n)et(y_n)convergent au sens large. Son in-térêt est cependant réduit pour des limites infinies. Enfin, les propositions I.17 et I.18 restent vraies dans les casa= +∞eta=−∞. Le lecteur s’en convaincra facilement en reprenant les démonstrations et en remplaçantε >0 par ρ ∈R et

|x_n−a|>ε parx_n>ρ oux_n6ρ (selon le signe dea).

I.4 Pourquoi les nombres réels ?

Tous les critères suffisants de convergence vus jusqu’à présent imposaient de connaître à priori la limite de la suite dont on veut prouver la convergence. En effet, soit cette limite est connue à partir d’opérations algébriques sur d’autres li-mites, soit on cherche à majorer|x_n−a|où aest la limite pressentie de la suite (x_n). Cette section va développer des outils qui permettent de montrer la conver-gence d’une suite sans avoir aucune idée de la valeur de sa limite. Les retombées de cette exploration dévoileront la nature véritable des nombres réels.