1.2 Détection interférométrique des ondes gravitationnelles
1.2.2 Source de bruit dans un interféromètre de Michelson
Le signal peut contenir un signal d’une onde gravitationnelle hOG(t) ainsi que toutes les sources de bruit de la mesure.
d(t) = hOG(t) + hbruit(t) (1.95) Le bruit dans un interféromètre est mesuré par la densité spectrale en amplitude de son signal hbruit(t) présent dans le canal de détection. Son module à la fréquence f donne l’am-plitude minimale qu’une onde gravitationnelle doit avoir à cette fréquence pour qu’elle le domine dans le canal de détection : on l’exprime alors en amplitude d’onde gravitationnelle équivalente ˜hbruit(f ).
Il existe principalement trois sources de bruits fondamentales qui limitent la détection d’une onde gravitationnelle dont les propriétés ont conduit à améliorer la configuration de l’interféromètre. Elles peuvent être classées en fonction de la fréquence où elles sont dominantes :
• Le bruit sismique terrestre qui est dominant en dessous de 10 Hz et qui se couple aux mouvements des miroirs par leur suspension. Pour limiter son impact un système d’atténuateurs mécaniques sont utilisés pour isoler les miroirs du mouvement du sol. • Le bruit thermique qui limite la sensibilité entre 40 Hz et plusieurs centaines de Hz. La température du miroir et de sa suspension étant ambiante, elle crée une agitation thermique qui se traduit en un bruit de position et modifie la longueur des bras. • Le bruit de comptage des photons. Il domine à haute fréquence et provient de la
fluctuation du comptage des photons au niveau de la photodiode de détection. Une brève description de leurs propriétés va être faite dans les trois paragraphes suivants. Bruit sismique terrestre
Le bruit sismique, transferé du sol aux miroirs de l’interféromètre, constitue le bruit limitant la détection à basse fréquence. Sa densité spectrale en amplitude typiquement présente sur le site de Virgo, est pour des fréquences supérieures à 0.6 Hz est :
˜
xsol(f ) = 10−9 1Hz f
2
m/Hz1/2 (1.96)
Les miroirs doivent donc être isolés car ce bruit est bien au-dessus de l’amplitude des signaux recherchés. Un moyen consiste à suspendre les miroirs de l’interféromètre à des pendules montés en cascades. Au-dessus de sa fréquence de résonance f0, un pendule est modélisé par un filtre passe-bas d’ordre deux qui atténue le bruit transmis : le déplacement du pendule x(f ) par rapport au déplacement de la suspension xsusp(f ) est en terme de densité spectrale d’amplitude :
x(f ) xsusp(f ) = f0 f 2 (1.97) En construisant une suspension avec plusieurs pendules connectés en série, la densité spectrale d’amplitude du bruit sismique transmis au miroir, suspendu au dernier pendule, est : ˜ xmir(f ) ˜ xsol(f ) = M(f) = ff0 2N (1.98)
25 1.2 Détection interférométrique des ondes gravitationnelles où N est le nombre de pendules de la suspension et M(f), sa fonction de transfert mé-canique totale. Avec N=7 et f0 = 0.6 Hz, l’amplitude du bruit sismique est atténuée en f−14 au dessus de cette fréquence. Comme décrit dans la prochaine partie, Virgo utilise des superatténuateurs basés sur ce principe pour réduire ce bruit. La contribution des fluctuations de position de chaque miroir dans le canal de détection et induit par le bruit sismique est alors donnée par :
˜ hsismique(f ) = x˜mir L Hz −1/2 (1.99) Bruit thermique
En 1828 le botaniste Robert Brown observa le mouvement aléatoire de poussières en suspension dans le fluide contenu à l’intérieur de grains de pollen. En 1905 Einstein expliqua que cette agitation dépend du taux d’impact des particules du fluide environnant, de la viscosité du fluide et de sa température. Le caractère discret de l’interaction implique le caractère aléatoire de la fluctuation en position résultante : le bruit thermique. Le lien des mécanismes de dissipation et température d’un système avec le bruit thermique résultant a été généralisé par le théorème de dissipation-fluctuation [21].
La réponse mécanique du système à la force F est alors représentée par son impédance Z définie par :
F = Z(ω)x(ω). (1.100)
Le théorème de fluctuation dissipation établit le lien entre la densité spectrale de la « force thermique » et la partie réelle < de l’impédance du système :
Ftherm(ω) = 4kBT <(Z(ω)) (1.101)
où kBest la constante de Boltzmann et T la température du système. La densité spectrale du bruit en position due à cette force thermique est donnée par :
xtherm(ω)2 = kBT
π2ω2<(Y (ω)) (1.102)
où Y (ω) = 1/Z(ω) est l’admittance du système. De manière générale, la réponse méca-nique d’un système peut être décrite par le modèle de l’oscillateur harmoméca-nique. Supposons que le système possède des dissipations liées à sa vitesse de déplacement et d’autre part à son inélasticité si il se déforme sous l’action d’une force. L’équation du mouvement du système de masse m, est alors décrit par le modèle de l’oscillateur harmonique :
jω2+ jωγ m + k m(1 + jφ(ω)) x(ω) = F /m (1.103) où
• γ représente les forces de frottements proportionnelles à la vitesse du système. • k (1 + jφ(ω)) est la force de rappel kx créée lorsque le système se déforme et qui est
donnée par la loi de Hooke. φ(ω) est apppelé l’angle de perte et représente la partie dissipative dans la force de rappel et représente les déformations inélastiques dans le matériau. Dans la plupart des matériaux, l’angle de perte est indépendant de la fréquence.
L’impédance mécanique de ce système est alors :
Z(ω) = jω.m + γ − jk(1 + jφ(ω))
ω (1.104)
Dans l’hypothèse où les effets dissipatifs sont dominés par l’inélasticité du matériau, l’am-plitude spectrale du bruit thermique de l’oscillateur est donnée par :
xthermique(ω) = v u u t 4kbTω2 0 mQω 1 ω02 Q 2 + (ω2− ω02)2 (1.105)
où ω0 est la pulsation de résonance du système et Q est le facteur de qualité de cette résonance définie comme sa largeur à mi-hauteur de (xtherm(ω))2 et relié à l’angle de perte par Q = φ−1(ω0). Son expression en amplitude d’onde gravitationnelle équivalente est donnée pour un miroir par :
˜
hthermique(f ) = x˜thermique
L Hz
−1/2 (1.106)
La dépendance en fréquence du bruit thermique du système est donc : • ω−1/2 si ω << ω0
• 4kbTQ/(mω03)1/2
si ω = ω0
• ω−5/2 si ω >> ω0
Lorsqu’on augmente le facteur de qualité, le bruit thermique augmente au niveau de la résonance mais diminue en dehors. En choissisant des matériaux de faible dissipation, il est alors possible de concentrer le bruit thermique autour de leurs résonances et de le diminuer partout ailleurs.
Bruit de photons
Pour que la détection de δPasy,og soit optimisée, ∆l0 doit être réglé pour maximiser la réponse de l’interféromètre par rapport au bruit impactant la mesure. Le bruit de pho-tons est un bruit fondamental de la détection interférométrique et qui nécessite d’utiliser la description corpusculaire, avec des photons, du faisceau laser pour en comprendre ses propriétés. La puissance mesurée est donnée par le nombre de photons N , d’énergie indi-viduelle E = ¯hω arrivant sur la photodiode pendant une durée ∆t :
N = Pasy∆t ¯
hω (1.107)
où ¯h = hp/2π est la constante de Planck réduite. Le processus de mesure est un comptage par la photodiode des photons arrivant dans une fenêtre de largeur ∆t, qui de part leur nature discrète, fluctue selon une loi poissonniène :
˜ δN =√
N (1.108)
et qui induit un bruit en puissance, le bruit de photon : ˜
δPasy,bp =r Pasy¯hω
∆t 1/
√
27 1.2 Détection interférométrique des ondes gravitationnelles qui est fonction de la puissance continue arrivant sur la photodiode. La longueur optimale ∆l0 doit être optimisée pour que le rapport du signal sur bruit (SNR) soit maximal :
SN R = δPasy,OG ˜ δPasy,bp =r 2Plaser ¯ hω C sin 4π λ ∆l0 q 1 − C cos4π λ ∆l0 .δφOG (1.110)
Dans la situation où C = 1, la condition 4π
λ∆l0 = 0 mod[2π] conduit à une sensibilité maximale au passage d’une onde gravitationnelle et correspond à une puissance sortante (cos4πλ∆l0 = 1) nulle : lorsque l’interféromètre est réglé dans cette configuration, on dit qu’il est sur la frange noire. Lorsque le constraste est inférieur à un, la puissance sortante est non-nulle même à la "frange noire" et le bruit de photon apparaît : le point de sensibilité maximale est alors décalé. Sa position est déterminée par l’étude de la fonction :
C sin 4πλ∆l0
q
1 − C cos4πλ ∆l0
(1.111)
Pour un constraste parfait, l’amplitude d’onde gravitationnelle minimale telle qu’elle ait un SNR de un est alors donnée par :
˜ hphotons = 1 2π(lx+ ly) r hpcλ Plaser 1/√ Hz (1.112)
Si l’on considère les valeurs nominales de Virgo pour lx = ly = 3 km, Plaser = 20 W et λ = 1064 nm, la limite de détection est donc :
˜
hphotons ∼ 2.10−21 1/√
Hz (1.113)
La densité spectrale en amplitude d’une onde gravitationnelle que l’on s’attend typique-ment à détecter est étant de l’ordre de :
hphotons ∼ 10−23 1/√
Hz (1.114)
ce qui est deux ordres de grandeur en-dessous. Comme le montre l’équation 1.112, la sensibilité peut être améliorée en augmentant la longueur des bras de l’interféromètre ainsi que la puissance du laser. Cependant, pour des raisons techniques, la longueur des bras ne peut pas dépasser quelques kilomètres et la puissance quelques dizaines de watts. La méthode employée dans Virgo pour contourner ces deux limitations techniques consiste à utiliser d’une part des cavités Fabry-Perot pour augmenter le chemin optique du faisceau sans augmenter la longueur des bras et d’autre part à recycler la puissance sortant en direction du laser par l’ajout d’un miroir.