O método 2D-VM (KAROUI et al., 2012) é baseado em SCA e, diferente dos métodos do gradiente e da evolução diferencial apresentados, ele extrai primeiramente a matriz A que, no caso de imagens hiperespectrais, é a matriz de endmembers. Assim, de posse de uma estimativa da matriz mistura, é possível, através de um método de mínimos quadrados, encontrar as abundâncias fracionais S. A exigência para que esse método
Capítulo 4. Resultados 48
funcione bem é que existam pixels puros nas imagens, ou seja, pixels onde se encontrem apenas um material puro, de modo que a abundância fracional seja igual a um, devido à equação (2.9). No contexto de BSS, isso é equivalente a existir apenas uma fonte ativa (ver Apêndice A para maior detalhamento do método).
A fim de se comparar os métodos da evolução diferencial e o 2D-VM, foram selecionados dois espectros de endmembers de uma biblioteca espectral compilada pelo
United States Geological Survey (USGS) e medidos de 0, 4 a 2, 5𝜇𝑚 (CLARK et al.,
2007). A Figura 20 mostra esses espectros. Esses dois espectros foram então utilizados para se gerar imagens hiperespectrais, de acordo com o modelo de mistura linear. Os dois mapas de abundância fracional originais foram retirados de (KAROUI et al., 2012) e são mostrados na Figura 21. Para obedecer à restrição dada pela equação (2.9), os dois mapas de abundância fracional foram normalizados (Figura 22), a fim de que a soma para cada pixel ficasse igual a 1, e então foram geradas as misturas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 10 20 30 40 50 60 Comprimento de onda (µm) Reflectância (%) endmember1 endmember2
Figura 20 – Os dois espectros de endmembers reais.
10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70
(a) Mapa de abundância fracional 1.
10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70
(b) Mapa de abundância fracional 2. Figura 21 – Os dois mapas de abundância fracional reais.
Comparou-se, então, os dois métodos para a BSS. No caso da evolução diferencial, que foi usado para a extração, os parâmetros utilizados foram os seguintes: número de
Capítulo 4. Resultados 49 10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70
(a) Mapa de abundância fracional 1 nor- malizado. 10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70
(b) Mapa de abundância fracional 2 nor- malizado.
Figura 22 – Os dois mapas de abundância fracional normalizados.
iterações = 1000, taxa de mutação 𝐹 = 0, 5, taxa de crossover 𝐶𝑅 = 0, 5, tamanho da população 𝑁 𝑃 = 10. O valor inicial foi escolhido aleatoriamente com distribuição uniforme de probabilidade, no intervalo [0, 1], e o valor do desvio padrão utilizado para o cálculo da função custo, segundo o modelo da norma 𝑙0 suavizada, foi 𝜎 = 0, 05. Os
parâmetros utilizados para a deflação foram os seguintes: a constante 𝛼𝑖 foi procurada
no intervalo [−5, 5], com divisões de 0, 01 e o desvio padrão utilizado para o cálculo da função custo segundo o modelo da norma 𝑙0 suavizada, foi 𝜎 = 0, 01. A Figura 23 mostra
os mapas de abundância recuperados com o método da evolução diferencial.
10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70
(a) Mapa de abundância fracional 1 recu- perado pelo método da evolução diferen- cial. 10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70
(b) Mapa de abundância fracional 2 recu- perado pelo método da evolução diferen- cial.
Figura 23 – Os dois mapas de abundância fracional recuperados pelo método da evolução diferencial para os dados reais.
Pela análise da Figura 23, num primeiro momento, concluiu-se que o método re- cuperou os dois mapas de abundância fracional normalizados, mostrados na Figura 22, a menos de uma ambiguidade de permutação. Verificando os gráficos de dispersão bi- dimensional entre as fontes originais e as estimativas obtidas, mostrados na Figura 24, percebeu-se que ambas as estimativas equivalem à ambas as fontes, a menos de ambigui-
Capítulo 4. Resultados 50
dades de permutações e de escala. Isso também pôde ser verificado pela 𝑆𝐼𝑅 entre as duas fontes e as duas estimativas apresentados na Tabela 2.
Tabela 2 – Resultados da 𝑆𝐼𝑅 (dB) para o método da evolução diferencial e para o mé- todo 2D-VM para os dados reais.
y1 (DE) y2 (DE) y1 (2D-VM) y2 (2D-VM) s1 264, 6 78, 4 301, 3 314, 7 s2 264, 5 78, 4 305, 3 306, 9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 200 400 600 y1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −2 −1 0 1 2x 10 −9 y2 S1
(a) Fonte 1 pelas duas estimativas.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 200 400 600 y1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −2 −1 0 1 2x 10 −9 y2 S2
(b) Fonte 2 pelas duas estimativas.
Figura 24 – Dispersão bi-dimensional entre as fontes originais e as estimativas obtidas para o método da evolução diferencial para os dados reais.
Para o método 2D-VM, os parâmetros utilizados foram os seguintes: tamanho das zonas de análise = 6, valor limite para zonas puras = 1 × 10−20 e valor limite para o ângulo SAM = 8∘. A Figura 25 mostra os espectros dos dois endmembers recuperados e a Figura 26 mostra os mapas de abundância recuperados com o método 2D-VM.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 10 20 30 40 50 60 Comprimento de onda (µm) Reflectância (%) endmember ext. 1 endmember ext. 2
Figura 25 – Os dois espectros de endmembers extraídos pelo método 2D-VM para os dados reais.
Pela análise das Figuras 25 e 26, também concluiu-se que o método recuperou os dois mapas de abundância fracional normalizados, mostrados na Figura 22, a menos
Capítulo 4. Resultados 51 10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70
(a) Mapa de abundância fracional 1 recu- perado pelo método 2D-VM.
10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70
(b) Mapa de abundância fracional 2 recu- perado pelo método 2D-VM.
Figura 26 – Os dois mapas de abundância fracional recuperados pelo método 2D-VM para os dados reais.
de uma ambiguidade de permutação. Novamente, verificando os gráficos de dispersão bi- dimensional entre as fontes originais e as estimativas obtidas, mostrados na Figura 27, também percebeu-se que ambas as estimativas equivalem à ambas as fontes, a menos de ambiguidades de permutações e de escala. Isso também pôde ser verificado pela 𝑆𝐼𝑅 entre as duas fontes e as duas estimativas apresentados na Tabela 2. Percebe-se que a 𝑆𝐼𝑅 nesse caso é maior que para o método da evolução diferencial, mostrando que o método 2D-VM foi mais eficiente para esses dados.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 y1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y2 S1
(a) Fonte 1 pelas duas estimativas.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 y1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y2 S2
(b) Fonte 2 pelas duas estimativas.
Figura 27 – Dispersão bi-dimensional entre as fontes originais e as estimativas obtidas para o método 2D-VM para os dados reais.
Esses resultados obtidos pelos dois métodos levaram a uma análise do comporta- mento dos mapas de abundância fracional. Verificando os gráficos de 𝑆1 por 𝑆2 antes e depois de serem normalizados (Figura 28) percebeu-se que após a normalização, a corre- lação entre os dois mapas de abundância fracional igualou a 1, o que não era verdade para antes da normalização. Portanto, concluiu-se que, para esse caso, a restrição dada pela equação (2.9) transformou os dois mapas de abundância fracional no mesmo, a menos de ambiguidade de escala e, por isso, conseguiu-se o resultado mostrados pelos dois métodos.
Capítulo 4. Resultados 52 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 S2 original S1 original
(a) Fonte 1 pela fonte 2.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 S2 normalizado S1 normalizado
(b) Fonte 1 normalizada pela fonte 2 nor- malizada.
Figura 28 – Fontes originais e normalizadas.
4.4
Imagens hiperespectrais: método da evolução diferencial × mé-
todo 2D-VM - Dados sintéticos
Nessa seção, foram sintetizados dados a fim de que se criasse um cenário no qual o método 2D-VM encontra dificuldade. Os dois espectros de endmembers sintéticos são apresentados na Figura 29. Eles foram criados de tal maneira que as misturas fossem bem evidenciadas, então escolheu-se valores aleatórios com distribuição uniforme de probabili- dade para ambos os endmembers, de maneira que a média do primeiro fosse 0, 7 e a média do segundo fosse 0, 1. Esses dois espectros foram então utilizados para se gerar imagens hiperespectrais, de acordo com o modelo de mistura linear.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Comprimento de onda (µm) Reflectância (%) endmember1 endmember2
Figura 29 – Os dois espectros de endmembers sintéticos.
Capítulo 4. Resultados 53 10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70
(a) Mapa de abundância fracional 1.
10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70
(b) Mapa de abundância fracional 2. Figura 30 – Os dois mapas de abundância fracional sintéticos.
30. Na verdade, eles são os mesmos mapas de abundância fracional mostrados na Figura 21, com a diferença de que foram acrescentados aproximadamente 1250 valores nulos por todo o mapa 𝑆2, com o objetivo de deixá-los com uma diferença grande de esparsidade.
Outra diferença é que para esse caso, os mapas de abundância fracional não foram norma- lizados, portanto a soma para cada pixel não ficou igual a 1. Na prática, a restrição dada pela equação (2.9) pode ser violada devido aos efeitos da variabilidade dos endmembers (EV, Endmember Variability), que é a variação das assinaturas espectrais de um material em uma imagem hiperespectral, devido a variações na iluminação, atmosfera ou condições temporais (ZARE; HO, 2014).
Comparou-se, então, os dois métodos para a BSS considerados em nosso estudo. No caso da evolução diferencial, que foi usado para a extração, os parâmetros utilizados foram os seguintes: número de iterações = 1000, taxa de mutação 𝐹 = 0, 5, taxa de
crossover 𝐶𝑅 = 0, 5, tamanho da população 𝑁 𝑃 = 10. O valor inicial foi escolhido
aleatoriamente com distribuição uniforme de probabilidade, no intervalo [0, 1], e o valor do desvio padrão utilizado para o cálculo da função custo, segundo o modelo da norma 𝑙0
suavizada, foi 𝜎 = 0, 05. Os parâmetros utilizados para a deflação foram os seguintes: a constante 𝛼𝑖 foi procurada no intervalo [−10, 10], com divisões de 0, 01 e o desvio padrão
utilizado para o cálculo da função custo segundo o modelo da norma 𝑙0 suavizada, foi
𝜎 = 0, 01.
A Figura 31 mostra os mapas de abundância recuperados com o método da evolução diferencial. Pela análise da Figura 31, concluiu-se que o método recuperou os dois mapas de abundância fracional, mostrados na Figura 30, a menos de uma ambiguidade de permutação. Isso também foi observado tanto pelos gráficos de dispersão bi-dimensional entre as fontes originais e as estimativas, mostrados na Figura 32, como pela 𝑆𝐼𝑅 entre as duas fontes e as duas estimativas apresentados na Tabela 3. A média da 𝑆𝐼𝑅 foi de 20, 7, o que é um resultado satisfatório, considerando que uma 𝑆𝐼𝑅 acima de 12dB é um valor satisfatório.
Capítulo 4. Resultados 54 10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70
(a) Mapa de abundância fracional 1 recu- perado pelo método da evolução diferen- cial. 10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70
(b) Mapa de abundância fracional 2 recu- perado pelo método da evolução diferen- cial.
Figura 31 – Os dois mapas de abundância fracional recuperados pelo método da evolução diferencial para os dados sintéticos.
Tabela 3 – Resultados da 𝑆𝐼𝑅 (dB) para o método da evolução diferencial para os dados sintéticos. y1 y2 s1 0, 1 14, 5 s2 26, 9 0, 003 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 y1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −5 0 5 10 15 y2 S1
(a) Fonte 1 pelas duas estimativas.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 y1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −5 0 5 10 15 y2 S2
(b) Fonte 2 pelas duas estimativas.
Figura 32 – Dispersão bi-dimensional entre as fontes originais e as estimativas para o método da evolução diferencial para os dados sintéticos.
Para o método 2D-VM, os parâmetros utilizados foram os seguintes: tamanho das zonas de análise = 6, valor limite para zonas puras = 1×10−20e valor limite para o ângulo SAM = 8∘. Para esses dados, o método 2D-VM não apresentou um resultado satisfatório, pois ele conseguiu extrair apenas um endmember com valores nulos, como pode ser visto na Figura 33. Consequentemente, a única fonte recuperada apresentou valores nulos, como pode ser visto na Figura 34.
Uma hipótese para o método 2D-VM não ter funcionado corretamente para esse caso é o uso de mapas de abundância fracional que não foram normalizados para que a soma para cada pixel ficasse igual a um, violando assim a restrição dada pela equação
Capítulo 4. Resultados 55 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Comprimento de onda (µm) Reflectância (%) endmember ext. 1
Figura 33 – O espectro de endmember extraído pelo método 2D-VM para os dados sinté- ticos. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.5 0 0.5 1 y1 S1
Figura 34 – Dispersão bi-dimensional entre as fontes 𝑆1 e a estimativa 𝑦1 para o método
2D-VM para os dados sintéticos
(2.9). Desse modo, os pixels puros deixaram de existir, sendo a existência deles, condição fundamental para que esse método funcione bem.
56
5 Conclusões e perspectivas
Neste trabalho foi desenvolvido um algoritmo para separação cega de fontes es- parsas que se dividiu em duas partes: extração cega de fontes e deflação. A extração cega de fontes foi realizada através da minimização da norma 𝑙0, uma medida de esparsidade
das fontes, por meio do método da evolução diferencial. A separação total das fontes foi alcançada através de aplicações sucessivas da extração, sendo realizado um processo de deflação entre cada uma das aplicações, através também da minimização da norma 𝑙0,
mas por meio de uma busca exaustiva.
Inicialmente, comparando o método proposto com o método do gradiente descen- dente para a extração cega de fontes, percebeu-se que o método do gradiente convergiu para um mínimo local, diferente do método proposto que convergiu para o mínimo global. Portanto, concluiu-se que devido ao método do gradiente não ser robusto o suficiente para mínimos locais, dependendo do valor inicial escolhido, pode-se ter uma convergência para um mínimo local, não conseguindo uma boa estimação da fonte extraída.
A fim de se avaliar mais profundamente o desempenho desses dois métodos para separação cega de fontes, calculou-se a média da relação sinal-interferência para cenários com diferentes números de fontes, utilizando-se fontes ortogonalmente disjuntas e não disjuntas. Verificou-se que a maior eficiência em separação ocorreu com o método proposto, em face do método do gradiente. Esse resultado foi encontrado pois, como os valores iniciais são escolhidos aleatoriamente, em algumas das simulações realizadas utilizando-se o método do gradiente o mínimo alcançado foi local e não global, não ocorrendo a extração das fontes e, portanto, diminuindo assim a eficiência da separação.
Avaliou-se então o melhor caso obtido para separação, que foi utilizando-se o método proposto com fontes ortogonalmente disjuntas e, como era esperado, houve uma diminuição da relação sinal-interferência com o aumento do número de fontes devido à maior complexidade do problema, por causa do aumento na dimensão do espaço de busca. Porém conseguiu-se um resultado satisfatório para separação de até sete fontes.
Por último, comparou-se o método proposto com o método 2D-VM para separação cega de fontes em dados de imagens hiperespectrais reais e sintéticos. Para os dados reais, conseguiu-se resultados satisfatórios para ambos os métodos, sobressaindo-se o método 2D-VM. Isso ocorreu, pois, devido à normalização realizada nos dois mapas de abundância fracional, a correlação entre eles se igualou a um e concluiu-se que, para esse caso, os dois mapas de abundância fracional foram transformados no mesmo, a menos de uma ambiguidade de escala. Para os dados sintéticos, construídos de modo que não existissem pixels puros, pois os mapas de abundância fracional não foram normalizados, o método
Capítulo 5. Conclusões e perspectivas 57
proposto mostrou resultados satisfatórios, mas o método 2D-VM não conseguiu realizar a separação, pois a existência de pixels puros é uma condição fundamental para que esse método funcione bem.
Para finalizar essa dissertação, pode-se citar as seguintes perspectivas para tra- balhos futuros:
∙ Utilização de outros métodos para se resolver o problema de minimização da norma
𝑙0, como o Simulated Annealing; um algoritmo híbrido entre o método proposto neste
trabalho e o método do gradiente descendente; e uma minimização sem restrição através do método do Lagrangiano;
∙ Verificação dos resultados obtidos utilizando-se outras restrições para o problema de minimização da norma 𝑙0, no lugar de ‖w‖2 = 1;
∙ Realização de um estudo mais aprofundado dos problemas envolvendo imagens hi- perespectrais e desenvolvimento de novos métodos para a realização da BSS nesse contexto.
58
Referências
ARONS, B. A review of the cocktail party effect. Journal of the American Voice I/O
Society, v. 12, n. 7, p. 35–50, 1992. Citado na página 22.
BELL, A. J.; SEJNOWSKI, T. J. An information-maximization approach to blind separation and blind deconvolution. Neural computation, MIT Press, v. 7, n. 6, p. 1129–1159, 1995. Citado 2 vezes nas páginas 18 e 28.
BELL, A. J.; SEJNOWSKI, T. J. The independent components of natural scenes are edge filters. Vision research, Elsevier, v. 37, n. 23, p. 3327–3338, 1997. Citado na página 28.
BIOUCAS-DIAS, J. M.; PLAZA, A.; DOBIGEON, N.; PARENTE, M.; DU, Q.; GADER, P.; CHANUSSOT, J. Hyperspectral unmixing overview: Geometrical, statistical, and sparse regression-based approaches. Selected Topics in Applied Earth Observations and
Remote Sensing, IEEE Journal of, IEEE, v. 5, n. 2, p. 354–379, 2012. Citado 3 vezes
nas páginas 9, 24 e 25.
BOFILL, P.; ZIBULEVSKY, M. Underdetermined blind source separation using sparse representations. Signal processing, Elsevier, v. 81, n. 11, p. 2353–2362, 2001. Citado na página 33.
CARDOSO, J.-F. Blind signal separation: statistical principles. Proceedings of the IEEE, IEEE, v. 86, n. 10, p. 2009–2025, 1998. Citado na página 18.
CARDOSO, J.-F.; LAHELD, B. H. Equivariant adaptive source separation. Signal
Processing, IEEE Transactions on, IEEE, v. 44, n. 12, p. 3017–3030, 1996. Citado 2 vezes nas páginas 18 e 28.
CARDOSO, J.-F.; SOULOUMIAC, A. Blind beamforming for non-gaussian signals. In: IET. IEE Proceedings F (Radar and Signal Processing). [S.l.], 1993. v. 140, n. 6, p. 362–370. Citado 2 vezes nas páginas 18 e 28.
CLARK, R. N.; SWAYZE, G. A.; WISE, R.; LIVO, K. E.; HOEFEN, T. M.; KOKALY, R. F.; SUTLEY, S. J. USGS digital spectral library splib06a. [S.l.]: US Geological Survey Reston, VA, 2007. Citado na página 48.
COMON, P. Independent component analysis, a new concept? Signal processing, Elsevier, v. 36, n. 3, p. 287–314, 1994. Citado 2 vezes nas páginas 18 e 27.
COMON, P.; JUTTEN, C. Handbook of Blind Source Separation: Independent component
analysis and applications. [S.l.]: Academic press, 2010. Citado na página 33.
DARMOIS, G. Analyse générale des liaisons stochastiques: etude particulière de l’analyse factorielle linéaire. Revue de l’Institut international de statistique, JSTOR, p. 2–8, 1953. Citado na página 18.
DELFOSSE, N.; LOUBATON, P. Adaptive blind separation of independent sources: a deflation approach. Signal processing, Elsevier, v. 45, n. 1, p. 59–83, 1995. Citado 2 vezes nas páginas 33 e 37.
Referências 59
DIAMOND, D. Principles of chemical and biological sensors. [S.l.]: Wiley, 1998. Citado na página 23.
DUARTE, L.; MOUSSAOUI, S.; JUTTEN, C. Source separation in chemical analysis: Recent achievements and perspectives. Signal Processing Magazine, IEEE, IEEE, v. 31, n. 3, p. 135–146, 2014. Citado na página 23.
DUARTE, L. T. Um Estudo sobre Separação Cega de Fontes e Contribuições ao Caso de
Misturas Não-lineares. Tese (Doutorado) — Universidade Estadual de Campinas, 2006.
Citado 3 vezes nas páginas 9, 19 e 28.
DUARTE, L. T.; JUTTEN, C. Blind source separation of a class of nonlinear mixtures. In: Independent Component Analysis and Signal Separation. [S.l.]: Springer, 2007. p. 41–48. Citado na página 23.
DUARTE, L. T.; JUTTEN, C. A nonlinear source separation approach for the nicolsky- eisenman model. In: 16th European Signal Processing Conference (EUSIPCO-2008). [S.l.: s.n.], 2008. Citado na página 23.
DUARTE, L. T.; ROMANO, J. M.; JUTTEN, C.; CHUMBIMUNI-TORRES, K.; KUBOTA, L. Application of blind source separation methods to ion-selective electrode arrays in flow-injection analysis. IEEE Sensors Journal, v. 14, n. 7, p. 2228–2229, 2014. Citado na página 23.
DUARTE, L. T.; SUYAMA, R.; ATTUX, R.; ROMANO, J. M.; JUTTEN, C. Blind extraction of sparse components based on ? 0-norm minimization. In: IEEE. Statistical
Signal Processing Workshop (SSP), 2011 IEEE. [S.l.], 2011. p. 617–620. Citado 3 vezes
nas páginas 32, 33 e 34.
GOLUB, G. H.; LOAN, C. F. V. Matrix computations. [S.l.]: JHU Press, 2012. v. 3. Citado na página 31.
GUILHON, D.; MEDEIROS, E.; BARROS, A. Ecg data compression by independent component analysis. In: IEEE. Machine Learning for Signal Processing, 2005 IEEE
Workshop on. [S.l.], 2005. p. 189–193. Citado na página 28.
HÉRAULT, J.; JUTTEN, C. Réseaux neuronaux et traitement du signal. [S.l.]: Hermes Paris, 1994. Citado na página 28.
HÉRAULT, J.; JUTTEN, C.; ANS, B. Détection de grandeurs primitives dans un message composite par une architecture de calcul neuromimétique en apprentissage non supervisé. In: GRETSI, GROUPE D’ETUDES DU TRAITEMENT DU SIGNAL ET DES IMAGES. 10 Colloque sur le traitement du signal et des images, FRA, 1985. [S.l.], 1985. Citado 3 vezes nas páginas 18, 26 e 28.
HOSSEINI, S.; GUIDARA, R.; DEVILLE, Y.; JUTTEN, C. Markovian blind image separation. In: Independent Component Analysis and Blind Signal Separation. [S.l.]: Springer, 2006. p. 106–114. Citado na página 22.
HOSSEINI, S.; GUIDARA, R.; DEVILLE, Y.; JUTTEN, C. Maximum likelihood separation of spatially autocorrelated images using a markov model. In: Bayesian
Inference and Maximum Entropy Methods in Science and Engineering(AIP Conference Proceedings Volume 872). [S.l.: s.n.], 2006. v. 872, p. 105–112. Citado na página 22.
Referências 60
HYVARINEN, A. Fast and robust fixed-point algorithms for independent component analysis. Neural Networks, IEEE Transactions on, IEEE, v. 10, n. 3, p. 626–634, 1999. Citado na página 28.
HYVÄRINEN, A.; KARHUNEN, J.; OJA, E. Independent component analysis. [S.l.]: John Wiley & Sons, 2001. v. 46. Citado 4 vezes nas páginas 19, 21, 28 e 29.
HYVÄRINEN, A.; OJA, E. A fast fixed-point algorithm for independent component analysis. Neural computation, MIT Press, v. 9, n. 7, p. 1483–1492, 1997. Citado na página 28.
KARHUNEN, J.; PAJUNEN, P.; OJA, E. The nonlinear pca criterion in blind source separation: Relations with other approaches. Neurocomputing, Elsevier, v. 22, n. 1, p. 5–20, 1998. Citado 2 vezes nas páginas 19 e 28.
KAROUI, M. S.; DEVILLE, Y.; HOSSEINI, S.; OUAMRI, A. A new spatial sparsity- based method for extracting endmember spectra from hyperspectral data with some pure pixels. In: IEEE. Geoscience and Remote Sensing Symposium (IGARSS), 2012 IEEE
International. [S.l.], 2012. p. 3074–3077. Citado 4 vezes nas páginas 17, 41, 47 e 48.
KOFIDIS, E. Blind source separation: Fundamentals and recent advances. Mini-curso
no XIX Simpósio Brasileiro de Telecomunicaçoes (SBrT 2001), Fortaleza-CE, Setembro,
2001. Citado na página 29.
MA, W.-K.; BIOUCAS-DIAS, J. M.; CHAN, T.-H.; GILLIS, N.; GADER, P.; PLAZA, A. J.; AMBIKAPATHI, A.; CHI, C.-Y. A signal processing perspective on hyperspectral unmixing: Insights from remote sensing. Signal Processing Magazine, IEEE, IEEE, v. 31, n. 1, p. 67–81, 2014. Citado 3 vezes nas páginas 9, 25 e 26.
MOURAD, N.; REILLY, J. P. Blind extraction of sparse sources. In: IEEE. Acoustics
Speech and Signal Processing (ICASSP), 2010 IEEE International Conference on. [S.l.],
2010. p. 2666–2669. Citado na página 33.
NADALIN, E. Z.; TAKAHATA, A. K.; DUARTE, L. T.; SUYAMA, R.; ATTUX, R. Blind extraction of the sparsest component. In: Latent Variable Analysis and Signal
Separation. [S.l.]: Springer, 2010. p. 394–401. Citado na página 33.
PAPOULIS, A.; PILLAI, S. U. Probability, random variables, and stochastic processes. [S.l.]: Tata McGraw-Hill Education, 2002. Citado na página 29.
PLUMBLEY, M. D.; ABDALLAH, S. A.; BELLO, J. P.; DAVIES, M. E.; MONTI, G.; SANDLER, M. B. Automatic music transcription and audio source separation.
Cybernetics &Systems, Taylor & Francis, v. 33, n. 6, p. 603–627, 2002. Citado na página
22.
ROMANO, J. M. T.; ATTUX, R.; CAVALCANTE, C. C.; SUYAMA, R. Unsupervised
signal processing: channel equalization and source separation. [S.l.]: CRC Press, 2010.
Citado 4 vezes nas páginas 20, 27, 28 e 32.
SANCHEZ-POBLADOR, V.; MONTE-MORENO, E.; SOLÉ-CASALS, J. Ica as a preprocessing technique for classification. In: Independent Component Analysis and Blind
Referências 61
STORN, R.; PRICE, K. Differential evolution–a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces. Journal of global optimization, Springer, v. 11, n. 4, p. 341–359, 1997. Citado 3 vezes nas páginas 9, 39 e 40.
TONAZZINI, A.; GERACE, I.; MARTINELLI, F. Multichannel blind separation and deconvolution of images for document analysis. Image Processing, IEEE Transactions
on, IEEE, v. 19, n. 4, p. 912–925, 2010. Citado na página 22.
ZARE, A.; HO, K. Endmember variability in hyperspectral analysis: Addressing spectral variability during spectral unmixing. Signal Processing Magazine, IEEE, IEEE, v. 31, n. 1, p. 95–104, 2014. Citado na página 53.
63
APÊNDICE A – Método 2D-VM
O método 2D-VM consiste basicamente na divisão do domínio espacial em pe- quenas zonas, chamadas de zonas de análise, que contém pixels adjacentes e que são denotadas por Ω.
Ele se divide em 3 etapas, as quais se seguem:
1. Estágio de detecção: consiste na detecção de pixels puros em cada uma das zonas de análise. Para isso, é verificado se um material está isolado numa zona de análise, calculando-se a máxima variância da mistura naquela zona, como mostra a equação