On s'intéresse aux solutions stationnaires du problème aux hautes énergies d'activa-
tion : (
− ϕ00+ Ψϕ0 = fε(ϕ)
− νΨ00+ ΨΨ0 = ρϕ (III.129)
où ϕ(0) = 1 − ε et fε(ϕ) = 0pour ϕ < 1 − ε. Plus précisément, pour terme de réaction,
on prend : fε(ϕ) = k 1 − ϕ ε2 Φ( ϕ − 1 ε ) (III.130)
où Φ est l'application véri ant les conditions (H1) à (H4) énoncées au début de ce chapitre.
4.3.1 Expressions sur R−
Sur R−, le système (III.129) devient :
(
− ϕ00+ Ψϕ0 = 0
− νΨ00+ ΨΨ0 = ρϕ (III.131)
où ϕ(0) = 1 − ε. Comme dans le cas singulier, on a les expressions de ϕ et Ψ : ϕ(x) = 16 − 8ν
ρ(x0 − x)3
, Ψ(x) = 4
x0− x
, (III.132)
avec x0 choisi pour que la condition limite en 0 soit véri ée :
x0(ν, ε) = 3
s
16 − 8ν
(1 − ε)ρ. (III.133)
4.3.2 Expressions sur R+
Pour x > 0, la température ϕε varie de 1 − ε à 1. Comme dans le cas sans viscosité,
on pose l'inconnue pε pour la température, (III.50) :
pε(ξ) =
ϕ(εξ) − 1 ε avec pε(0) = −1 et lim
ξ→+∞pε(ξ) = 0. Cette application véri e l'équation suivante :
Pour Ψε, on peut poser par exemple
Ψε(εξ) = Ψ0(εξ) + εwε(ξ), (III.135)
où Ψ0 est la solution du problème singulier, dé ni sur Imax =] − ∞, xν[.
Comme dans le cas non visqueux, on considère l'application p0, dé nie en (III.52), et
on considère qε = pε− p0. On obtient, comme dans le cas sans visosité, une équation sur
qε :
−q00
ε + ε ˜Ψ0q0ε+ k(p0Φ0(p0) + Φ(p0))qε = −ε2wε(p0+ qε)0− ε ˜Ψ0p00 + O(q 2
ε) (III.136)
où ˜Ψ0(ξ) = Ψ0(εξ), que l'on peut réécrire sous la forme d'un opérateur linéaire
Lq = F (p0, qε, wε, Ψ0) (III.137) et l'application wε véri e : − w0ε(ξ) + εΨ0(εξ)wε(ξ) = ρε2 Z ξ 0 (p0+ qε)(χ)dχ − 1 2ε 2w2 ε(ξ) wε(0) = 0 (III.138) ce qui donne : wε(ξ) = − Z +∞ ξ eRξχΨ0(εη)dη(1 2ε 2w2 ε(χ) − ρε 2 Z χ 0 (p0+ qε)(η)dη)dχ. (III.139)
Contrairement au cas sans viscosité, on n'a pas une expression explicite de la vitesse en fonction de la température. On doit travailler avec un couple d'inconnues (qε, wε).
Une première étape consiste à déterminer les espaces de fonctions auxquels appar- tiennent qε et wε. Pour qε, on pourra essayer, comme dans le cas non visqueux, de choisir
l'espace X : X = q ∈ C1(R+); ∃δ > 0, q(ξ) = O +∞(e −δ√1+ξ)et q0 (ξ) = O +∞(e −δ√1+ξ)
Pour wε, il faut véri er si l'espace Y suivant est su sant pour obtenir des résultats
d'existence : Y = w ∈ C1(R+); lim ξ→+∞w(ξ) = limξ→+∞w(ξ) = 0
On commence par résoudre l'équation sur wε, (III.139), avec qεvariant dans une boule
de X de rayon 1 par exemple. Une méthode est d'appliquer le théorème du point xe. L'objectif est d'obtenir l'existence et l'unicité de wε en fonction de qε.
On s'intéresse ensuite à l'équation véri ée par qε, (III.136). L'application wε n'ap-
paraît plus comme une inconnue mais comme une fonction de qε. Comme dans le cas
non visqueux, une méthode de résolution est d'appliquer le théorème du point xe. On commence par véri er que le second membre F est dans X. L'opérateur linéaire L se décompose en
L = L0+ ε ˜Ψ0
d
Il est, comme dans le cas non visqueux, une ε−perturbation d'un opérateur sans terme d'ordre 1, l'opérateur L0. On étudie l'opérateur L0 a n d'obtenir pour l'opérateur L et
la solution qε une estimation telle :
||q||X 6 ||F (q)||X,
avec ||F (q)||X 6 ε pour ||q|| 6
√
ε par exemple. Alors, par le théorème du point xe, on obtient la convergence de pε vers p0 dans X et wε vers 0 dans Y , soit la convergence de
Ψε vers Ψ0 dans Y , pour x ∈ Imax.
Un raccord en 0 est obtenu en utilisant les mêmes idées que pour le cas sans viscosité a n d'aboutir à une relation telle que :
kε= k0+ λε (III.141)
[AAG07] M. Abounouh, A. Atlas, and O. Goubet. Large-time behavior of solutions to a dissipative boussinesq system. Dierential Integral Equations, 20(7) :755 768, 2007.
[ABP00] B. Audoly, H. Berestycki, and Y. Pomeau. Réaction diusion en écoulement stationnaire rapide. C. R. Acad. Sci. Ser. IIb, 328 :255262, 2000.
[BBJ09] H.O. Bae, L. Brandolese, and B. Jin. Asymptotic behavior for the navier- stokes equations with nonzero external forces. Nonlinear Anal., 71(12) :292 302, 2009.
[BCR06] H. Berestycki, P. Constantin, and L. Ryzhik. Non-planar fronts in boussinesq reactive ows. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 23(4) :407437, 2006.
[BGSZ05] N. Bessonov, P. Gordon, G. Sivashinsky, and A. Zinoviev. On metastable de agration in porous medium combustion. Appl.Math. Lett., 18(8) :897 903, 2005.
[BHKR05] H. Berestycki, F. Hamel, A. Kiselev, and L. Ryzhik. Quenching and propa- gation in kpp reaction-diusion equations with a heat loss. Arch. Ration. Mech. Anal., 178(1) :5780, 2005.
[BHN04] H. Berestycki, F. Hamel, and N. Nadirashvili. Propagation speed for reaction-diusion equations in general domains. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 339(3) :163168, 2004.
[BKS00] H. Brezis, S. Kamin, and G. Sivashinsky. Initiation of subsonic detonation. Asymptot. Anal., 24(1) :7390, 2000.
[BL88] H. Berestycki and B. Larrouturou. Quelques aspects mathématiques de la propagation des ammes prémélangées. Collège de France Seminar, X :65 129, 1987-1988. Pitman Res. Notes Math. Ser., 220, Longman Sci. Tech., Harlow, 1991.
[BLR92] H. Berestycki, B. Larrouturou, and J.-M. Roquejore. Stability of travelling fronts in a model for ame propagation. i. linear analysis. Arch. Rational Mech. Anal., 117 :97117, 1992.
[BMP84] L. Boccardo, F. Murat, and J.P. Puel. Résultats d'existence pour certains problèmes elliptiques quasilinéaires. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., Serie IV, 11(2) :213235, 1984.
[BN90] H. Berestycki and L. Nirenberg. Some qualitative properties of solutions of semilinear elliptic equations in cylindrical domains. Analysis, et cetera, Academic Press, Boston, MA, pages 115164, 1990.
[BNS85] H. Berestycki, B. Nicolaenko, and B. Scheurer. Travelling waves solutions to combustion models and their singular limites. SIAM J. MATH. Anal., 16(6) :12071242, 1985.
[Bre]
[Bre93] H. Brezis. Analyse fonctionnelle : théorie et applications. Masson, 1993. [CG07] M. Chen and O. Goubet. Long-time asymptotic behavior of dissipative
boussinesq systems. Discrete Contin. Dyn. Syst., 17(3) :509528, 2007. [CG09] M. Chen and O. Goubet. Long-time asymptotic behavior of two-dimensional
dissipative boussinesq systems. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S, 2(1) :37 53, 2009.
[CIL92] Michael G. Crandall, Hitoshi Ishii, and Pierre-Louis Lions. User's guide to viscosity solutions of second order partial dierential equations. Bull. Amer. Math. Soc., 27(1) :167, 1992.
[CKOR00] P. Constantin, A. Kiselev, A. Oberman, and L. Ryzhik. Bulk burning rate in passive-reactive diusion. Arch. Ration. Mech. Anal., 154(1) :5391, 2000. [CKR01] P. Constantin, A. Kiselev, and L. Ryzhik. Quenching of ames by uid
advection. Comm. Pure Appl. Math., 54(11) :13201342, 2001.
[CKR03] P. Constantin, A. Kiselev, and L. Ryzhik. Fronts in reactive convection : bounds, stability, and instability. Comm. Pure Appl. Math., 56(12) :1781 1804, 2003.
[CL55] E.A. Coddington and N. Levinson. Theory of Ordinary Dierential Equa- tions. Mac Graw-Hill, New-York, 1955.
[CRRV08] P. Constantin, J.-M. Roquejore, L. Ryzhik, and N. Vladimirova. Propaga- tion and quenching in a burgers-boussinesq system. Nonlinearity, 21(2) :221 271, 2008.
[Daf91] Constantine M. Dafermos. Hyperbolic conservation laws in continuum phy- sics. Springer, 1991.
[Dem06] J.P. Demailly. Analyse numérique et équations diérentielles. Presse Uni- versitaire de Grenoble, edp sciences edition, 2006.
[DI04] J. Droniou and C. Imbert. Solutions de viscosité et solutions variationnelles pour edp non-linéaires. http://www-gm3.univ-mrs.fr/cours/fichiers/ cours-dea.pdf,unpublished, 2004.
[Eva98] Lawrence C. Evans. Partial Dierential Equations. American Mathematical Society, 1998.
[FM77] P. C. Fife and J. B. McLeod. The approach of solutions of nonlinear diusion equations to travelling front solutions. Arch. Rational Mech. Anal., 65 :335 361, 1977.
[FS98] Heinrich Freistühler and Denis Serre. l1stability of shock waves in scalar vis-
cous conservation laws. Communications on Pure and Applied Mathematics, 51 :291301, 1998.
[GGJ07] A. Ghazaryan, P. Gordon, and C. K. R. T. Jones. Traveling waves in porous media combustion : uniqueness of waves for small thermal diusivity. J. Dynam. Dierential Equations, 19(4) :951966, 2007.
[GH83] John Guckenheimer and Philip Holmes. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector elds. Springler-Verlag, 1983.
[Har64] P. Hartmann. Ordinary dierential equations. John Wiley, New-York, 1964. [Hen81] D. Henry. Geometric theory of semilinear parabolic equations, volume 840.
Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 1981.
[Kan61] Ya.I. Kanel'. Certain problems of burning-theory equations. Sov. Math. Dokl., 2 :4851, 1961.
[Kan62] Ya.I. Kanel'. Stabilization of solution of the cauchy problem for equations encountred in combustion theory. Math. Sbornik, 59 :245288, 1962.
[KPP37] A. Kolmogorov, I. Petrovsky, and N. Piskunov. A study of the equation of diusion with increase in the quantity of matter, and its application to a biological problem. Bjul. Moskowskogo Gos. Univ., 17 :126, 1937.
[KZ06] A. Kiselev and A. Zlatos. Quenching of combustion by shear ows. Duke Math. J., 132 :4972, 2006.
[Lad58] O.A. Ladyºenskaya. Solution of the rst boundary problem in the large for quasi-linear parabolic equations. TrudyMoskov. Mat.Ob²£., 7 :149177, 1958.
[Lun95] A. Lunardi. Analytics semigroups and optimal regularity in parabolic por- blems, volume 16. Progress in Nonlinear Dierential Equations and their Applications, Birkhäuser Verlag, Basel, 1995.
[MNRR96] J. Málek, J. Ne£as, M. Rokyta, and M. R·ºi£ka. Weak and Measure-valued Solutions to Evolutionary PDEs. Chapman and Hall, 1996.
[MX98] S. Malham and J. X. Xin. Global solutions to a reactive boussinesq system with front data on an in nite domain. Comm. Math. Phys., 193(2) :287316, 1998.
[NAY62] J. Nagumo, S. Arimoto, and S. Yoshizawa. An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proc. Inst. Radio Eng., 50 :20612070, 1962.
[Ole63] Olga Oleinik. Discontinuous solutions of non-linear dierential equations. Seminari 1962-63 Anal. Alg. Geom. e Topol., 1 :404436, 1962-1963. [Pue72] J.P. Puel. Sur des problèmes quasilinéaires elliptiques et paraboliques
d'ordre 2. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A, 275 :179182, 1972.
[PW67] M. H. Protter and H. F. Weinberger. Maximum principles in dierential equations. Prentice-Hall Inc., Englewood Clis, N.J., 1967.
[RSW99] S.V. Rajopadhye, M.E. Schonbek, and M. Wiegner. Asymptotic decay for a generalized boussinesq system. J. Dynam. Dierential Equations, 11(4) :595623, 1999.
[Ryz04] Lenya Ryzhik. Lecture notes on applied analysis, 2004.
[Sat72] D. H. Sattinger. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boun- dary value problems. Indiana Univ. Math. J., 21 :9791000, 1971/72.
[Sch81] Maria E. Schonbek. Existence of solutions for the boussinesq system of equations. J. Dierential Equations, 42(3) :325352, 1981.
[Sch92] Maria E. Schonbek. Some results on the asymptotic behaviour of solutions to the navier-stokes equations. The Navier-Stokes equations II-theory and numerical methods, Lecture Notes in Math., 1530, Spinger, Berlin, 1992. [Ser00] Denis Serre. Systems of Conservation Laws, volume 1 : hyperbolicity, entro-
pies, shock waves. Cambridge University Press, 2000.
[Siv85] G.I. Sivashinsky. Instabilities, pattern formation and turbulence in ames. Modélisation des phénomènes de combustion, Directions des Recherches et Etudes d'Electricité de France, Eyrolle, Paris, 1985.
[SLL06] Tony W. H. Sheu, R. K. Lin, and G.L. Liu. Development of a continuity- preserving segregated method for incompressible navier-stokes equations. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 196(1-3) :502515, 2006.
[Smo94] J. Smoller. Shock waves and reaction-diusion equations. Springer-Verlag, New York, second ed., 1994.
[SV99] M. Schonbek and G. Vallis. Energy decay of solutions to the boussinesq, primitive, and planetary geostrophic equations. J. Math. Anal. Apply, 234(2) :457481, 1999.
[TPV01] R. Texier-Picard and V. Volpert. Problèmes de réaction-diusion-convection dans des cylindres non-bornés. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 333(12) :10771082, 2001.
[TPV03] R. Texier-Picard and V. Volpert. Reaction-diusion-convection problems in unbounded cylinders. Rev. Mat. Complut., 16(1) :233276, 2003.
[VCK+03a] N. Vladimirova, P. Constantin, A. Kiselev, O. Ruchayskiy, and L. Ryzhik.
Flame enhancement and quenching in uid ows. Combust. Theory Model., 7(3) :487508, 2003.
[VCK+03b] N. Vladimirova, P. Constantin, A. Kiselev, O. Ruchayskiy, and L. Ryzhik.
Flame enhancement and quenching in uid ows. Combust. Theory Model., 7(3) :487508, 2003.
[VR03] N. Vladimirova and R. Rosner. Model ames in the boussinesq limit : the eects of feedback. Phys. Rev. E (3), 67(6) :066305, 10 pp, 2003.
[VV00] A.I. Volpert and Vit.A. Volpert. Spectrum of elliptic operators and stability of travelling waves. Asymptot. Anal., 23(2) :111134, 2000.
[Wil83] F. Williams. Combustion Theory. Addison-Wesley, Reading MA, Provi- dence, RI, 1983.
[ZBLM85] Ya. B. Zeldovich, G. I. Barenblatt, V.B. Librovich, and G.M. Makhviladze. The mathematical theory of combustion and explosions. New York : Consult. Bureau, 1985.
[Zla06] A. Zlatos. Sharp transition between extinction and propagation of reaction. J. Amer. Math. Soc., 19 :251263, 2006.
une dimension d'espace. Ce modèle a été proposé par P. Constantin, J.-M. Roquejore, L. Ryzhik et N. Vladimirova (CRRV) pour l'étude d'eets compressibles dans les modèles de ammes. On précise dans cette thèse certains points de l'étude de (CRRV) qui n'avaient été traités que sous l'angle asymptotique formel.
Une première partie étudie un cas particulier de solutions autosimilaires et démontre en plus des asymptotiques précises et un résultat d'unicité.
Une deuxième partie étudie le modèle de Burgers-Boussinesq non réactif aux grands temps et met en évidence une variété de comportements.
Une troisième partie démontre l'existence d'ondes progressives dans une gamme de paramètres plus large que (CRRV).
Mots clefs : Burgers-Boussinesq, modèle de amme, asymptotique, onde progressive. Abstract :
In this thesis, we study the solutions of a Burgers-Boussinesq system in one dimension in space. This model was proposed by P. Constantin, J.-M. Roquejore, L. Ryzhik et N. Vladimirova (CRRV) to study compressible eects in ame models. We precise in this thesis some points of the study of (CRRV) that have been studied only from a formal asymptotic point of view.
A rst part studies a special case of self-similar solutions. We prove precise asymptotic results and the uniqueness of the solution.
In a second part, we investigate the non-reactive Burgers-Boussinesq model, in large time. We highlight a large range of behaviours.
A third part proves the existence of travelling waves in a large range of parameters. Key words : Burgers-Boussinesq, ame models, asymptotic behavior, travelling wave.