Solutions

X n=1 Rⁿ⁺¹a_n Zn (4.26)

Les deux équations 4.25 et 4.26 permettent d’exprimer U et C en fonction de R et des coefficients an. En insérant ces expressions dans l’équation 4.19, on obtient un système d’équations non-linéaires de paramètre Γ vérifiées par R et a_n. La résolution de ce système permet de développer ces coefficients en puissance de Γ.

Il exprime ainsi la vitesse et l’équation de la forme de la goutte en série de Γ−1 pour un développement asymptotique en Γ → ∞ et en série de Γ pour un développement asymptotique en Γ → 0. Il résout le développement asymptotique en +∞ à l’ordre 5. Pour celui en 0, le principe de la résolution et les coefficients sont donnés pour l’ordre 1 mais les résultats qu’il commente ont été menés jusqu’à l’ordre 6. J’ai donc résolu l’équation jusqu’à cet ordre ; les résultats sont donnés en annexe D.

4.4.3 Solutions

Shankar en déduit notamment une équation paramétrique de l’interface : x(θ) et y(θ). Il vérifie qu’elle est confondue avec les simulations numériques pour les valeurs de Γ > 1, 5 (déve-loppement en +∞) et −0, 45 < Γ < 1 (déve(déve-loppement en 0). Ces limites de validité définissent notre domaine d’étude.

À chaque Γ correspond une unique équation de l’interface. La figure 4.5 donne quelques exemples de formes de gouttes dans l’espace adimensionné :

• Pour Γ → ∞, cette forme tend vers un cercle dont le rayon, en longueur adimensionnée, tend vers 0.

-0,6

-0,3

0

0,3

0,6

Γ=1 Γ=0 Γ=−0,2 Γ=−0,45

Γ=10

Γ=100

Fig. 4.5:Formes de la goutte pour différents Γ dans l’espace adimensionné. En bleu : formes calculées à partir du développement asymptotique en Γ → ∞ ; en rouge : formes calculées à partir du développement asymptotique en Γ → 0 ; en noir : solution exacte pour Γ = 0 • Pour Γ < 0, cette courbure devient négative.

• Pour Γ ≃ −0, 45, la largeur de la goutte à l’équateur s’annule : la goutte devient instable et se sépare en deux.

On voit également que, dans notre intervalle d’étude, la demi-largeur de la goutte, notée ym, est bijective avec Γ (voir figure 9 de la référence [115] et figure 4.6). La donnée de cette longueur est donc suffisante pour définir la forme de la goutte. De plus, si, dans l’espace physique, la largeur Ym est fixée, ym représente le nombre sans dimension construit à partir des paramètres de contrôles de l’expérience et qui dicte le comportement du système :

y_m= ^Ym l_ec = ^εYmE 2 0 2γ (4.27)

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons étudié l’influence d’un champ électrique homogène sur une goutte de permittivité diélectrique infinie plongée dans un milieu fluide parfaitement diélectrique. Nous avons notamment montré qu’en géométrie de fort rapport d’aspect, le problème pouvait être considéré comme bidimensionnel. Nous avons enfin analysé les similitudes entre ce problème et celui d’une goutte plongée dans un écoulement potentiel. Ce problème ayant été résolu de façon analytique par P.N. Shankar, les solutions proposées ont été présentées. Nous allons confronter dans les chapitres suivants cette théorie bidimensionnelle aux expériences microfluidiques de

4.4. ÉTUDE ANALYTIQUE DE LA DÉFORMATION D’UNE GOUTTE 59 0 2 4 6 8 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Γ y ^m

Fig. 4.6: Largeur de la goutte ym en fonction de Γ. En bleu les largeurs calculées à partir du développement asymptotique en Γ → ∞. En rouge celles calculées à partir du dévelop-pement asymptotique en Γ → 0. En pointillés verts : interpolation linéaire entre les deux développements.

gouttes sous champ. Nous étudierons tout particulièrement deux paramètres remarquables : la forme des gouttes et la surpression entre l’intérieur et l’extérieur de la goutte.

Chapitre 5

Étude expérimentale de la forme

d’une goutte sous champ homogène

J’ai présenté au chapitre précédent une analyse inspirée de la référence [115] : elle permet un traitement analytique de la forme d’une goutte infiniment diélectrique et bidimensionnelle soumise à un champ électrique. Dans le présent chapitre, je présente une série d’expériences qui confirme l’applicabilité de cette théorie en microfluidique digitale.

On s’intéresse à la déformation par un champ électrique homogène d’une goutte à l’arrêt, confinée dans un microcanal. Après avoir brièvement présenté le dispositif expérimental ainsi que sa caractérisation quantitative, je présenterai les profils de gouttes obtenus expérimentalement et je les comparerai avec les profils prédits par la théorie.

5.1 Système expérimental

La figure 5.1 représente un schéma du système microfluidique à électrodes. Ce système est composé de quatre couches, dont le schéma en coupe est présenté sur la figure 5.2 :

1. une lame de microscope en verre (1mm d’épaisseur)

2. une couche métallique qui forme les électrodes (10 nm de chrome et 200 nm d’or) 3. une fine couche de PDMS qui forme le dessous du canal (7 µm)

4. une couche de PDMS épaisse dans laquelle est moulé le canal (5-7mm) Les processus de fabrication sont détaillés en annexe.

Les écoulements sont contrôlés en imposant la pression aux entrées et à la sortie par pression hydrostatique. La goutte d’eau dans l’huile est formée au niveau d’une jonction en T où sont mises en contact les deux phases : la phase aqueuse est composée uniquement d’eau ultra-pure et la phase organique est composée d’hexadécane pur ou additionné de SPAN80 à 0,5%. Elle coule

P

P

P

V

~

zone de

formation _espace

inter-électrode

Fig. 5.1: Schéma du dispositif microfluidique.

PDMS

Au _Cr

canal

Verre

Fig. 5.2: Schéma en coupe du système microfluidique.

CAMERA

Objectif

Lumière

blanche _±10V

~

Ampli

X100

PC

5.1. SYSTÈME EXPÉRIMENTAL 63 ensuite jusqu’à l’espace interélectrode où on l’immobilise en équilibrant les pressions d’entrée et de sortie.

Elle est alors soumise à un champ électrique : on relie l’une des deux électrodes à la masse et l’autre à un potentiel alternatif variable. Ce potentiel est imposé par un amplificateur1 X100 commandé par un générateur de fonction2. Il peut prendre des valeurs allant de 0 à 1000V. Le signal est carré et a une fréquence de 1500 Hz. On confond par la suite le potentiel et sa valeur effective que l’on note V .

L’observation se fait par l’intermédiaire d’un microscope3 : l’échantillon est éclairé en trans-mission et la lumière est collectée par un objectif 20X ou 40X. Une caméra Pixelink permet de recueillir l’image des gouttes et de la transmettre vers un ordinateur PC. La figure 5.3 présente un schéma de l’ensemble du montage expérimental. La figure 5.4 montre des exemples d’images de gouttes pour différents potentiels appliqués.