3.1.1 Equations du problème
Le système physique que nous considérons est régi par les équations de la magnéto-hydrodynamique d’un gaz parfait. Les échanges thermiques avec “l’extérieur” sont
repré-sentés par une fonction de perte nette d’énergie définie par
✫ ✂ ☎ ✁ ✡ ☞ ✆ ☎✁ (3.1)
3 Stabilité d’un milieu biphasique magnétisé : approche numérique
où✫ est la densité du gaz et☎
le nombre de particules par unité de volume. La fonction de refroidissement
✡
☞
représente les pertes radiatives d’énergie et représente les termes
de chauffage. Les équations de conservation de la masse, de l’impulsion et de l’énergie sont respectivement : ☛✌☞ ✫ ✓ ✡✒✑ ✍ ✫ ✓ ✫ ✍ ✑ ✡ ✂ ✩ (3.2a) ✫✁ ☛✏☞ ✡ ✓ ✡ ✡ ✑ ✍ ☞ ✡✄✂ ✂ ✆ ✍ ✓ ✍ ✄ ✡ ✍ ✆ ☎ ☞ ✆ ☎ ✓✎✍ ✑✆☎ (3.2b) ✞✝ ✫✁ ☛✏☞ ✓ ✡✒✑ ✍ ✓ ✡✠✟ ✆ ✑ ☞ ✍ ✑✟✡✄✂ ✂ ✆ ✫ ✡ ✫ ✧ ☞ ✆ ✍ ✑ ✍☛✡ ✓✌☞ ✞ ☛ ✕✎✍ (3.2c) Le champ magnétique ☎
répond quant à lui à l’équation d’induction et l’équation de Gauss ☛✌☞ ☎ ✂ ✡ ☎ ✑ ✍ ☞ ✡ ✆ ✡ ✡ ✑ ✍ ☞ ☎ ✆ ✡ ✍ ✑✟✡ ☞ ☎ (3.3a) ✍ ✑ ☎ ✂ ✩ ✧ (3.3b) et le gaz étant supposé parfait, nous avons enfin l’équation suivante :
✂
✫
✒
✒ p
✻ (3.4)
Comme de coutume, est la température, la pression et ✡ la vitesse. Le flux de
cha-leur est désigné par ✍
✡ ✂ ✆ ✂ ✡ ☞ ✍ ✡ ☞ , où ✂
est la conductivité thermique, et ☎ est le
tenseur de contraintes visqueuses. Nous nous restreignons à la géométrie plan-parallèle,
et l’unique composante de☎ à retenir est donc ☞
✕ ✕ ✂ ✟ ✡ ☞ ☛ ✕ ✕ , ✟
étant la viscosité
dy-namique. Enfin, les constantes✁✝ ,✒ p,
✒
et
✟
sont respectivement la capacité calorifique, la masse moyenne d’une particule, la constante de Boltzmann et l’indice adiabatique. La viscosité et la conductivité thermique sont données par (Lang 1999) :
✟ ✂ ✄ ✻✎ ✑☛✩ ✄✏✎ ✮ ✑ K✳ ✁ ✁ g.cm ✄ ✻s ✄ et ✂ ✂ ✄ ✵ ✞✝ ✟ ✻ (3.5)
La fonction de refroidissement choisie dans le code est un ajustement analytique (Lioure 1990) de la fonction
✡
☞
calculée par Dalgarno & McCray (1972) tenant compte du
refroidissement par les espèces HIet CII:
✡ ☞ ✂ ✶ ✻ ✵ ✑ ✑☛✩ ✄ ✁ ✁ ✝ ✄✑✏✓✒ ✝ K ✔ ✓ ✟ ✻✎ ✵ ✑☛✩ ✄ ✁ ✁ ✝ ✄ ✡✠✕✗✖✙✘ ✔ ✒ ✝✛✚✁ K ✄✢✜✤✣ ✁ ☞ ✁ erg.cm ✂ ✻s ✄ ✻ (3.6)
Le taux de chauffage par atome est choisi constant,
✂ ✟ ✻ ✑☛✩ ✄ ✁ ✎ erg.s ✄ ✧ (3.7)
correspondant à la photoionisation par rayonnement ✂ , et la fraction d’ionisation est
égale à ✑☛✩ ✄
✂
. La fonction de perte d’énergie qui résulte de ces choix est propice au déve-loppement d’un milieu biphasique par instabilité thermique.
3.1.2 Brève description du programme
Les simulations sont réalisées à l’aide d’un programme à maillage adaptatif à une dimension. Face à cette particularité, on peut au premier abord ressentir une certaine dé-ception, à l’heure où d’impressionnants programmes numériques à trois dimensions sont
3.1 Situation physique
développés pour simuler l’évolution de l’Univers dans son ensemble et la formation de halos de matière noire en particulier. Cependant, la principale contrainte à laquelle on doit faire face est la présence simultanée, dans le problème qui nous intéresse, de plu-sieurs échelles très différentes, tant du point de vue spatial que temporel. Par exemple, le temps de refroidissement du milieu diffus et celui du milieu dense diffèrent pratiquement de trois ordres de grandeur et le programme doit être capable de s’adapter correctement à cette différence. D’autre part, il doit aussi être en mesure de traiter précisément les diffé-rentes échelles spatiales qui vont de quelques kiloparsecs (taille globale du complexe de nuages) au millième de parsec (pour l’épaisseur de la couche de transition entre milieu dense et milieu diffus). Une forte adaptativité et une résolution élevée sont donc requises, en particulier pour traiter correctement les fronts de l’instabilité thermique. La réalisa-tion de programmes numériques à trois dimensions convenables est une tâche difficile, et l’on se voit souvent contraint de revoir à la baisse ses exigences de précision pour évi-ter des temps de calcul prohibitifs. A cet égard, les simulations à une dimension restent donc un excellent moyen pour explorer la physique de l’hydrodynamique magnétisée, en particulier les effets des gradients raides de densité et de température.
Pour leur résolution numérique, les équations du problème sont discrétisées dans l’es-pace réel par la méthode des différences finies. L’intégration temporelle est faite selon un schéma semi-implicite de pas de temps globalement adaptatif. L’espace à une dimension est divisé en cellules elles-mêmes subdivisées en sous-cellules qu’on appellera “pixels” par la suite. Tous les dix pas de temps, on calcule les gradients de densité, de température et de vitesse dans chaque pixel. Si, au sein d’une cellule, la variation relative d’un pixel à
l’autre des quantités physiques dépasse le niveau de raffinement fixé (ici ✑ ✔
), on double la résolution pour tous les pixels de la cellule en question, ce qui introduit la création d’une cellule supplémentaire. La résolution de cellules voisines n’est pas autorisée à dif-férer par plus qu’un facteur deux : le cas échéant, la résolution est propagée le long de la grille jusqu’à satisfaire ce critère. Les quantités physiques sont interpolées sur la nouvelle grille moyennant la conservation locale de masse, d’impulsion et d’énergie. De même, la résolution est localement diminuée et deux cellules voisines sont fusionnées dans le cas où la variation de densité d’une cellule à l’autre est suffisamment basse. Enfin, le pas tem-porel est adapté à la résolution spatiale maximale de la grille. Le lecteur pourra trouver plus de détails dans Hennebelle (2000) où sont présentés également les résultats des tests numériques de validation du programme.
A l’origine, le programme a été conçu pour simuler la condensation de nuages par in-stabilité thermique dynamiquement assistée dans un milieu magnétisé. A cet effet, il était indispensable de suivre l’évolution au cours du temps des champs physiques du problème comme la température, les vitesses d’écoulement et le champ magnétique. L’aspect éner-gétique du problème ne constituait pas, à ce niveau, le point central du problème. Nous l’avons déjà dit ci-dessus, des tests sévères de conservation d’énergie font bien sûr partie intégrante du corps du programme. Par ailleurs, les échanges thermiques étant au cœur de l’instabilité thermique, les pertes radiatives totales ont fait l’objet d’une implémentation rigoureuse. En revanche, pour le problème qui nous intéresse ici, le programme n’était pas complet. Nous voulons comprendre avec précision comment dans un milieu bipha-sique, la présence d’un champ magnétique régule les processus de stockage et de tranfert d’énergie. Il nous faut donc être en mesure de suivre pas à pas les phénomènes d’échange d’énergie entre les différents degrés de liberté. Pour ce faire, à partir de la structure du
3 Stabilité d’un milieu biphasique magnétisé : approche numérique
programme d’origine très bien adapté à la simulation du MIS biphasique résultant de l’instabilité thermique, j’ai développé un module numérique supplémentaire. Ce module calcule en temps réel les énergies thermique, cinétique, magnétique et totale pour cha-cun des milieux impliqués, c’est-à-dire pour les nuages froids et denses, le milieu tiède et diffus entre les nuages, et enfin le milieu tiède et diffus aux extrémités de la grille de simulation. Ces données nous permettent de suivre au cours du temps de façon détaillée les échanges d’énergie entre les divers milieux (nuage - internuage par exemple), ainsi que la transformation d’un type d’énergie en un autre (magnétique - cinétique en particu-lier) au sein de chaque milieu. Enfin, le même module de calcul d’énergie est également conçu pour séparer l’énergie des mouvements longitudinaux de celle des mouvements transversaux. De cette façon, la génération d’éventuels mouvements de compression est donc directement traçable. Enfin, l’énergie cinétique d’ensemble des nuages est soustraite à leur énergie cinétique totale, ce qui laisse apparaître spécifiquement les mouvements internes qui seuls contribuent à la stabilisation des nuages.
3.1.3 Conditions initiales
Les conditions initiales de notre problème sont générées par le code d’origine de P. Hennebelle. On simule la condensation d’un nuage par instabilité thermique dyna-miquement assistée dans un milieu magnétisé et therdyna-miquement bistable correspondant
au WNM. La densité et la température sont initialement uniformes, ☎
☛ ✩ ✻ ✁ cm✄ ✂ et ☛ ✑☛✩ ✍
K, de même que le champ magnétique, ✑
☛ ✄ ✻ ✑☛✩ ✄ ✁
G. Le nuage froid est
formé au lieu de convergence de deux flots de gaz tiède de vitesses opposées, ✂✁ et ☎ .
L’amplitude de ces flots est typiquement de l’ordre de la vitesse du son s. Le champ de
vitesse et le champ magnétique initiaux sont autorisés à ne pas être parallèles. On pourra trouver l’étude de l’espace des phases favorable à la condensation d’un nuage froid dans Hennebelle & Pérault (2000).
La taille du nuage créé est de l’ordre du parsec. La densité du nuage est
typique-ment ☎ n ☛ ✄ ✆ cm✄ ✂ , sa température est n ☛ ✑ ✻ ✄ ✑ ✩ ✁
K. Nous isolons ensuite le nuage dans le milieu où il baigne, et nous le multiplions (par “reprographie”) en autant d’exem-plaires que souhaité, en prêtant attention aux problèmes de raccordement des cellules et à leur niveau de résolution. Au cours de cette opération, on respecte bien entendu la conti-nuité des champs du problème. Par ce procédé, nous obtenons un système magnétisé de nuages aux propriétés absolument identiques. Dans la réalité bien sûr, les nuages liés par un champ magnétique dans un complexe moléculaires ne sont pas des sosies parfaits. En particulier, les nuages aux bords des complexes sont soumis à un champ de radiation dif-férent de celui que subissent les nuages du centre. Cet effet peut influer sur les échanges thermiques et sur la taille des parois des nuages. Pour le moment, nous ne tenons pas compte de tels effets, et il est possible que nos résultats ne reflètent pas directement le cas réel. Cependant, les nuages du centre sont relativement protégés des radiations exté-rieures et devraient donc avoir des propriétés communes. Ce sont ces nuages-là auxquels nos simulations s’appliquent le mieux.
Au temps ☎
✂
✩
, on attribue une vitesse transverse ✟ à un nuage sur deux, et une
vitesse
✆
✠✟ aux autres, de sorte que la vitesse transverse relative entre deux nuages
voi-sins est initialement ✟
✠✟ . La vitesse✠✟ est choisie de l’ordre d’une fraction notable de la