Situation pour l’algèbre à couture

Que nous disent ces résultats concrètement ? Les morphismes de Graham et Lehrer et l’analyse des dimensions permettent de trouver aisément la matrice de décomposition D, et de là, le théorème 4.3.9 exprime la façon de trouver la matrice de Cartan.

Dans cette section, nous présentons une caractérisation des modulesPλ, le tout ponc- tué d’exemples. Le début de notre analyse est le cas semi-simple.

Si q n’est pas une racine de l’unité, alors les Vd_n,k forment un ensemble complet de modules simples non-isomorphes. Cela veut dire que la multiplicité de composition des simples est dλµ =      1 si λ = µ; 0 sinon. (4.3.17)

De cela, les matrices de décomposition et de Cartan sont toutes deux la matrice identité. Les modules cellulaires sont donc en fait les modules principaux.

Ce cas était un peu trivial en raison de la semi-simplicité de l’algèbre. Lorsque q est une racine de l’unité, l’analyse est plus intéressante. Prenons le cas B4,2 avec ` = 3, de

sorte à ce que q2·3 =1. Le diagramme de Bratteli de la situation est V0

4,2 V24,2 V44,2 V64,2

(4.3.18) où les flèches indiquent les morphismes donnés par le corollaire 4.2.5. L’information re- présentée ici est que les modules V6_4,2 et V2_4,2 sont simples et que le radical de V4_4,2 est isomorphe àV6_4,2 et que celui deV0_4,2 l’est àL4_4,2. Une analyse de la dimension des radi- caux par la proposition 4.1.4 donne ensuite que le radical de la forme bilinéaire de V0_4,2 est en fait tout le module. Il faut être prudent ici, comme la forme bilinéaire est identique- ment nulle, le radical de la forme n’est pas le radical de Jacobson comme nous ne sommes pas dans les conditions de la proposition 2.2.4 ; ici, le radical de Jacobson est{0} comme le module est isomorphe àL4_4,2. Ainsi, l’ensemble complet de simples non-isomorphes est {V2

4,2,L44,2,V64,2}. Ces informations sont condensées par les suites exactes suivantes :

0 V6_4,2 V4_4,2 L4_4,2 0 (4.3.19)

et

0 L4_4,2 V0_4,2 0. (4.3.20)

Il faut maintenant calculer, pour λ ∈{0, 2,4,6} et µ ∈ {2,4,6}, la valeur de dλµ. CommeL2_4,2

est isolé, étant critique, il n’est pas isomorphe à des facteurs de composition des autres modules. Les deux suites exactes plus haut donnent le reste de l’information : nous savons de la première suite exacte queV4_4,2/L6_4,2 'L4

4,2et queL64,2'R44,2 ⊂V44,2. Cela donne une

série de composition 0 ⊂R4_4,2⊂V4_4,2; la deuxième nous donne que 0 ⊂ V0_4,2 'L4_4,2. De là, les éléments de la matrice sont :

d_0,2 =0, d_0,4 =1, d_0,6 =0,

d_2,2 =1, d_2,4 =0, d_2,6 =0,

d_4,2 =0, d_4,4 =1, d_4,6 =1,

La matrice de décomposition et la matrice de Cartan sont donc : D =        0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1        , C = DTD =      1 0 0 0 2 1 0 1 2      . (4.3.21)

Ainsi, le moduleV2_4,2est simple, indécomposable et projectif : il faut donc queP2_4,2'V2_4,2. L’indécomposableP6_4,2 est la couverture projective deV6_4,2et ses facteurs de composition sontL6_4,2deux fois etL4_4,2une fois. Cela signifie qu’il y a une série de composition

0 ⊂ M1⊂ M2⊂P64,2 (4.3.22)

avec

P6

4,2/M2'L64,2, M2/M1 'L44,2, M1'L64,2.

De plus, le lemme 4.3.8 avec P =P6_4,2 donne qu’il y a une filtration 0 ⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ Nr ⊂

P6

4,2dont les facteurs de composition sont isomorphes à des sommes directes de modules

cellulaires. Comme P6_4,2/rad(P6_4,2) ' L6_4,2 = V6_4,2, alors il faut que le premier quotient P6

4,2/Nr contienne V64,2. Le facteur de composition de ce module est L64,2; il reste donc à

tenir compte deL4_4,2et deL6_4,2. Justement, ce sont les facteurs de composition de V4_4,2. La série de composition est alors donnée par des modules isomorphes à

0 ⊂R4_4,2⊂V4_4,2 ⊂P6_4,2, (4.3.23) et les quotients sont

P6

4,2/V44,2 'L64,2, V44,2/R44,2 'L44,2, R44,2 'L64,2.

Bref, ces informations sont résumées par l’ajout d’une suite exacte courte :

0 V4_4,2 P6_4,2 V6_4,2 0. (4.3.24)

La valeur de ` change de beaucoup la discussion. Par exemple, lorsque ` = 5 sur B4,2, le

diagramme de Bratteli est

V0

4,2 V24,2 V44,2 V64,2

Cette fois-ci, Λ0 = {0,2,4,6} et les matrices de décomposition et de Cartan sont données par D =        1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1        , C =        1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2        .

Ce qui veut dire que P2

4,2 'V24,2, P44,2 'V44,2=L44,2, P04,2'V04,2 =L04,2,

et queP6_4,2a la série de composition 0 ⊂R2_4,2 ⊂V2_4,2 ⊂P6_4,2.

De cette discussion, le cas général apparaît. Pour le vocabulaire, rappelons que d et d− sont dans une paire critique si d− < det qu’il y a alors un morphisme deVd_n,k àVd_n,k−. Il sera parfois utile d’employer plutôt d et d+ comme paire critique ; en ce cas, il faut comprendre qu’il y a un morphisme non-trivial deVd_n,k+ àVd_n,k.

Théorème 4.3.10. L’ensemble{Pd_n,k | d ∈ Λ0} forme un ensemble complet de modules indécom-

posables projectifs non-isomorphes. Lorsque d est critique ou qu’il n’existe pas de d−formant une paire critique, alorsPd_n,k'Vd

n,k; sinonPdn,ksatisfait la suite exacte courte

0 Vd_n,k− Pd_n,k Vd_n,k 0. (4.3.25)

Démonstration. Le cas où d est critique implique que Vd_n,k est simple et donc, indécom- posable. En ce cas, il est clair quePλ_n,k 'Ld

n,k =Vdn,k. Lorsque d n’est pas critique et qu’il

n’existe pas de d− formant une paire critique avec d, alors il faut chercher l’information sur la matrice de Cartan. Le théorème 4.3.9 dit que la multiplicité de composition deLµ_n,k dansPd_n,kest donnée par

c_d,µ =

min(d,µ)_X j=0

d_j,µd_j,d. (4.3.26)

Nous cherchons les µ pour lesquels cd,µ =1. Il sont donnés par le lemme 4.2.6 qui affirme

que dλ,µ=0 sauf si λ = µ ou µ = λ+, auxquels cas, dλ,µ=1. .

Il est clair que cd,d = 1 puisque comme il n’y a pas de d− formant une paire critique

et que j < d, alors il n’y aura pas de contribution autre que d2_d,d. Sauf dans le cas où il y a moins de deux éléments dans Λ, il y a une dernière contribution en cd,d+ puisque

d_d,d+ = 1. Ainsi, Pd_n,k a deux facteurs de composition :Ld_n,k et Ld +

n,k. Ce sont exactement

ceux deVd_n,k; la relationPd_n,k/rad(Pd_n,k)'Ld

n,koblige l’isomorphismeVdn,k'Pdn,k.

Ne reste que le cas où d n’est pas critique et qu’il y a une paire (d−,d). L’analyse de (4.3.26) donne que cd,d = 2 puisque dd,d = 1 et dd−_,d =1. Il y a également une contribu-

tion cd,d− =1. Si d+forme une paire critique avec d, alors il y aura aussi une contribution

c_d,d+ = 1. Cela veut dire que Pd_n,k a entre trois et quatre facteurs de composition : Ld −

n,k,

Ld

n,k,Ldn,ketLd

+

n,k; le dernier possiblement trivial.

En prenant P = Pd_n,k dans le lemme 4.3.8, il y a une filtration 0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mr ⊂

Pd

n,kdont le quotientPdn,k/Mrest isomorphe à une somme directe de modules cellulaires.

CommePd_n,kest la couverture projective deVd_n,k, alors il faut que dans cette somme directe de modules cellulaires, il y ait au moins unVd_n,k. Les facteurs de composition de ce module cellulaire sontLd_n,ket possiblementLd_n,k+. Il ne reste qu’à considérerLd_n,k etLd_n,k−, qui sont justement ceux deVd_n,k−. Il y a donc une filtration

0 ⊂Vd_n,k− ⊂Pd_n,k,

dont le quotientPd_n,k/Vd_n,k− est isomorphe àVd_n,k. La suite exacte voulue en découle.  Avec ce théorème, nous sommes en mesure de caractériser les modules projectifs de l’algèbre. La structure se dévoile et offre une grande similitude avec celle de l’algèbre de Temperley-Lieb. La discussion n’est pas terminée et il serait encore possible d’approfon- dir l’étude en utilisant les outils de l’algèbre homologique et de la théorie d’Auslander- Reiten, comme dans [4].

Une des différences qu’il sera intéressant d’approfondir est au niveau de la quasi- héréditarité. L’algèbre de Temperley-Lieb TL(β) est quasi-héréditaire pour toutes les va- leurs de β sauf β = 0 puisque sa forme bilinéaire n’est pas identiquement nulle : le résul- tat et un bon résumé succinct de la matière se retrouvent dans les appendices du livre de Deng, Du, Parshall et Wang [6]. Toutefois, nous avons vu que l’algèbre à couture Bn,k(β)

admet des modules cellulaires pour lesquels la forme bilinéaire est identiquement nulle pour d’autres valeurs de q. Savoir si cette différence se traduit par des changements si- gnificatifs dans la théorie de la représentation reste à voir.

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