2.4 Simulation des modèles épidémiologiques
2.4.2 Simulations stochastiques (ou individus centrés)
dS dt = µN − βSI − µS dE
dt = βSI − σE − µE
dI
dt = σE − γI − µI
dR
dt = γI − µR
(2.8)
Le modèle déterministe est également utile pour évaluer l’efficacité des stratégies de contrôle sur le long terme. La figure 2.6 représente l’impact de la vaccination en com-parant deux valeurs différentes du taux de vaccination. Dans le cas où la population est vaccinée, on voit que le nombre d’infectés est réduit.
2.4.2 Simulations stochastiques (ou individus centrés)
Tandis que les modèles déterministes permettent de calculer l’équilibre endémique (par l’étude du taux de reproduction de base R0) ainsi que de prévoir les conditions de la pro-pagation de l’épidémie, le passage à des simulations stochastiques est reconnu comme plus réaliste pour comprendre et prédire la dynamique des maladies infectieuses. Les
2.4. Simulation des modèles épidémiologiques 19
Figure 2.6 – La dynamique de l’infection du modèle SEIR avec vaccination à la naissance. Le modèle est étudié pendant 100 ans : S = 99999, E = 0, I = 1, R = 0, β = 0.00782, 1/γ = 7/365ans, 1/σ = 8/365ans, µ = 1/78ans−1, N = 100000. La courbe noire affiche la dyna-mique déterministe de l’infection avec la population de 70% vaccinée. La courbe grise affiche le résultat de la population non vaccinée. Courbes générées par R. L’axe des ordonnées utilise une échelle log pour la lisibilité [26].
modèles stochastiques sont une façon naturelle de modéliser l’évolution d’une épidé-mie : chaque individu à une certaine probabilité de la transmettre et de guérir. Une partie importante de l’étude de ces problèmes stochastiques va être de déterminer si, quand la taille de la population augmente, ils convergent vers un problème déterministe [89]. Un moyen pour rendre un modèle stochastique est d’ajouter du bruit dans les équations différentielles du modèle déterministe. Un autre moyen plus connu se base sur la stochasticité démographique qui est définie comme des fluctuations se produisant par les différences aléatoires entre les individus d’une même population. À la différence d’un modèle déterministe, ce type de modèle utilisera des nombre de susceptibles, d’in-fectieux ou de rétablis qui seront des entiers et chaque simulation sera différente de la précédente.
De manière plus formelle, un modèle stochastique peut être formulé comme un proces-sus de Markov, où la probabilité faire une transition vers un nouvel état ne dépend que de l’état courant du système. Il peut être formulé de deux façons diffèrentes : processus à temps continu (CTMC5) ou processus à temps discret (DTMC6), selon les choix de modélisation. Les modèles qui sont définis de façon déterministe sous forme d’équa-tions différentielles peuvent être interprétées à partir du point de vue stochastique en fournissant une certaine hypothèse sur la distribution de probabilité En général, les taux de transfert linéaires dans les équations différentielles correspondent aux temps d’attente avec des distributions exponentielles négatives [62]. Par exemple, le taux de transfert γI correspond à P (t) = e−γt qui représente la probabilité que les individus restent dans la classe I après t unités de temps dès qu’ils se sont entrés dans cette classe ( 1/γ est le temps moyen d’attente). La probabilité pour que les individus quittent la
5. Continuous Time Markov Chain 6. Discrete Time Markov Chain
2.4. Simulation des modèles épidémiologiques 20
classe I pour entrer dans la classe R est : P (t) = 1 − e−γt.
Le fait de choisir le processus de Markov permet de pouvoir étudier les modèles sto-chastiques de façon analytique et/ou numérique (par des simulations). Pour simuler les chaines de Markov, on utilise des algorithmes de simulation stochastiques parmi lesquels la méthode directe de Gillespie est la plus utilisée dans le domaine de la mo-délisation épidémiologique [54, 69]. L’algorithme direct de Gillespie est décrit comme suit :
Algorithm 1: L’algorithme direct de Gillespie
entrée: Un ensemble des événements E = {E1, E2, . . . , En}
1 t ← Tmin, e ← 0
2 répéter
3 Calculer les taux auxquels les événements se produisent : R1, R2, . . . , Rn.
4 Calculer le taux total de tous les événements : Rtotal=Pn m=1Rm.
5 Générer deux nombres aléatoires : r1, r2∈ [0..1].
6 Calculer l’intervalle du temps pour passer à un nouvel événement : δt = R−1 totallog(r1). 7 P = r2∗ Rtotal. 8 siPp−1 m=1Rm < P ≤Pp m=1Rm alors 9 e ← p 10 finsi 11 t ← t + δt. 12 Exécuter l’événement Ee. 13 jusqu’à t > Tmax
Les termes linéaires dans les équations différentielles du modèle déterministe (par exemple, βSI, γI dans le cas du modèle SIR) correspondent aux taux des événements dans le modèle stochastique. L’algorithme direct de Gillespie suppose que sur du temps continu (approximé) les évènements arrivent les uns après les autres. À chaque pas de temps, on considère que l’évènement ayant le taux le plus fort est aussi celui qui a la plus forte probabilité d’arriver.
Les modèles sont généralement exécutés pour un grand nombre de fois afin d’estimer le résultat moyen et la variation autour de cette moyenne. Ce résultat moyen généré par les nombreuses simulations fournit des prédictions comparables à celles du modèle déterministe particulièrement lorsque la population est grande. Par exemple, la figure 2.7 donne 100 simulations stochastiques de l’infection du modèle SEIR en comparant avec le résultat déterministe généré par la méthode Runge-Kutta avec même configu-rations (comme indiqué dans la figure 2.5). Il faut noter que pour le modèle SEIR, nous avons 8 événements avec les taux qui suivent :
• S → S + 1 : µN • S → S − 1 : µS • S → S − 1, E → E + 1 : βSI • E → E − 1, I → I + 1 : σE • E → E − 1 : µE • I → I − 1, R → R + 1 : γI • I → I − 1 : µI • R → R − 1 : µR
2.4. Simulation des modèles épidémiologiques 21
À chaque itération, le temps et le nombre d’individus dans chaque classe S, E, I, R va être mis à jour en fonction de l’événement choisi.
Figure 2.7 – 200 simulations stochastiques de l’infection du modèle SEIR générées par la méthode directe de Gillespie en utilisant le langage R
Dans le cas de la méthode directe de Gillespie, le temps de calcul nécessaire pour si-muler un scénario particulier d’une maladie augmente linéairement avec la taille de la population. En effet, dans une large population, l’infection et la guérison devraient être beaucoup plus fréquentes que dans une petite population. Cette augmentation des taux conduit à une diminution du pas de temps moyen δt et donc à une augmentation du nombre d’itérations nécessaires pour simuler le modèle dans une période spécifiée. Il existe des améliorations de cet algorithme appelé méthode τ -leap [69] qui est nette-ment plus rapide avec un temps de simulation car moins dépendant de la taille de la population. On suppose que pendant un temps suffisamment petit, le nombre de fois que chaque événement se passe, suit la loi de Poisson. Cependant cette méthode fournit des approximations moins précises.