Simulations numériques de spray

Si les mesures expérimentales sont indispensables à la compréhension de phénomènes physiques, celles-ci ne sont pas suffisantes pour les caractériser de manière complète. A ce titre, la simulation numérique des écoulement fluides ou CFD (Computational Fluid Dynamics) joue un rôle prédominant et est totalement complémentaire des expériences. Du point de vue de l’industrie, le recours à la CFD est encouragé par la puissance conti- nuellement grandissante des machines de calcul permettant d’effectuer des calculs avec des temps de retour de plus en plus acceptables même sur des configurations complexes, et ce, en prenant en compte toujours plus de phénomènes physiques. Cela permet en outre de partiellement s’affranchir d’un certain nombre d’expériences au coût élevé prohibitif et dont les mesures à des conditions opératoires de pression et température particulières sont parfois délicates. Les méthodes numériques pour la simulation des écoulements diphasiques se distinguent principalement en deux groupes :

• Les méthodes Lagrangiennes qui consistent à suivre la trajectoire de chaque particule de façon individuelle dans le domaine du calcul.

• Les méthodes Eulériennes qui traitent la phase liquide comme des milieux conti- nus.

Ces méthodes considèrent la phase dispersée comme des particules dont le rayon, la température, la vitesse et la concentration peuvent évoluer en fonction des efforts et des échanges avec la phase porteuse.

Chapitre 1. Introduction générale

1.3.2.1 Approches Lagrangiennes

Les méthodes Lagrangiennes consistent à suivre la trajectoire de chaque particule de façon individuelle dans le domaine du calcul. Pour cela, les équations de la mécanique du point pour les particules soumises aux forces exercées par le fluide porteur sont résolues. Les particules peuvent désigner des particules réelles ou des ensembles de particules réelles (particules numériques) relativement proches et ayant les mêmes propriétés. Dans ce cas, on parle de méthode Lagrangienne déterministe. Celle-ci est décrite de manière détaillée dans le cadre de la LES dans le Chapitre 4.

Comme la position des gouttes ne coïncide pas nécessairement avec le maillage, les propriétés du fluide doivent être interpolées à la position de la particule avec une précision suffisante. Dans le cas de la LES, seules les grandeurs filtrées de la phase gazeuse sont disponibles et les effets des échelles de sous-maille doivent être reconstruits. Pour des nombres de Stokes St > 5, il n’est pas nécessaire d’introduire de modèle supplémentaire.

Pour St > 0.5, la turbulence de sous-maille peut être réintroduite par le biais d’une

approche Lagrangienne stochastique [17, 55, 93, 150]. Les méthodes Lagrangiennes sto- chastiques considèrent non pas les particules réelles de l’écoulement, mais un grand nombre de particules fictives ou stochastiques. Ce type d’approche conduit à la résolution d’une équation d’évolution d’une fonction de probabilité de présence des gouttes sur le domaine. La grande dimensionalité de cette équation ne permettant pas une résolution directe, des méthodes de type Monte-Carlo sont utilisées en pratique [92,149]. Pour St< 0.5, d’autres

approches plus complexes sont nécessaires [168]. Dans la pratique, les effets des échelles de sous-maille sur la dynamique du spray sont souvent négligés.

Les problématiques liées au formalisme Lagrangien sont multiples. Tout d’abord, ce type de méthode est plus particulièrement adapté pour traiter les régimes de spray dilués dans la mesure où le coût de calcul est directement lié au nombre de particules. En outre, une des faiblesses de formalisme vient du nombre de particules par cellule nécessaire pour atteindre une convergence statistique suffisante [195]. Une autre faiblesse du formalisme Lagrangien vient de la difficulté à paralléliser les calculs à la fois pour la phase dispersée et la phase porteuse de manière efficace. En effet, en général, le partitionnement du domaine de calcul se fait en fonction du maillage Eulérien. Néanmoins, pour une simulation Euler/Lagrange, l’ajout de particules évoluant dans le domaine induit un coût CPU supplémentaire. Ce coût est à peu près proportionnel au nombre de particules si l’on néglige les interactions entre les particules. Les particules n’étant généralement pas uniformément réparties dans la chambre, un déséquilibrage de charge peut apparaître, induisant une diminution de l’ef- ficacité du calcul en termes de temps restitution, car la charge est mal répartie entre les processeurs et certains doivent attendre les résultats des autres. De plus, comme les parti-

1.3. La recherche en combustion diphasique

cules interagissent avec la phase gazeuse, il est nécessaire que les particules soient traitées par le même processeur que la cellule qui les contient pour éviter des communications sup- plémentaires. Pour faire face à ce problème, il est possible d’effectuer un partitionnement à double contrainte, prenant en compte à la fois le maillage Eulérien et la position des particules qui forment une grille Lagrangienne.

1.3.2.2 Approches Eulériennes

Les méthodes Eulériennes ne cherchent pas à déterminer les propriétés de chaque parti- cule mais à résoudre la phase dispersée de façon statistique via une fonction de densité de nombre (NDF pour Number Density Function) qui désigne la probabilité de trouver une particule à une certaine position de l’espace de phase, les dimensions de cet espace étant la position, la vitesse, la taille, la température, etc... de la particule. Le spray est ainsi traité comme un milieu continu constitué des propriétés moyennes locales de l’ensemble des particules, au même titre que le gaz est une description continue de l’ensemble des molécules qui le constituent. La NDF est solution d’une équation d’équilibre appelée Po- pulation Balance Equation (PBE) ou équation de Williams-Boltzmann [206]. La résolution directe de cette équation n’est en pratique pas possible du fait de sa grande dimensionalité. L’approche la plus commune est d’utiliser la méthode des moments qui consiste à intégrer la PBE sur l’espace des vitesses afin de reconstruire la NDF à partir des moments [170]. Cette approche nécessite des modèles de fermeture qu’on peut globalement classer en deux catégories :

• Les modèles pour des nombres de Stokes St< 1 : lorsque les particules ne se croisent

pas, l’hypothèse selon laquelle les particules à une même position donnée ont la même vitesse est valide [106]. Une telle distribution peut être déterminée en utilisant uniquement les moments d’ordre 0 et 1 (densité et quantité de mouvement) :

— Dusty gases [34] : la vitesse de la phase liquide est identique à la vitesse du gaz. — Approche "Equilibrium Eulerian" [62] : la vitesse de la phase liquide est exprimée comme une fonction de la vitesse du gaz par développement de Taylor autour de celle-ci [61].

— Approche "Monokinetic" [106] : la vitesse de la phase liquide est déterminée à l’aide d’une seule équation supplémentaire pour la quantité de mouvement des particules.

Chapitre 1. Introduction générale

• Les modèles pour des nombres de Stokes St > 1 : dans ce cas, les trajectoires des

particules sont susceptibles de se croiser. La distribution de vitesse ne peut alors plus être représentée par une fonction Dirac et des moments d’ordre élevés sont nécessaires. Plusieurs méthodes sont disponibles dans la littérature :

— Algebraic-Closure-Based Moment Methods [3, 125] : fermeture algébrique

reposant sur des arguments physiques.

— Kinetic Based Moment Method : une forme présumée de la NDF est utilisée afin de fermer le système. Celle-ci peut être de type gaussienne [96, 159] ou anisotropie [193].

D’un point de vue pratique, l’approche Euler-Euler semble plus adaptée dans le cas de régimes de sprays denses pour lequel l’hypothèse de milieu continu pour la phase liquide est plus réaliste. Dans ce cas, l’utilisation d’une approche Euler-Lagrange serait plus coûteuse du fait du grand nombre de particules et nécessiterait des modèles Lagrangiens complexes spécifiques pour prendre en compte les interactions inter-gouttes (collisions/coalescence...). Néanmoins, cet avantage est contrebalancé par le coût supplémentaire induit par la prise en compte de la polydispersion avec le formalisme Euler-Euler. En effet, une des faiblesses des méthodes Eulériennes réside dans leur difficulté à modéliser les sprays polydisperses, c’est-à-dire présentant une distribution de diamètres de gouttes à chaque position. Pour pallier cette difficulté, une méthode sectionnelle a été introduite par Laurent et Massot [106] dans laquelle le spray est divisé en sections contenant chacune une classe de diamètre, chaque section nécessitant son propre jeu d’équations Eulériennes.

Le tableau1.20résume les principaux avantages et inconvénients des approches Lagran- giennes et Eulériennes. Dans cette thèse l’approche utilisée est une approche Euler-Lagrange déterministe (voir Chapitre 3). Cette approche a notamment été choisie pour la prise en compte aisée de la polydispersion du spray. De plus, les écoulements simulés étant prin- cipalement réactifs, le nombre de gouttes dans le domaine reste raisonnable en raison de l’évaporation des gouttes.