2.4.1 Description du code GL_FFT
Afin d’analyser la configuration magnétique de nos échantillons et leur comportement sous champ magnétique, nous avons utilisé le programme de simulation micromagnétique GL_FFT
c
[22,23]. Ce code a été développé au sein du Laboratoire Louis Néel par Jean-Christophe Tous- saint.
Ce code de calcul décrit l’évolution dynamique d’une assemblée discrète de moments ma- gnétiques. En supposant nos systèmes invariants dans la direction y des rubans magnétiques, on réduit la simulation à un système bidimensionnel, tout en gardant l’aspect tridimensionnel des moments magnétiques. Dans les deux autres dimensions, on impose des conditions aux limites périodiques dans la direction x de la périodicité magnétique, et des conditions aux limites finies dans la direction z de l’axe de croissance de l’échantillon. La boîte de simulation représente donc une période magnétique de l’échantillon.
Un maillage régulier de la boîte définit des noeuds qui portent chacun un moment magné- tique. Les pas de maillage∆x et∆z peuvent être différents. Les paramètres du matériau sont don-
nés pour chaque noeud, à savoir l’aimantation volumique à saturation Ms, la constante d’échange
Aex, la constante d’anisotropie magnétique Kuet sa direction.
GL_FFT intègre numériquement l’équation d’évolution de Gilbert-Landau-Lifshitz qui dé- crit la précession des moments magnétiques autour du champ magnétique effectif local :
d ˆm dt = −γmˆ∧ ~He f f (2.2) ~ He f f = ~H+α ˆ m∧ ~H (2.3) Dans cette équation, ˆm= ~M/Msest le moment magnétique réduit local, ~H est le champ magné- tique local,γest le facteur gyromagnétique, etαest le coefficient d’amortissement. Le champ
2.4. SIMULATIONS MICROMAGNÉTIQUES 37 magnétique local ~H s’obtient par dérivation de l’énergie libre magnétique.
Dans l’approximation des milieux continus, l’énergie libre magnétique s’exprime comme la somme des énergies d’échange, d’anisotropie (définie par la direction ˆu), du champ démagnéti-
sant ~HDet de Zeeman, intégrées dans le volume :
Emag= Z V d~r Aex h ~∇mˆ(~r)i2− Ku[ ˆu. ˆm(~r)]2 −12µ0Msmˆ(~r).~HD( ˆm(~r)) − µ0Msmˆ(~r).~Hext (2.4)
Dans le code GL_FFT, l’intégrale de volume est remplacée par une somme discrète sur les noeuds de la boîte. Il faut donc que le maillage soit suffisamment fin pour rendre compte des variations d’orientation des moments magnétiques. En particulier, pour bien décrire les parois magnétiques, le pas doit être inférieur à la taille caractéristique de celle-ci (p(Aex/Ku)). Dans nos échantillons de FePd, la période magnétique est de l’ordre de la centaine de nanomètres, pour des épaisseurs de quelques dizaines de nanomètres. Un maillage de l’ordre du nanomètre permet de bien rendre compte de la configuration magnétique. Nous avons utilisé typiquement un maillage de 128×64 noeuds. Dans le cas d’échantillons à grande période magnétique, de l’ordre du micron, et très anisotropes, il faut augmenter le nombre de noeuds et garder un pas suffisamment fin pour rendre compte des parois. C’est le cas des couches très fines (quelques na- nomètres) de FePd et de CoPt L10. Cette faible épaisseur permet de compenser l’augmentation du nombre de noeuds dans la direction latérale par une diminution du nombre de noeuds dans la direction verticale. Cela évite de multiplier le temps de calcul. Dans ces situations, nous avons utilisé un maillage à 1024 noeuds latéralement et 16 ou 32 noeuds verticalement.
Dans l’équation2.4, les termes d’échange et d’anisotropie décrivent l’environnement local du moment magnétique, et leur évaluation est sans difficulté, ainsi que celle du terme de Zeeman. La difficulté provient de l’évaluation du champ démagnétisant ~HD, qui dépend de la distribution complète des moments magnétiques. Dans GL_FFT, ~HDest évalué par la convolution de la distri- bution de charges magnétiques volumiquesρmet surfaciquesσmavec une fonction d’interaction modélisée par le gradient spatial de la fonction de Green :
~ HD= I Sσm (~r′)∇r′G(~r −~r′)dS′− Z Vρm (~r)∇r′G(~r −~r′)d~r′
La convolution tire avantage des méthodes de transformée de Fourier rapide (Fast Fourier Trans-
form, FFT) pour accélérer le calcul : le nombre d’opérations est réduit de N2à NlnN. La rapidité du calcul est optimale si la boîte de simulation est maillée avec un nombre de noeuds corres- pondant à une puissance de 2. La contrepartie de cette méthode est d’imposer un maillage à pas constant.
GL_FFT décrit donc l’évolution du système en discrétisant l’équation de Gilbert-Landau- Lifshitz (2.3), à partir d’une certaine configuration initiale, jusqu’à un minimum local. En consé- quence, l’état final, qui est ici notre premier centre d’intérêt, est très dépendant de l’état de départ. Il faut donc fournir en entrée une configuration suffisamment proche de la configuration réelle pour aboutir à une configuration finale satisfaisante.
Relaxation de la période magnétique
GL_FFT offre la possibilité de relaxer la période magnétique, pour rechercher l’état ma- gnétique final le plus stable. Il procède par un algorithme de minimisation de l’énergie libre magnétique de type simplex, en calculant à chaque itération la configuration magnétique finale et son énergie libre magnétique.
2.4.2 Modélisation micromagnétique des bicouches et tricouches
La Figure2.5 présente les configurations magnétiques issues des simulations micromagné- tiques des bicouches et tricouches de FePd, sous champ magnétique appliqué nul. Les paramètres physiques utilisés sont les suivants :
– µ0Ms= 1.32 T (Ms= 1050 emu/cm3)
– Aex= 7 × 10−12J/m
– Ku= 1.1 × 106J/m3(Q= 1.6) dans la couche ordonnée
– Ku= 0 dans la couche désordonnée
Les simulations ont été faites avec un maillage de nx = 128, nz= 64 noeuds ou de nx = 64,
nz= 32 noeuds, selon l’échantillon, en relaxant la période magnétique. La période magnétique
initiale est celle mesurée en MFM, et la configuration magnétique initiale est définie comme suit :
mx(i, j) = sin(2πi/nx)
my(i, j) = 0
mz(i, j) = cos(2πi/nx)
L’effet de découplage magnétique des couches intermédiaires de Palladium dans les échan- tillons T 3 et T 4 est bien visible.
Remarquons que le code ne peut pas prévoir que tous les moments magnétiques de l’échan- tillon B4 sont dans le plan. C’est une illustration de l’importance de la configuration initiale : à partir d’une configuration initiale périodique, l’algorithme converge vers une configuration pé- riodique, qui est un minimum local de l’énergie.
Les périodes magnétiques relaxées sont rassemblées dans le Tableau2.1. La différence avec les périodes mesurées en MFM n’excède pas 15%, ce qui est assez satisfaisant.
Ces simulations nous fournissent un modèle de la configuration magnétique des échantillons que nous utiliserons par la suite pour expliquer des mesures de diffraction magnétique des rayons X mous.
En outre, ce modèle va pouvoir être confronté aux résultats de réflectivité de neutrons pola- risés, décrits dans la section suivante.